La EvAU, la nota de corte y los mundos posibles

Estos días, miles de alumnos que hace poco conocieron la nota de la EvAU (antes llamada Selectividad) se enfrentan a una decisión que va a marcar su futuro: elegir carrera.

La cuestión no es aprobar (lo consiguen más del 90% de los presentados) sino sacar una nota suficientemente alta para ser admitido, algo que sólo resulta difícil en unas cuantas titulaciones, las más demandadas.

Así que si un estudiante madrileño (llamémosle Diego) quiere ser ingeniero de caminos, puede respirar tranquilo porque la nota de corte en la Politécnica de Madrid es un 5. Sin embargo, si su sueño es ser médico, el panorama es muy distinto: en la Autónoma necesitará un astronómico 13,11 (recordemos que la máxima nota posible es un 14) y en la Universidad de Alcalá, la que tiene nota de corte más baja en la Comunidad de Madrid, un 12,747, que no es precisamente fácil de alcanzar. Pero nuestro Diego es un excelente estudiante y ha sacado un 12,854. ¿Puede respirar tranquilo entonces?

No está tan claro. La nota de corte que ha encontrado en la web es la del último alumno que se matriculó el año pasado, en 2017, y lo que importa es la nota del 2018. No la puede saber, claro, pero puede preverla basándose en la evolución de los últimos años. Con un rato de googleo encuentra estos datos:

2012: 12,229       2013: 12,396       2014: 12,422       2015: 12,543       2016: 12,575       2017: 12,747

Malas noticias: la nota del corte está subiendo como la espuma; en cinco años, un poco más de 5 décimas. Si sube a una décima por año, se pondría en 12,877 en el 2018 y ¡se quedaría sin entrar!

Pero no hay que alarmarse todavía. Podemos hacer una predicción mejor, si sabemos cómo procesar mejor estos datos… como lo haría por ejemplo un físico. A Diego no se lo han enseñado en el bachillerato, así que vamos a hacer el trabajo por él.

Lo primero es recabar más datos. No cuesta mucho tener los de todas las universidades madrileñas, y lo mejor es ponerlos en un gráfico:

EvolucionNotasCorte

Se confirma que la tendencia ascendente es universal, y muy acentuada: hace sólo 2 años, en 2016, Diego habría entrado en cualquier universidad de Madrid; en 2017, sólo en la Rey Juan Carlos y la de Alcalá. En 2018… es lo que hay que ver.

En lugar de mirar al pasado, tenemos que mirar al futuro y extrapolar. Centrémonos en el caso más favorable, el de Alcalá. En lugar de unir los puntos como antes, vamos a dibujar una línea de tendencia (hay una manera matemáticamente rigurosa de hacerlo, que se llama regresión lineal, pero sale casi igual de bien a ojo, con una regla). Voilá:

AjusteNotasCorte

Esta es una gráfica más profesional… y más tranquilizadora: vemos que la extrapolación de la nota de corte en medicina en la universidad de Alcalá para el 2018 queda por debajo de la nota de Diego. Es fácil ver por qué antes teníamos una predicción distinta: fijarnos en el incremento total de la nota de corte en estos años es cómo trazar una línea sólo con los puntos primero y último, que tiene más pendiente que la recta de ajuste correcta.

Ahora bien, ¿cómo de tranquilos podemos estar? Sería arriesgado decir con estos datos que Diego va a entrar: en realidad, lo que nos dice nuestra gráfica es que es lo más probable es que entre. ¿Podríamos cuantificar esta probabilidad?

Pues sí: pensando en la tranquilidad de Diego (y de sus padres), hace tiempo que los matemáticos dieron con una forma de hacerlo… que además se basa en algo que Diego sí ha estudiado: la distribución normal de probabilidad, la famosa campana de Gauss, esa de la que le han dado una tabla en el examen de la EvAU…

Pero ¿cómo es que podemos hablar de probabilidades? Cada año, la nota de corte es la que es ¡no hay ninguna “distribución de probabilidades”! Es cierto, pero no subestimemos el ingenio de los matemáticos. Podemos dar un giro a nuestra manera de ver el asunto.

