De la elipse en el suelo a la elipse en el cielo

En el post anterior vimos que podíamos estimar el tamaño de la iglesia de San Petronio de dos maneras: a partir del eje menor (D) de la elipse luminosa que el pequeño orificio del techo proyecta sobre el suelo y también a partir de la velocidad con la que esa elipse se mueve (v). Pero necesitábamos dos datos adicionales: en el primer caso, el tamaño angular del Sol (\theta), y en el segundo, su velocidad angular (\omega); recordemos que si r es la distancia del orificio a la elipse, D=r \theta y v=r \omega.

Naturalmente Giovanni Domenico Cassini no se tomó la molestia de construir la meridiana para medir la altura del techo de la iglesia… que conocía perfectamente. Ni siquiera su objetivo principal era construir el reloj más preciso del mundo. Era una obra cara, y si la Iglesia estaba dispuesta a pagarla (sabemos que costó 2500 liras de la época, al cambio, entre 200.000 y 250.000 euros de hoy) era por una buena razón: el papa Gregorio XIII había decretado de la reforma del calendario hacía ya más de 70 años, en 1582, y era hora de verificar su corrección. Había que medir la duración del año con mucha precisión, y Cassini podía hacerlo mediante la determinación de dos equinoccios consecutivos, porque en el equinoccio la trayectoria de la mancha de luz es una recta, perpendicular a la meridiana (¡realmente es un instrumento muy completo!).

cassini

Giovanni Domenico Cassini (Génova, 1625 – París 1712)

Pero el auténtico propósito de Cassini era otro. Buscaba algo mucho más interesante científicamente: medir un parámetro que nosotros hemos dado por sabido, el tamaño angular del Sol. Precisamente por las enormes dimensiones de la meridiana, se podía medir con gran precisión, dando la vuelta a la fórmula que pusimos al principio: \theta =D/r. Y esta medida precisa prometía dar un dato decisivo para resolver la gran pregunta de la astronomía de la época: decidir entre “los dos máximos sistemas del mundo”, el Tolemaico y el Copernicano; en definitiva, entre el geocentrismo y el heliocentrismo. Era la cuestión que veinte años antes había llevado a Galileo a juicio, así que no es de extrañar que Cassini fuera reservado.

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El Sol se mueve respecto de las estrellas, volviendo a la misma posición al cabo de un año. Pero desde la antigüedad se sabe que este movimiento aparente es un poco más rápido en invierno que en verano. En el siglo II a.d.C, Hiparco de Nicea lo explicó suponiendo que el Sol se mueve en realidad a velocidad constante en torno a la Tierra, pero su círculo está un poco descentrado, de modo que en invierno está más cerca y parece por eso moverse más deprisa.

Pero si el Sol estaba más cerca, también parecería más grande, así que la hipótesis de Hiparco podía verificarse midiendo el tamaño aparente del Sol. Desgraciadamente, se trata de una medida muy difícil de hacer con precisión. No podemos mirar al Sol directamente, y aunque desde muy antiguo se le ha observado proyectando su imagen en una cámara oscura (la mejor manera, por ejemplo, de mirarlo en un eclipse) el tamaño de la imagen es tan pequeño que no hay manera de apreciar una variación entre verano e invierno. Salvo, claro está, que la cámara oscura fuera gigantesca, tan grande como una catedral… ¡o como la iglesia de San Petronio!

Cassini, en efecto, podía poner a prueba la hipótesis de Hiparco. Pero lo que hacía realmente interesante la cuestión es que ahora había una hipótesis alternativa. En 1609 Kepler había publicado dos leyes sobre el movimiento de los planetas. La primera decía que las órbitas no eran circulares sino elípticas; la segunda afirmaba que el aumento de velocidad del Sol en invierno no era sólo un efecto de la mayor cercanía, sino que había una aceleración real. Eran dos ideas revolucionarias, que rompían con dos mil años de astronomía en los que siempre se había considerado que todos los movimientos celestes eran circulares y uniformes (o, al menos, combinación de movimientos circulares y uniformes).

Kepler esquema

En concreto, Kepler decía que si consideramos los tramos recorridos en dos periodos breves e iguales de tiempo, uno (L1) cuando la Tierra está a la distancia mínima al Sol (d1) y otro (L2) cuando está a la distancia máxima (d2), las áreas de los dos triángulos de la figura deben ser iguales: L_1 d_1/2=L_2 d_2/2, o lo que es equivalente, \frac{L_1}{L_2}=\frac{d_2}{d_1}.

Naturalmente, desde el punto de vista de la Tierra quien se movería sería el Sol. Su velocidad aparente (la llamaremos v_a) es una velocidad angular, y es proporcional el cociente entre el arco recorrido  y la distancia. Así que, según Kepler,

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L_1/d_1}{L_2/d_2}=\frac{d_2/d_1}{d_1/d_2}=\frac{d_2^2}{d_1^2}

Mientras que según Hiparco las velocidades son iguales en 1 y 2, así que L_1=L_2=L y

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L/d_1}{L/d_2}=\frac{d_2}{d_1}

Las velocidades aparentes del Sol v_{a1} y v_{a2} se conocían con precisión en la época de Cassini. La novedad era que ahora él podía medir la proporción de distancias, porque es la inversa de la proporción de tamaños aparentes del Sol: \frac{d_2}{d_1}=\frac{\theta_1}{\theta_2}, y el tamaño aparente del Sol \theta se obtiene fácilmente de la longitud de los ejes de la elipse de luz sobre el suelo. La meridiana de Cassini permitía obtener el valor numérico de \frac{d_2}{d_1}. Si este número coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Hiparco; si era el cuadrado de este número el que coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Kepler. ¡Podía decir entre Hiparco y Kepler, entre los “dos máximos sistemas del mundo”, midiendo el tamaño de una elipse!