Supongamos que nuestro mundo es sólo uno de los muchos mundos posibles. Supongamos que en cada mundo hay una nota de corte, que están distribuidas según una distribución normal (porque ¿de qué otra manera iban a estarlo?), y que la bonita variación lineal que hemos llamado “ajuste” es el promedio de las notas de corte en todos los mundos posibles. Entonces, las notas de corte que hemos observado de hecho en nuestro mundo (los puntos de la gráfica) se desviarán de esa recta como cabe esperar que se desvíen de la media las muestras extraídas de una distribución normal.

Lo interesante es que esta idea nos permite averiguar cómo es esa distribución: como le han explicado a Diego en el bachillerato, una distribución normal  tiene una anchura dada por el parámetro σ (sigma: la desviación típica), de modo que el 68% de los valores está comprendido en un intervalo de ± σ en torno a la media. Así que podemos saber la σ de la distribución de notas (en todos los mundos posibles) trazando el intervalo en torno a la línea de medias (la recta de ajuste) que contiene el 68% de las observaciones, es decir, 4 de 6. Aquí está:

AjusteConIntervalo

En la banda definida por las dos líneas grises hay cuatro datos: el 68% de los 6 que tenemos. La anchura de esa banda es pues  σ, y sólo tenemos que ver a cuánta distancia está Diego de la línea de ajuste, medida en unidades de σ. Se ve en la gráfica que está a un poco más de una sigma; si lo medimos bien, resulta ser 1,37 sigmas. Y ahora, con una tabla como la del examen de la EvAU, podemos ver que la probabilidad de que un valor esté a una distancia de la media menor o igual que 1,37·σ es del 91%.  Eso significa que en el 91% de los universos posibles, el valor de la nota de corte en 2018 está por debajo de la de Diego: puede respirar tranquilo.

O para ser precisos, un 91% tranquilo…

*

Nota: Los lectores con buena vista habrán observado que las dos líneas grises no son exactamente paralelas, sino que se abren al alejarnos del centro de la gráfica. Y los lectores expertos en estadística sabrán por qué. Pero el post es demasiado largo ya para explicarlo, y lo mejor del asunto es que ese tecnicismo no tiene mucha importancia en realidad…

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Hawking: lejos de Einstein, cerca del pueblo

Me permito copiar el magnífico titular de Mario Viciosa en su artículo de El Independiente, porque es el mejor resumen que he encontrado en la prensa sobre Stephen Hawking, que como todo el mundo sabe, ha fallecido hoy 14 de marzo, precisamente el día de pi.

Mario me pidió mi opinión sobre Hawking, y la resumió así en el artículo:

Hawking no estaría en el primer nivel, con Newton, Einstein, Galileo o Faraday, entre otras figuras clave. “Estaría en un cuarto nivel, alguien que hizo unos descubrimientos brillantes en un campo concreto donde quizá marcó un punto de inflexión. Lo que ha publicado desde los años setenta ha sido bastante especulativo y no ha tenido confirmación”, por eso no le han dado el Nobel, aunque sí el Wolf o la Medalla Copley. Está lejos de “ser un Einstein”, pero revitalizó su Relatividad general

Leyéndolo, veo que necesitaría alguna aclaración eso del “cuarto nivel”. Estaba aludiendo, implícitamente, a la Escala de Landau, con la que el genial físico soviético clasificaba a sus colegas. En el nivel más alto brillaban Newton y Einstein; en el segundo (el “nivel 1” para Landau, que empezaba a contar por el cero) estaban Bohr, Dirac, Schrödinger… . Un piso más abajo se colocaba Landau a sí mismo. Y en el piso inmediatamente inferior, el cuarto nivel para mí, es donde situaba yo a Hawking.

Un par de enlaces (en inglés) para quien quiera aprender algo, en vez de aturdirse con el habitual ruido mediático:

  • Hawking es una celebridad, pero ¿qué opinan los físicos sobre él? Respuestas interesantes en Quora. Coincido con la primera opinión, la más votada.
  • Una nota necrológica magistral de un viejo colega suyo: nada menos que el gran Roger Penrose.

Alta mar

Le lengua está llena de expresiones que, si las miramos bien (pero no solemos hacerlo, porque nada nos resulta más familiar que nuestra lengua) parecen absurdas. Por ejemplo, “alta mar”: la parte del mar, nos dice el DRAE, que está a bastante distancia de la costa. Viene a ser un sinónimo de “mar abierto”, una expresión que tiene sentido porque sugiere que no hay ninguna costa a la vista que “cierre” el mar.