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Pero como siempre, las cosas son más complicadas en la realidad que sobre el papel. Las dos distancias son bastante parecidas: hoy sabemos que d_1=147,1 \cdot 10^6 km  y d_2=152,1 \cdot 10^6 km), así que su cociente resulta ser:
\frac{d_2}{d_1}=1,034
un número muy cercano a uno, y por tanto muy parecido a su cuadrado:
\frac{d_2^2}{d_1^2}=1,069
¡Una diferencia de poco más del 3%! La medida del tamaño de la elipse tenía que tener como mínimo esa precisión para poder decidir entre Hiparco y Kepler. Recordemos el aspecto de la elipse de luz sobre el suelo:
EscalaMancha1
Gracias a que el agujero es muy pequeño, la elipse está muy bien definida: en el primer post dijimos estimamos un eje menor de 30 cm, con una incertidumbre de 1 cm. Un error relativo de 1/30: aproximadamente un 3%, justo lo que Cassini necesitaba: sabía lo que hacía al construir una meridiana tan enorme.

Las medidas de Cassini dieron la razón a Kepler: su elipse en el suelo ratificó las elipses en el cielo. Fue la primera confirmación independiente de las leyes de Kepler, y aunque este resultado no demostraba que la Tierra se movía (es compatible con que sea el Sol el que se mueve en una elipse a velocidad variable), el sistema de Kepler aplicado al sistema solar en su conjunto sólo podía entenderse de modo heliocéntrico.

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(Epílogo) Las cosas son siempre más complicadas en la realidad que sobre el papel, decía, y esta historia no es una excepción. Cassini había demostrado la superioridad de la hipótesis de Kepler sobre la de Hiparco, pero las órbitas elípticas no le convencían, y prefirió postular otra figura geométrica, los óvalos de Cassini. No tuvo mucho éxito, y cuando entró en escena Newton cualquier duda quedó despejada, porque las leyes de Kepler se deducían como una consecuencia natural de la gravitación universal… pero no para Cassini, que no aceptó la teoría de de Newton.

Unos años después de la construcción de la meridiana, Cassini fue fichado por Jean-Baptiste Colbert, para fundar el observatorio de París. No se limitó a hacerlo, sino que demostró un singular talento organizativo, y fundó una dinastía de astrónomos, que fueron conocidos como Cassini II, Cassini III y Cassini IV… pero eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

 

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Midiendo el tamaño del instrumento de medida

En el post anterior admirábamos la meridiana de San Petronio, en Bolonia, que resultaba ser el reloj más preciso de su época. Un reloj de sol, en realidad, pero que por sus gigantescas dimensiones transforma el lento giro del astro rey (15º por hora) en un rápido desplazamiento de una elipse de luz sobre el suelo (12 cm por minuto). El otro ingrediente para conseguir la precisión es un orificio de entrada de la luz muy pequeño y muy regular, para que la mancha luminosa esté muy bien definida. Así puede determinarse el momento en que está centrada sobre la línea con poca incertidumbre, del orden de 1 cm, que se transforma en 1/12 de minuto: 5 segundos.

La elipse de luz se mueve tan rápido porque la velocidad angular del rayo (la del Sol) se traduce en la velocidad lineal de la mancha multiplicando por la longitud del rayo, y esta longitud es enorme en San Petronio. ¡Si queremos precisión, hay que hacer las cosas a lo grande!

La relación entre tamaño y precisión es común a todos los instrumentos astronómicos (y la meridiana lo es). Por lo menos, a todos los anteriores al telescopio: en gran Tycho Brahe realizó, a finales del siglo XVI, unas observaciones astronómicas de una exactitud sin precedentes a base de usar instrumentos de una escala colosal (pude verse alguno aquí)

Pero (atención: entramos en modo cuantitativo) quizá lo más interesante es que esta relación entre velocidad angular y velocidad lineal nos permite medir nuestro propio instrumento, es decir, el tamaño de la iglesia de San Petronio. En efecto, si r es la longitud del rayo y \omega la velocidad angular, la velocidad lineal de la mancha de luz sobre el suelo es simplemente

v=\omega {\cdot} r , y por tanto r=\frac{v}{\omega}

Antes de hacer la cuenta, expresamos la velocidad angular en radianes por minuto:

\omega=15\left(\frac{grados}{hora} \right) \left(\frac{1\, hora}{60 \, min} \right) \left(\frac{\pi \, rad}{180 \, grados} \right)=\frac{\pi}{720}\left(\frac{rad}{min} \right)

Y recodamos que en el post anterior vimos que v=12,6 cm/min, así que

r=\frac{12,6 \cdot 720}{\pi}=2888 \, cm \approx 29 \, m

Pero hay más. No sólo la velocidad de la elipse el proporcional a r: también su tamaño. Así que podemos hacer otra estimación independiente de r. El haz de luz es un cono, cuyo vértice es el agujero, porque los rayos de sol no son completamente paralelos; y no lo son porque el Sol no es un punto, sino un pequeño disco, con un tamaño angular aparente \theta:

Meridiana esquema

Esquema de la meridiana de San Petronio. Los rayos del Sol (S) entran por el agujero A, a un altura h sobre el suelo, produciendo la elipse de ejes D1 y D2 (representada esquemáticamente arriba).

Así que el diámetro del cono a una distancia r es \theta r , que se corresponde con el eje menor D_1 de la elipse (el mayor está alargado por la oblicuidad de los rayos, como muestra la figura). Por tanto, recordando que habíamos medido un eje menor de 0,3 m, y sabiendo que \theta vale un poco más de medio grado (redondeando, una centésima de radián), tenemos que

D_1=\theta r \Rightarrow r=D_1 / \theta =0,3/10^{-2}=30 \, m

…que está en muy buen acuerdo con el resultado anterior.

Pero si queremos medir el tamaño de la iglesia lo que interesa no es la longitud del rayo (que depende de su oblicuidad) sino la altura del techo, es decir, la altura a la que está situado el agujero…¡y también esto lo podemos medir! A la vista de la figura, el cociente de los dos ejes de la elipse es

D_1/D_2= sen(\beta)=h/r

Vimos que D_1=30 \, cm y D_2=36 \, cm luego, usando nuestra última (y más redonda) estimación de r,

h=r D_1/D_2=30 {\cdot}30/36=25 \,m

AlturaSanPetronio.png

Nuestra estimación de la atura del techo de San Petronio. Comparando con la persona que se ve cerca de la base de la flecha, no parece inverosímil…

¿Hemos acertado con la altura? En esta página he encontrado el dato: Cassini puso el orificio del techo a una altura de 1000 pulgadas francesas, lo que equivale a 27,07 m. No está mal, para una estimación tan burda como la nuestra: menos del 10% de error.

Una moraleja para alumnos: cuando en las prácticas de laboratorio tenemos un error importante, la culpa casi nunca está en la falta de precisión de los aparatos. Aquí sólo hemos usado un móvil para hacer dos fotos y un papel (el plano que nos servía para marcar la escala) con el que hemos estimado las distancias a ojo.

Pero en la investigación científica a veces hace sí hace falta mucha precisión, y la meridiana de Bolonia la puede proporcionar, si la usamos como profesionales y no como turistas con un móvil y un plano. En el próximo (y último post de la serie, lo prometo), veremos cómo lo hizo el gran Giovanni Domenico Cassini.

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(Propina para expertos) Hemos encontrado que sen(\beta)=D_1/D_2= 0,83 \, \Rightarrow \, \beta=56,4 ^{\circ}. Esta es la inclinación de los rayos, es decir, la altura del Sol sobre el horizonte, y a partir de ésta podemos obtener la latitud \alpha  del lugar de observación. En efecto, en el equinoccio, el Sol a mediodía está a una altura \beta=90^{\circ}-\alpha (por ejemplo, para el ecuador, \alpha=0^{\circ}  y \beta=90^{\circ}: sol en el cénit; para el polo norte, \alpha=90^{\circ} y \beta=0^{\circ}: sol rasante con el horizonte). Así que si mis observaciones se hubieran hecho el 21 de septiembre a mediodía, deduciríamos que la latitud de Bolonia es \alpha=90^{\circ}-\beta=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}=33,6^{\circ}.

Pero en el solsticio de verano, el 21 de junio,  el sol está 23,5^{\circ} más alto: \beta=90^{\circ}-\alpha+23,5^{\circ}, lo que nos daría \alpha=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}+23,5^{\circ}=57.1^{\circ}. Como mis medidas se hicieron a mediados de agosto, vamos a poner el valor medio de los dos resultados: la latitud de Bolonia sería \alpha=(33,6^{\circ}+57.1^{\circ})/2=45,3^{\circ}. La latitud real es 44,5^{\circ}: un acuerdo muy bueno teniendo en cuenta lo burdo de nuestras aproximaciones (no era exactamente mediodía, y la interpolación entre el solticio y el equinoccio es más complicada).

El reloj más preciso del mundo, en 1655

Cuando Charles Dickens visitó Bolonia dejó escrito que lo único que le gustó fue la gran meridiana en el suelo de la iglesia de San Petronio. Yo debo ser menos exigente que Dickens, porque este verano he encontrado muchas cosas atractivas en Bolonia… pero tengo que reconocer que nada me ha gustado tanto como su meridiana.

Pero ¿qué es una meridiana? A simple vista, esto:

meridiana

Un raíl metálico, muy delgado y muy largo, incrustado en el suelo de la iglesia. El turista típico seguramente le echará un vistazo rápido y continuará visitando San Petronio. Pero si se acerca a mirar verá unos intrigantes números, fechas y símbolos astronómicos a lo largo de la línea. Y si picado por la curiosidad explora los alrededores, pronto encontrará algunas pistas…

Quizá le llame la atención un círculo de luz sobre uno de los pilares vecinos, cerca del capitel (marcado como 1):

Mancha de luz

Si se queda mirando un rato, notará que la mancha de luz se mueve (en la foto, la mancha dobla una arista del pilar; unos segundos antes todavía no lo hacía), y deducirá que esa luz entra por un pequeño agujero en el techo, decorado con un hermoso sol (marcado en la foto como 2). Así que  el movimiento de la mancha de luz es consecuencia del movimiento del Sol. Un poco después, la luz da sobre el suelo de la iglesia… y se va aproximando a la línea metálica del suelo.

El turista curioso se pregunta ¿por dónde cruzará la línea? Y se le enciende la bombilla: había fechas marcadas sobre ella… ¿no cruzará precisamente por la fecha de hoy? ¡La meridiana sería entonces un calendario? Tiene sentido, porque en verano, con el sol más alto, los rayos llegan al suelo cerca de la vertical del agujero del techo y en invierno los rayos más oblicuos llegan más lejos. Y eso cuadra con la posición de las fechas marcadas en suelo.