Pero ¿puede haber algo menos alto que la mar? Medimos las alturas sobre el nivel del mar, precisamente porque ese nivel es el mismo en todas partes. ¿Hay algo de lo que tenga menos sentido decir que “es alto” que el propio cero de alturas?

Y sin embargo, una expresión como “alta mar” no puede haberse consagrado por el uso sin que tenga una razón de ser, un significado que se nos oculta pero que debió ser natural en su origen. ¿Acaso pensaban los primeros marineros que se aventuraron lejos de la costa, en alta mar, que al hacerlo sus barcos estaban subiendo?

Sorprendentemente, eso es justo lo que pensaba Colón cuando cruzaba el Atlántico. No porque sus sentidos le engañaran, claro: no experimentaba la sensación de ascender por un mar en pendiente. Era su teoría la que se lo decía. Entender por qué nos puede enseñar un par de cosas sobre cómo funciona la ciencia.

*

Tenemos que remontarnos, como casi siempre, a Aristóteles. El filósofo por antonomasia había enseñado que el universo era una serie de esferas concéntricas, con la Tierra en el centro. El mundo sublunar (“de la luna para abajo”) estaba hecho de los familiares cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego; mientras que el material del supralunar era totalmente distinto: el misterioso quinto elemento, el éter. Su movimiento natural era circular y uniforme, de modo que siempre se cerraba sobre sí mismo, y los cielos eran eternos e inmutables; mientras que en la Tierra la mezcla de elementos provocaba cambios incesantes.

Cada elemento tenía su lugar natural, por orden de densidad, desde el más pesado (la tierra) en el centro, al más ligero (el fuego), ya en la vecindad de la esfera de la luna, pasando por el agua (los mares) y el aire (la atmósfera). La tendencia a buscar su lugar propio era la que causaba que las piedras en la atmósfera o el mar cayeran, que las burbujas ascendieran en el agua y que el fuego lo hiciera en el aire: los movimientos naturales de los elementos terrestres eran rectilíneos y verticales, en contraste con el movimiento circular del éter.

El mundo de Aristóteles poseía un maravilloso orden lógico, pero había un pequeño problema. La tierra, más pesada que el agua, tendría que estar por debajo de él. Sabemos que hay tierra bajo los mares, pero ¿porqué también hay tierras por encima del nivel del mar? Parece que una esfera de agua debería rodear a una esfera de tierra, igual que el aire de la atmósfera nos rodea, siempre por encima de la tierra y el agua.

Había que encontrar una explicación, y como no se podía negar la existencia de tierras emergidas, la alternativa que los eruditos de la Edad Media tomaron fue minimizar su importancia. Vean por ejemplo esta página de uno de los libros más famosos de la historia de la ciencia,  De Sphaera Mundi. Escrito hacia 1230 por Johannes Sacrobosco (su nombre original era John of Holywood, pero en aquella época el latín tenía más prestigio que la meca del cine 😉 ) tuvo una inmensa popularidad: se conservan ciento de copias manuscritas, y tras imprimirse por primera vez en 1472 se estuvo reeditando ininterrumpidamente hasta el siglo XVII.

El significado de esa especie de sello circular queda mucho más claro si lo ampliamos y lo coloreamos así (sacado de aquí, el color es mío):

En efecto, es un esquema de la Tierra, con las esferas de tierra, agua, aire (esas bonitas nubecillas…) y fuego. Pero la esfera de la Tierra está descentrada y es mucho menor que la de agua, de modo que solo una pequeña parte sobresale del nivel del mar.  Y al no ser concéntricas las dos esferas, ese nivel va subiendo si nos alejamos de la costa, cuando nos adentramos en alta mar

*

Sacrobosco no fue el único autor que busco solucionar el problema de la existencia de las tierras emergidas (en su magnífico libro La invención de la ciencia, donde he encontrado esta historia, David Wootton nos cuenta otras posibles soluciones), pero su propuesta fue la más popular. Curiosamente, Aristóteles no había considerado que hubiera  un problema: fueron sus comentaristas medievales los que, más papistas que el papa, quisieron que su modelo lo explicara todo, y tuvieron que introducir modificaciones que siempre implicaban eliminar algo de la hermosa simetría del original.

Este es un tema recurrente en la historia de la ciencia: una teoría excelente en líneas generales (como era la de Aristóteles cuando se formuló) se encuentra con anomalías que no puede explicar bien. Si queremos mantener la validez absoluta de la teoría (como Sacrobosco y compañía) tenemos que modificarla, y esas modificaciones serán a menudo ad hoc, es decir, serán un parche que permitirá seguir adoptando la teoría a costa de que sea menos elegante. Hay pues un compromiso entre elegancia y poder explicativo, algo que rara vez se suele explicar cuando nos cuentan, como casi siempre, la historia de la ciencia como un cuento de buenos y malos (perdón, de torpes y listos, pero ya me entienden).

Cuál es el mejor compromiso puede ser opinable, y por eso no es raro que coexistan varias teorías, o al menos, varias versiones de una teoría… generalmente hasta que nuevos hechos vienen a desmentir alguna de ellas. Así, la teoría de la alta mar sostenía que las tierras emergidas eran poco extensas y que, en particular, no había continentes en las antípodas, pero Colón y los descubrimientos de nuevas tierras que siguieron lo desmintieron.

Sin embargo (y esta es la otra cosa sobre el funcionamiento de la ciencia que nos enseña esta historia), ese desmentido (lo que Karl Popper llamaba falsación) casi nunca es tan concluyente como se piensa. Incluso en el caso que nos ocupa, la idea de la alta mar mantuvo su atractivo muchos años después de Colón. En efecto: una ventaja de esta teoría era que permitía explicar el origen de los ríos. Durante muchos siglos, se pensaba que las lluvias eran insuficientes para alimentar continuamente ríos tan caudalosos como el Nilo o el Danubio, y se explicaba que sus fuentes estaban por encima del nivel del mar en la costa pero no por encima del máximo nivel del mar. Se suponía que el agua del mar se filtraba por fisuras en su fondo, y emergía en las fuentes y los ríos (¡vasos comunicantes!). Todavía en 1663 el libro del jesuita Gaspar Schott traía esta ilustración:

El punto más alto del mar es F, mientras que el nivel de la costa es BC. Queda abierta la cuestión, dice Schott, de si las cimas de las montañas, como E, pueden estar más altas que el punto más alto del mar. Como vemos, Schott no dibuja ya una Tierra como la de Sacrobosco, algo que era imposible después de que Elcano diera la vuelta al mundo, pero se aferra a la idea de que de alguna manera el nivel del mar no es uniforme, porque eso proporciona una explicación conveniente a algo que no puede explicar de otra manera.

En definitiva: la historia de la ciencia siempre es mucho más complicada (¡y más interesante!) de lo que nos cuentan los divulgadores. Y quizá la lección más importante: detrás de una idea “absurda”, como la de la alta mar, siempre hay alguna explicación, y muy raramente suele ser la superstición y el oscurantismo de los antiguos (esos comodines de nuestra pereza intelectual).

Mapas en la Biblioteca Nacional

Sólo queda una semana para que cierre en Madrid una exposición extraordinaria: Cartografías de lo desconocidoen la Biblioteca Nacional. Esta mañana he estado allí y he podido contemplar esto:

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¿Ven ese dibujo de la izquierda?¿Les suena? Aquí tienen lo que nos dicen en la exposición:

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(Por si todavía alguien pensaba que en la Edad Media creían en una Tierra plana). Pero en la exposición hay mucho más que mapas. También me emocionado al encontrar esto:

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¡El Misterium Cosmographicum de Kepler! (1596). Y esto otro:

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El libro en el que nuestros heroicos (y, ay, desconocidos) Ulloa y Jorge Juan cuentan su expedición al Perú para medir el tamaño y forma de la Tierra.

La exposición es un muestrario excepcional de los fondos cartográficos de la Biblioteca Nacional. Realmente bonita de ver, incluso para los que no sean aficionados a los mapas… y además gratis.