Efectivamente: la meridiana es un calendario. Es una línea recta orientada exactamente en dirección norte-sur, y en su vertical hay un agujero por el que entra un delgado haz de luz del Sol. De este modo, a mediodía, cuando el Sol está justo en dirección sur, el delgado haz de luz que entra por el agujero incide sobre la línea, en una posición que depende de la altura del Sol a mediodía, y por tanto, del día del año.

Pero si los rayos cruzan la línea exactamente a mediodía, es que la meridiana es también un reloj. ¿Qué precisión tiene este reloj? Para saberlo no sirve esperar a ver si el cruce se produce exactamente a las 12 del mediodía, porque la hora que nos marca la meridiana es la hora solar, que no coincide con la hora oficial. No sólo por el famoso cambio de hora entre verano e invierno, sino porque la hora oficial es la misma en todo un huso horario y la hora solar varía continuamente al desplazarnos  de este a oeste: no es la misma en Venecia, Bolonia o Génova (¡y mucho menos en Madrid, pese a que tenga la misma hora oficial!).

En realidad, el error de este reloj vendrá dado por la precisión con la que consigamos determinar el cruce de la mancha de luz con la línea meridiana. Y aquí es cuando yo, que no puedo evitar ser físico también en vacaciones, entro en modo cuantitativo. Como no tenía una regla, puse en el suelo el plano que llevaba en el bolsillo como referencia e hice esta foto (lo más vertical que pude, para evitar efectos de perspectiva):

EscalaMancha1

El lado largo del plano, casi en contacto con la mancha de luz, mide 21 cm, así que esta es una elipse de aproximadamente 36 x 30 cm. Está muy bien definida, y es muy simétrica, así que yo diría que podemos determinar a ojo si está bien centrada en una línea con un error del orden de 1 cm.

Pero ¿a cuánto tiempo corresponde un centímetro? Tenemos que determinar a qué velocidad se mueve la elipse de luz. Basta con esperar un rato sin mover el plano y tomar otra foto:

EscalaMancha2

Entre las dos fotos han pasado 5 minutos, y la mancha se ha movido una distancia que es más o menos el triple de la longitud del lado largo del plano, o sea, unos 63 cm. Por tanto su velocidad es de 63/5= 12.6  cm/minuto. Vamos a redondearla a 12 para decir que en recorrer 1 cm tarda aproximadamente 1/12 de minuto, es decir, 5 segundos. Ese es el error en la determinación del mediodía con esta meridiana.

Hoy puede parecernos mucho, pero cuando Giovanni Domenico Cassini la construyó, en 1655, la meridiana de San Petronio era el reloj más preciso del mundo, y con mucha diferencia: lo habitual era que los relojes mecánicos de entonces se adelantaran o atrasaran unos 15 minutos al día. Justo al año siguiente Christiaan Huygens inventaba el reloj de péndulo, que fue una revolución en la medida del tiempo: en lugar de 15 minutos, su error era del orden de 15 segundos al día… ¡pero todavía era mayor que el de la meridiana de Bolonia!

Todavía podemos aprender más de la principal atracción de Bolonia, según Charles Dickens. Será en el próximo post.

Nota: no me pude quedar hasta en San Petronio hasta que la mancha de luz cruzara por la meridiana, pero en las fotos de esta página se ve muy bien.

Población y poblaciones (¡Peligro: porcentajes!)

¿Qué porcentaje de las noticias de los medios consiste en dar un porcentaje? Es una interesante pregunta recursiva, que no sería difícil de contestar con un poco de trabajo de campo. Yo no lo he intentado, pero sí he hecho una pequeña cata en Google Noticias, y he encontrado 15.1 millones de resultados para “porcentaje” y 28.6 millones para “por ciento”. Si comparamos con 19.4 millones para “corrupción”, 18.9 para “crimen” o 95.2 para “guerra”, vemos que los porcentajes se codean con algunos de los temas más tratados por los medios (aunque por supuesto no tienen nada que hacer frente a “fútbol”: 480 millones de resultados).

Ahora bien, la pregunta importante sería, ¿qué porcentaje de esas noticias sobre porcentajes es correcto? Aquí habría que hacer mucho más trabajo para estimarlo, pero me atrevo a apostar que no es muy grande. Rara es la noticia que mencione un porcentaje que, de un modo u otro, no tenga algún error.

PeligroPorcentajes

Por ejemplo, aquí tienen dos noticias recientes reseñadas en Malaprensa: La recuperación reduce un 500% las quiebras empresariales en Baleares y El 93 por ciento de los españoles quiere abolir el cambio de hora. La primera es un disparate bastante obvio, en la segunda el fallo es más sutil… pero también está mal.

Aquí les traigo otra:

La Tierra ha perdido el 60% de sus animales salvajes en 44 años

EL titular es del ABC, pero podría haberlo tomado de muchos otros medios: La Verdad titula exactamente igual, El Confidencial dice que Los humanos hemos arrasado el 60% de la vida animal en sólo 40 años, Computer Hoy (que no sé por qué informa de estas cosas) afirma que La población de vida silvestre ha disminuido un 60% desde 1970…y así podríamos poner muchos más ejemplos (¡incluso de años anteriores!: en 2016, El País informaba de que Más de la mitad de las poblaciones de vertebrados han desaparecido en 40 años).

Pero en realidad, el informe del WWF que es la fuente de la noticia, no dice eso: lo que ocurre es que la inmensa mayoría de los periodistas no lo han entendido bien. Un titular mucho más ajustado a la realidad es el de  La Vanguardia, que dice que Las poblaciones de vertebrados se han reducido un 60% en 40 años por el descontrolado consumo humano, según lamenta WWF.

¿No es lo mismo? No. En primer lugar se trata de vertebrados, no de la vida silvestre, ni de los animales (la vida silvestre incluye las plantas, y la inmensa mayoría de los animales son invertebrados).

Pero lo que más nos interesa aquí es algo más sutil. Cuando el WWF habla de “poblaciones de vertebrados”, está usando un término técnico, de manera que, curiosamente, decir que “las poblaciones han disminuido en un 60%” no es lo mismo que decir que “la población ha disminuido en un 60%”.

Lo explican muy bien en un artículo de The Atlantic, titulado “Wait, Have We Really Wiped Out 60 Percent of Animals?”, del que traduzco:

Para comprender la diferencia, imagina que tienes tres poblaciones: 5.000 leones, 500 tigres y 50 osos. Cuatro décadas después, tienes sólo 4.500 leones, 100 tigres y sólo 5 osos (¡vaya por Dios!). Estas tres poblaciones han disminuido en un 10 por ciento, 80 por ciento y 90 por ciento, respectivamente, lo que significa que la disminución promedio es del 60 por ciento. Pero el número total de animales ha pasado de 5.550 a 4.605, que es una disminución de sólo el 17 por ciento.

El decir, en este ejemplo las poblaciones han sufrido una disminución del 60% pero la población ha disminuido sólo el 17%. Y este es un problema recurrente con los tantos por ciento. Imaginen que hacemos algo similar a lo que ha hecho el WWF pero con los municipios de España en vez de con las poblaciones animales. La gran mayoría de municipios son pueblos pequeños cuya población ha declinado espectacularmente en los últimos 40 años. Así que las poblaciones (de los municipios españoles) han sufrido una gran disminución en los últimos cuarenta años, pero la población (de España) no ha disminuido, sino que ha aumentado, gracias al crecimiento de las capitales de provincia y las grandes ciudades.

¿Cuál es la disminución real de la población de vertebrados? Con los datos del informe del WWF no lo podemos saber; de hecho, aproximadamente la mitad de las poblaciones estudiadas están aumentando, pero la media de los porcentajes da una importante disminución porque los porcentajes de disminución son mucho más grandes que los de aumento.

No se trata pues de minimizar el problema: es realmente grave, y está bien que se informe sobre ello. Pero no costaría tanto contar la historia bien: el propio informe del WWF advierte explícitamente que “no es un censo de toda la vida salvaje, sino un informe sobre cómo han cambiado de tamaño sus poblaciones”.

Moraleja: Cuando veas un tanto por ciento, echa mano de tu sentido crítico… o si no, más vale que olvides la noticia.

España en 1486, según la Geografía de Ptolomeo

Claudio Ptolomeo, que vivió en Alejandría en el siglo II d.C, tiene el mérito de haber escrito tres de los libros más influyentes de la historia: el Almagesto, el Tetrabiblos y la Geografía. El primero es quizá el más conocido: es el tratado que compilaba todo el saber astronómico de la antigüedad, y que los árabes llamaron “el más grande” (eso significa su nombre). El segundo fue la biblia de los astrólogos durante más de mil años. El tercero fue el primer atlas.

Todos hemos tenido entre las manos un atlas y puede parecer que algo tan común es un logro mucho más modesto que los otros dos volúmenes, de nombres esotéricos e imponentes. Creo que es justo al contrario: el hecho de que un atlas nos resulte tan familiar dos mil años después de que Ptolomeo lo inventase demuestra precisamente su  genialidad.

El atlas de Ptolomeo contenía un mapamundi y un conjunto de mapas regionales, cada uno a la escala más apropiada. Pero era mucho más. Empezaba con un tratado cartográfico que explicaba científicamente la determinación de la latitud y longitud, así como una solución (la primera) al difícil problema de representar una superficie esférica sobre el plano. Y la mayor parte del libro la ocupaba una lista con las latitudes y longitudes de todas las ciudades y accidentes geográficos representados.

La Geografía marcó un estándar que fue seguido por todos los atlas durante siglos, hasta la actualidad: es asombroso ver que el índice de los que se publican hoy sigue siendo muy similar al de Ptolomeo, con el mismo listado y las mismas explicaciones cartográficas.

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Mapamundi de la Geographia de Ptolomeo, traducida por Jacopo d’Angelo y publicada en 1467 en el monasterio de Reichenbach [Fuente: Wikipedia commons]

Los mapas originales no sobrevivieron durante la Edad Media, pero el listado de lugares y las descripciones de las proyecciones cartográficas sí se conservaron, y permitieron reconstruirlos a los estudiosos bizantinos. La Geografía fue traducida al latín a principios del siglo XV por Jacopo d’Angelo, uno de los primeros humanistas italianos, que había aprendido griego con el embajador bizantino Manuel Chrysoloras, y viajado con él a Constantinopla en 1395. La Europa medieval no conocía nada parecido, y la traducción, aunque fue criticada por sus imprecisiones (d’Angelo no era matemático ni astrónomo) fue un best seller, en una época en la que todavía los libros se copiaban manuscritos.