Dulce Newtondad

¿Quién ha sido la persona más influyente de la historia? Seguramente muchos dirán que Jesucristo (yo me incluyo). Sin embargo, hay voces autorizadas, como el astrofísico Michael Hart, que no están de acuerdo: en su célebre lista de 1978, el número uno es Mahoma… a pesar de que por entonces Jomeini aún no había llegado al poder y Bin Laden era un anónimo estudiante de ingeniería. Hart argumentaba que, siendo el cristianismo la religión más extendida y que más ha marcado a la humanidad, no se puede considerar a Jesucristo su único fundador, porque San Pablo tuvo un papel decisivo, a diferencia del caso del Islam, creado íntegramente por Mahoma. Por eso coloca a Jesucristo tercero en la lista, y a Pablo de Tarso en el sexto lugar, tras Buda (4ª posición) y Confucio (en el 5º puesto).

Polémicas aparte, el lector atento se habrá dado cuenta de una cosa: hemos mencionado al primero, el tercero, el cuarto y el quinto de la lista de Hart, pero ¿quién es el segundo? Ese mismo lector seguro que sabe ya responder a la pregunta: sólo puede ser Isaac Newton.

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Y en efecto, puede haber discusión para  elegir al personaje más importante de la historia de las religiones, pero por suerte eso no pasa con la historia de la ciencia: nadie bien informado puede negar el puesto de honor a sir Isaac Newton.

Otro Isaac, el buen doctor Asimov, lo explicaba en su libro Cien preguntas básicas sobre la ciencia:

¿Quién fue, en su opinión, el científico más grande que jamás existió?

Si la pregunta fuese “¿Quién fue el segundo científico más grande?” sería imposible de contestar. Hay por lo menos una docena de nombres que, en mi opinión, pueden aspirar a esa segunda plaza. Entre ellos figurarían, por ejemplo, Albert Einstein, Ernest Rutherford, Niels Bohr, Louis Pasteur, Charles Darwin, Galileo Galilei, James Clerk Maxwell, Arquímedes y otros. (…) Pero como la pregunta es “¿Quién es el más grande?”, no hay problema alguno. En mi opinión, la mayoría de los historiadores de la ciencia no dudarían en afirmar que Isaac Newton fue el talento científico más grande que jamás haya visto el mundo. Tenía sus faltas, vive el cielo: era un mal conferenciante, tenía algo de cobarde moral y de llorón autocompasivo y de vez en cuando era víctima de serias depresiones. Pero como científico no tenía igual.

Decir que “tenía sus faltas” es muy amable para con Newton (¡por algo llamaban a Asimov “el buen doctor”!): en realidad sir Isaac era un personaje sumamente antipático en lo personal, que se peleó con todos sus rivales científicos, dirigió con especial crueldad la Casa de la Moneda (encargándose personalmente de que se ahorcase a los falsificadores) y al que su ayuda de cámara sólo vio sonreír una vez en décadas. Un mal bicho, en resumen… pero el mayor genio científico de la historia.

Pero ¿qué tiene que ver Newton con la Navidad? Aquí lo explica Sheldon Cooper…

…pero si quieren saber más, les recomendó el podcast de El Independiente en el que converso con Mario Viciosa sobre el que es, sin sombra de duda, el mayor científico de la historia.

[Mas podcasts de De Tales a Newton aquí]

Cuestión de punto de vista

Todos hemos visto esos bonitos vídeos en time-lapse que resumen unas horas en pocos segundos: las nubes se mueven a toda velocidad, las estrellas giran majestuosamente a lo largo de la noche…

Este gif le da un giro (nunca mejor dicho) inesperado al tema:

El autor simplemente ha estabilizado las estrellas, que aquí están literalmente fijas, y la consecuencia es vemos que la Tierra se mueve: es sólo un cambio de punto de vista, pero es el  que nos llevó de Ptolomeo a Copérnico.

(Lo encontré aquí, parece que la fuente es ésta)

Contando manifestantes (o la posverdad numérica)

Desde que el Diccionario Oxford la proclamó como “palabra del año” y The Economist le dedicó una portada, no hay día que no oigamos hablar de la posverdad.

Y lo cierto es que necesitábamos la palabra, que no es sinónimo de “mentira”, como dicen algunos críticos de oído poco fino. Posverdad no se refiere a tal o cual noticia falsa, sino a un estado de ánimo: la actitud de quien valora, por encima de la verdad fáctica de las cosas, su particular “verdad” sentimental. Eso tan cursi de “mi verdad”, que hace años sonaba a parla de folclóricas, y que hace aún más años hizo decir certeramente a don Antonio Machado:

¿Tu verdad?  No, la Verdad,
y ven conmigo a buscarla.
La tuya, guárdatela.