Una de las primeras ediciones impresas de la Geografía fue la publicada en Ulm por Johannes Reger en 1486. Aquí tenemos el mapa de la Península Ibérica:

(observen las escalas vertical y horizontal que indican, respectivamente las latitudes y las longitudes… aunque, obviamente, estas últimas no se medían respecto al meridiano de Greenwich).

La Biblioteca de Castilla-La Mancha en Toledo posee un ejemplar de este libro, y podemos hojearlo en la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, en concreto, en este enlace. Curioseando por sus páginas he encontrado (en la 243) este mismo mapa, un poco más sucio pero a una escala excepcionalmente detallada, tanto que permite leer los nombres de las ciudades (haciendo click para verlo con una resolución muchísimo mayor):El lector curioso puede entretenerse buscando sitios conocidos, aunque no lo facilita que estén en latín… Pero curiosamente, en esta edición los mapas están duplicados, y tres páginas después tenemos esta versión “política” de la península, con los nombres contemporáneos (de nuevo click para verlo en detalle):

Aquí ya no aparecen latitudes y longitudes, el contorno no es precisamente igual al anterior y las montañas, que siguen pareciendo pegotes de plastilina, son muchas más y no están en los mismos sitios…

Intrigado por estas discrepancias, me he preguntado hasta qué punto eran exactas las coordenadas del atlas, y hasta qué punto las siguió Johannes Reger. Pero no les voy a decir mis conclusiones. En lugar de eso, para que puedan sacarlas ustedes mismos, aquí tienen una tabla de longitudes (el primer número) y latitudes (el segundo), sacadas de las tablas del libro (están entre las páginas 118 y 125 del libro, pueden consultarse en este enlace), para algunos lugares reconocibles:

Corduba (Córdoba): 9º 1/3, 38º 1/3
Italica (Sevilla): 7º, 38º
Sacrum Promontorium (Cabo de San Vicente): 2º 1/2, 38º 1/4
Salmantica (Salamanca): 8º 1/2, 41º 1/3
Cartago Nova (Cartagena): 13º, 37º 1/3
Emporie (Ampurias): 18º 1/2, 42º 1/3
Lucus Augusta (Lugo): 7º 1/3, 43º 1/3
Complutum (Alcalá de Henares): 10º 1/2, 41º 1/2
Toletum (Toledo): 10º, 41º
Palma (Palma de Mallorca): 17º 1/6, 39º 1/4

… por si alguien tiene la paciencia que me ha faltado a mi 😉

*

P.S.: Gracias a mis alumnos del curso Las ideas de la ciencia, cuyos comentarios me han inspirado este post.

Jonathan Haidt y el sesgo de confirmación

Hoy aparece en El Mundo una entrevista con Jonathan Haidt, un prestigioso psicólogo social norteamericano. Merece la pena leerla entera (es sorprendentemente buena) pero en relación a lo que estamos estudiando en el curso Ciencia para pensar mejor hay una respuesta que quiero copiar aquí:

El auge del populismo en las democracias occidentales es el resultado de dos factores: la globalización y las redes sociales. Internet y Google fueron dos grandes regalos para el llamado confirmation bias o sesgo de confirmación. La pura reafirmación de nuestros prejuicios. Eso ocurrió a finales de los años 90. Luego llegaron Facebook y el iPhone, que extendió masivamente el uso de las redes sociales.

Desde 2012, cientos de millones de personas están conectadas a través de dispositivos que favorecen la comunicación pero también la más ácida polarización. Las redes se han convertido en una de las más poderosas fuerzas de centrifugación social. En ellas conviven, por decirlo de alguna manera, auténticos guetos morales en los que la verdad es estrictamente irrelevante. Las creencias más exóticas se propagan como el fuego. Y cualquiera que las cuestione es sometido a un linchamiento, como mínimo, virtual.

Así, el procedimiento que nos convierte en seres racionales e inteligentes -una persona hace una afirmación; otra la refuta; llegamos a una conclusión- se está viendo sustituido por el grito de la tribu. Esto es una pésima noticia para la inteligencia colectiva, claro. Y también un peligro para la democracia.

Más sobre el peligro del sesgo de confirmación en las redes sociales en este vídeo corto (recomiendo poner los subtítulos):

Chicos bailarines y turbas violentas

Las semanas pasadas hemos hablado en el curso Ciencia para pensar mejor sobre las ilusiones cognitivas (como los efectos halo y ancla, el sesgo de representatividad o el de disponibilidad). Todos estos son efectos que ocurren a nivel individual y que contribuyen a que a menudo nos comportemos de una manera que no es precisamente racional. Sin embargo, somos animales sociales, y lo que ocurre en nuestro entorno nos influye mucho, así que es de esperar que la dimensión colectiva de nuestro comportamiento también tenga componentes irracionales… y así es. De hecho, estos efectos colectivos son aún más dramáticos que los individuales.

Hay un vídeo bastante conocido en el que vemos cómo un niño que se pone a bailar, al principio solo, termina por arrastrar a una multitud:

En el audio se presenta esto como un ejemplo de cómo funciona el liderazgo, y se resalta lo importante que es conseguir un primer seguidor.

Es una manera de verlo en positivo… pero a mí me parece más apropiada una interpretación más siniestra. Lo que estamos viendo tiene justamente el mismo mecanismo de un linchamiento: la masa puede ponerse a bailar, sí, pero igualmente puede ponerse a tirar piedras a un esclavo negro o a asaltar el Parlament. La dinámica la estudió un célebre sociólogo, M. Granovetter (al menos, debería ser célebre en España, ya que lo cita la tesis doctoral más leída de la historia: la de Pedro Sánchez… aunque con un ligero error 😉 )

Supongamos que una multitud rodea el Parlamento. ¿Qué es lo que determina que la manifestación se mantenga pacífica o degenere en un tumulto violento?  Granovetter señala algo de sentido común: que cada individuo se anime a pasar a la violencia está condicionado por lo que hacen los demás. La mayoría no están dispuestos a lanzar la primera piedra, pero si otros lo han hecho, es mucho más sencillo animarse a hacerlo. Y cuantos más lo estén haciendo, más sencillo resulta unirse a ellos. De hecho, es razonable postular que para cada individuo i hay un umbral N(i), de manera que si el número de personas tirando piedras en la multitud es mayor o igual que N(i), el individuo i se va a poner a tirar piedras también. Este umbral es una medida de lo indignado que está el individuo i: cuando más bajo sea el umbral, mayor es su enfado, y necesita menos para pasar a la violencia. Todo esto es muy razonable, pero lleva a efectos sumamente irracionales, porque el comportamiento de la masa depende de manera muy poco intuitiva de la distribución de los umbrales N(i). Supongamos que hay 100 manifestantes, y que en todos el umbral es 1; es decir, todos están enfadadísimos, de manera que basta que vean a una sola persona ponerse a apedrear el Parlamento para unirse. A pesar de eso, la manifestación no degenerará en violencia porque nadie tirará la primera piedra: quien tira la primera piedra tiene que tener, por definición, un umbral de 0. Bastaría, sin embargo, que uno estuviera un poco más indignado y tuviera el umbral de 0 para desatar el caos: todos se pondrían inmediatamente a apedrear el Parlamento. Una pequeña diferencia puede tener efectos dramáticos.

Peor aún. Supongamos dos multitudes distintas, siempre de 100 personas. La primera es la que vimos antes: todos tienen un umbral de 1. La segunda tiene una indignación media mucho menor: sus valores de N(i) son 99, 98… y así sucesivamente hasta …3,2,1,0. La primera, como hemos visto se congregaría ante el Parlamento sin que llegara a estallar la violencia. En el segundo caso, sin embargo, tenemos un individuo con N=0, que se va a poner a tirar piedras aunque nadie le respalde. Pero también otro con N=1, que al ver al primero, va a pasar a la acción, y otro con N=2, que al ver a estos dos se va a unir a ellos. Y así sucesivamente: la transición a la violencia se va a propagar como un reguero de pólvora, y en poco tiempo tendremos a una turba enfervorecida y una lluvia de adoquines sobre la sede de la soberanía popular… y sin embargo, la indignación era mucho menor que en el primer caso.  Por otra parte, hubiera bastado que nadie tuviera N=1 (es decir, que la distribución de umbrales acabara en …3,2,2,0) para que el primer energúmeno violento se quedara sólo y se cortara la intifada.

En definitiva: a diferencia de los individuos, que sonirracionales pero relativamente previsibles (predeciblemente irracionales, como dice Dan Ariely) en las multitudes diferencias mínimas pueden dar lugar a comportamientos radicalmente diferentes. Para bien, quizá (y todo el mundo se pone a bailar muy contento), pero, me temo que más frecuentemente, para mal.

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Una recomendación: una página excelente para aprender jugando sobre el comportamiento de las multitudes (y cómo este depende enormemente de las redes de relaciones entre los individuos) es ésta. Muy recomendable.

La tragedia de la cinemática

Es verdad, puede que el título sea una exageración: esté como esté la enseñanza de la cinemática en la ESO y el Bachillerato, no puede compararse con un terremoto o una guerra… Pero dentro de sus parámetros académicos e incruentos, es lo más parecido que tenemos a un desastre. No un desastre natural, sino uno de esos producidos por el abandono y la indiferencia.

La cinemática es el estudio descriptivo del movimiento, y como tal, es la puerta de entrada a la dinámica de Newton y en definitiva a toda la física. Virtualmente todos los libros de esta materia empiezan con los conceptos de velocidad, aceleración y ecuación del movimiento. Incluso cuando el libro todavía no se llama de Física, sino de Ciencias de la Naturaleza, como en 2º de la ESO, encontramos una vez más esas inevitables definiciones, que se repetirán religiosamente en 4º de la ESO, y una vez más en 1º de Bachillerato: pocos temas se repasan más veces que la cinemática.

Y aquí viene el problema: la cinemática se estudia muchas veces, pero siempre se estudia mal. La razón es muy sencilla: el estudio del movimiento, incluso el de un punto material (que no tiene dimensiones y no puede por eso girar sobre sí mismo o deformarse) es mucho más complicado de lo que parece a primera vista. Requiere manejar los vectores con soltura, y sobre todo, necesita comprender el concepto de derivada.

En efecto, la definición buena de velocidad, la única que de verdad abre la puerta de la dinámica de Newton y en definitiva de toda la física, es que la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo. En una dimensión, si la posición es x(t), la velocidad es v(t)=\frac{dx}{dt}. Y en tres dimensiones, si el vector de posición es \vec{r}(t), la velocidad es \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}. Análogamente, la aceleración es la derivada de la velocidad.

El camino inverso, de la aceleración a la velocidad y de la velocidad a la posición, se recorre con la operación inversa de la derivada: la integral. La cinemática, en definitiva, no es más que cálculo diferencial e integral aplicado, y su tragedia es que siempre que se explica en la enseñanza media, una y otra vez, se hace antes de que se hayan explicado los conceptos de derivada e integral.