La posverdad está hoy por todas partes, y no se detiene ni ante las matemáticas. El President de la Generalitat y el Delegado del Gobierno en Cataluña seguramente coincidirán en que una mano tiene cinco dedos, pero si esa elemental operación de contar la extienden a los manifestantes de la Diada, sus resultados pueden diferir en un orden de magnitud.

Lo más grave es que a nadie parece importarle. Las partes esgrimen sus verdades, los medios las publicitan, y nosotros nos quedamos con la que más nos gusta. Aunque en general, el número que prevalece es al más abultado. Toda manifestación que se precie alcanzará el millón de asistentes, según sus convocantes. Ese es un número que les encanta a los medios (sensacionalismo en acción) y que, repetido una y otra vez, se convierte en canónico, y acaba siendo admitido sin discusión, como algo “que todo el mundo sabe”.

¿Es que es imposible contar manifestantes? Contarlos, quizá, sí; al menos, sin helicópteros, cámaras,  y herramientas de análisis de imagen. Pero ¿quién necesita contarlos? Basta estimarlos con una aproximación razonable, y eso es facilísimo: el número de manifestantes es, en primera aproximación, el número de metros cuadrados que ocupó la manifestación. Y ni siquiera es necesario medir el área con precisión, ya que la estimación de un manifestante por metro cuadrado tampoco es demasiado precisa…

Naturalmente, quien no sabe de números enseguida criticará este desprecio por la precisión, pero se equivoca. La idea importante es que, por burdo que sea el cálculo, es una estimación razonable e imparcial del orden de magnitud: no nos podrá decir si había 82.000 o 97.000 manifestantes, pero sí que no había diez mil ni un millón, digan lo que digan los convocantes.

Para estimar el área de una manifestación basta enviar a cuatro o cinco periodistas que inspeccionen hasta dónde llega la gente, y luego mirarlo en Google Maps. Un periódico que hiciera esto en cada protesta multitudinaria prestaría un impagable servicio a la democracia. Sospecho que si no se hace no es tanto por pereza como por analfabetismo numérico.  La idea de que casi nunca necesitamos una medida exacta, sino una estimación razonable, y que esa estimación puede ser muy fácil de obtener, no forma parte de nuestra cultura. Nadie nos lo enseña en el colegio; al contrario, salimos con la idea de que las matemáticas son cuentas (primer error) y que las cuentas sólo valen si son exactas (segundo error).

Y como no podemos conocer la verdad absoluta (el número exacto de asistentes), nos tragamos impávidos la posverdad, teniendo a nuestro alcance una verdad aproximada… que es la única que necesitamos.

*

NOTA: Este artículo está inspirado por este otro, de Álex Grijelmo: Nunca hubo un millón. Les recomiendo encarecidamente su lectura. A ver si entre todos vamos desmontando el mito del millón de manifestantes (sea cual sea la convocatoria…).

This is the way to explain it

Eso es lo que dice hacia  el final del vídeo Burkard Polster, un profesor de matemáticas australiano, más conocido en Youtube como Mathologer, y creo que tiene razón. Su explicación de la identidad de Euler (por qué e^{i \pi}=-1) es un prodigio: el mejor vídeo de matemáticas que he visto nunca.

(está en inglés, pero pueden activarse subtítulos en español)

Cómo tener una universidad tan buena como la holandesa

El Mundo dedica hoy un extenso artículo a las universidades holandesas. Lo titula así: “El ‘pleno al 13’ de Holanda: así coloca todas sus universidades entre las mejores del mundo”.

¿Y por qué son tan buenas las universidades holandesas? Leo nada más empezar que es “un sistema que se ha deshecho hace tiempo de la teoría para pasar a la práctica” , y me quedo un poco perplejo. Pero unas líneas más abajo doy con la clave:

Este país tiene claro que la Educación es un pilar fundamental, por eso le destina anualmente el 5,9% del presupuesto general, frente al 5% que le dedica España, un Estado con el triple de población.

Parece ser que la periodista sugiere que, como nuestra población es triple, deberíamos dedicar un porcentaje triple. De donde se deduce que los Estados Unidos, cuya población es 17 veces mayor que la de Holanda, debería dedicar a la Educación un porcentaje de 5,9*17=100%.