Si no se lo creen ustedes (no me extraña), aquí tienen una página de un libro de Física y Química de 1º de Bachillerato:

TragediaCinematica

¡El mensaje del recuadro azul es antológico!: “te vamos a explicar esto usando un concepto que no te han explicado”. Años y años de reformas pedagógicas para llegar a esta aberración…

Pero comprendo a los pobres autores. Seguramente ellos, que saben física, nunca lo explicarían así… si les dejaran. Pero están obligados a seguir un temario impuesto por el Ministerio. Y ese temario les obliga a enseñar a hacer tortillas a unos estudiantes que no han aprendido a cascar huevos. ¿No es esto un desastre?

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P.S.: Por si alguien tenía alguna duda: el programa de Física de 2º de Bachillerato (cuando por fin se han estudiado las derivadas y las integrales), ya no incluye la cinemática. Brillante.

Malas noticias

No, no voy a hablar del cambio climático o de la guerra de Siria. Me refiero a noticias que son malas en otro sentido: engañosas, chapuceras, ineptas… El tipo de noticias que el blog Malaprensa (que realiza un impagable servicio público) viene analizando desde hace años.

Una de las razones que me motivó a crear el Curso de Humanidades “Ciencia para pensar mejor”, que acaba de comenzar su tercera edición, es encontrarme una y otra vez con este tipo de malas noticias. Lejos de remitir, la chapuza parece extenderse cada vez más, no ya en los dominios sin ley de twitter, sino muy a menudo en la prensa supuestamente seria. Por eso es más necesario que nunca estar en guardia y tener las herramientas intelectuales para no picar en el anzuelo. Ese es uno de los objetivos del curso.

Un ejemplo, de hace cuatro días. Leo en la página de portada de El Mundo este titular:

ElMundo1.PNG

¡Qué barbaridad! Pero ¿qué nos encontramos en el cuerpo de la noticia? Ahora el titular es distinto:

ElMundo1b

Y he aquí unos párrafos seleccionados:

ElMundo2

Así que lo que ha ocurrido realmente es que una web (que no hay manera de encontrar con los datos del artículo) ha recabado testimonios sobre el acoso en arqueología, y el 50% de las participantes voluntarias dicen haber sufrido acoso. ¿Es una muestra representativa? Yo diría que no… Y si la muestra no es representativa, la encuesta no sirve para nada.

¿Cuál es el problema? Que si hacemos un titular ajustado a la verdad nadie va a picar (quiero decir, a hacer click). En realidad, no hay noticia: podríamos hablar, quizá, de una no-noticia, que es uno de los géneros de las malas noticias.

Pero una vez lanzada la no-noticia, da mucho juego: además de los clicks en la web de El Mundo (que se traducen en dinero de publicidad), está el sinfín de comentarios al final de la página, con los que los lectores se desahogan lanzándose improperios, la tormenta que se desata en twitter, la opinión de algún tertuliano en la TV…. etc: ruido, que es de lo que se trata.

Esto es un ejemplo, escogido casi al azar. Seguro que ustedes pueden encontrar muchos más. Es un buen ejercicio para empezar a entender nuestro ecosistema informativo.

La EvAU en el mundo real: el desenlace

¿Qué fue de Diego, el alumno que conocimos en el post anterior queriendo entrar en Medicina? Hoy ya conocemos el desenlace. De todos los mundos posibles considerados por la estadística, el que se materializó fue este:

AjusteNotasCorte2018

Esta gráfica es la misma que vimos en el post anterior, con la única diferencia de que aparece un punto más, el de la nota de corte de 2018. Y está justo sobre la recta, es decir, que nuestra extrapolación se ha cumplido casi con toda exactitud: Diego ha podido matricularse en Medicina, en la Universidad de Alcalá.

Ahora podríamos decir triunfantes: ¡así funciona la ciencia! Pero no sería honrado. Las extrapolaciones lineales no siempre aciertan, y en este punto conviene ver cómo ha sido la evolución de las otras universidades de Madrid:

EvolucionNotasCorte2018

A la vista de la gráfica, tenemos que abandonar el triunfalismo, y nos vemos incluso tentados a pasar al extremo opuesto: parece que, en realidad, la única universidad en la que la extrapolación lineal ha acertado es la de Alcalá… Pero una vez más, no sería una buena conclusión. Decir que la extrapolación “ha acertado” es una simplificación, un titular periodístico que traiciona su esencia, que es estadística. El valor que nos proporciona la recta de ajuste en 2018 sólo es el valor más probable de acuerdo con nuestro modelo lineal. Pero no siempre el valor más probable es el que ocurre (ya vimos en el post anterior que había una distribución en torno a ese valor, y que podíamos trazar unos márgenes que acotaban su probabilidad) y no siempre las cosas son lineales.

La suposición de una variación lineal es la más sencilla, y por eso es razonable cuando los datos no nos sugieren lo contrario, como ocurría aquí. Pero incluso con estos datos había alguna razón para sospechar posibles desviaciones de la linealidad, al menos en dos casos.

Un caso es el de la Universidad Autónoma: dado que la nota máxima posible es 14 y ya el año pasado su nota de corte se estaba aproximando a ese valor, era previsible que el crecimiento se ralentizara, tal como ha ocurrido. Y otro es el de la Universidad Rey Juan Carlos… por motivos bien diferentes, que están en la mente de todos: por mucho que los recientes escándalos no hayan afectado a la facultad de Medicina, era previsible cierto efecto de contagio.