¡Menos mal que tenemos periodistas que saben cómo arreglar la educación en España!

Receta para fotografiar una Superluna, cualquier día del año

Decíamos ayer que la “superluna” sólo es ligeramente más grande que la Luna normal de todas las noches, pero ¿cómo medimos su tamaño aparente? Desde luego no en centímetros…

Recuerdo, de pequeño, oír decir a mi padre que “la Luna es como un queso”. Se refería a su tamaño, y siendo yo mayor, recuerdo también quererle convencer de que eso no tiene sentido: un queso parece más grande o más pequeño según lo veamos más cerca o más lejos (sin embargo, parece que es una tradición campesina decir que ese es el tamaño de la Luna). De hecho, para que un queso de 20 cm de diámetro pareciera “igual de grande que la Luna” tendríamos que verlo desde unos 23 metros: a esa distancia, el ángulo que determina el queso con nuestro ojo es el mismo que la Luna; aproximadamente, medio grado.

En efecto, la única manera que tiene sentido de medir el tamaño aparente de la Luna es como un ángulo. Es un ángulo, por cierto, bastante pequeño: como el arco completo del cielo tiene 360º, cabrían 720 lunas llenas puestas una al lado de la otra; o 720 soles porque, casualmente (como se ve de manera espectacular en los eclipses de Sol) el tamaño angular de la Luna y el Sol es el mismo.

Unos prismáticos, o un teleobjetivo, aumentan el tamaño angular con el que vemos los objetos, y por eso parecen estar más cerca. Y esa es la manera también de obtener fotos como ésta:

superlunacompostela

Vemos la Luna enorme no porque sea enorme sino porque hemos usado un potente teleobjetivo. Pero, ¿por qué no vemos la catedral enorme? En realidad sí la vemos: el truco está en que la foto está hecha desde muy lejos.

*

Lo más interesante es que podemos calcular desde qué distancia está hecha la foto. Sólo necesitamos saber el tamaño real del objeto, en este caso, la distancia entre las dos agujas de la Catedral de Santiago de Compostela. Lo buscamos en Google Maps y, usando la utilidad de medir distancias, encontramos que son 33 metros. Y ahora razonamos de la siguiente manera:

  1. El tamaño angular de la Luna (¡y el de la superluna!) es, redondeando, de medio grado.
  2. El diámetro en píxeles de la Luna de la foto es de 196.
  3. Entre las agujas de la catedral hay 295 píxeles.
  4. Si 196 píxeles son medio grado, una regla de tres nos dice que 295 son 0.75 grados
  5. Sólo falta calcular a qué distancia hay que ponerse para que los 33 metros de distancia entre las agujas de la catedral se vean como 0.75 grados.

Este último problema es trivial si conocemos el concepto de radián (lo conté en este post), pero tampoco es necesario. Basta darse cuenta de que si un círculo centrado en nosotros y con radio r tiene una longitud  2 \pi r, la longitud que corresponde a un ángulo que en vez de 360º sea sólo de \alpha es L = 2 \pi r \frac{\alpha}{360} . Y por tanto, la distancia r a la que hay que situarse para que una longitud L abarque \alpha grados es

r=\frac{L 360}{2 \pi \alpha} .

Con nuestros datos (\alpha = 0.75, \, L=33 \, m) obtenemos que r=2520 m: ¡el fotógrafo estaba situado a 2 kilómetros y medio!

En resumen: si quiere sacar fotos en las que se vea una Luna enorme contra la Catedral de Santiago de Compostela, la Acrópolis o la Torre Eiffel, la receta es: cómprese un teleobjetivo muy potente y váyase a un par de kilómetros o tres del monumento en cuestión. Y no espere a que sea el día de la Superluna: lo más que va a conseguir es que el diámetro sea un 9% mayor que en un día normal.

*

Ejercicio 1 (matemático): Ahora seguro que puede usted calcular a qué distancia se ha tomado esta foto:

superlunaplazaespana

Pista: estamos hablando de órdenes de magnitud, así que aunque Google Maps no nos diga el tamaño de esos balcones y ventanas (que, por cierto, son los de la Torre de Madrid) podemos tomar la figura humana como referencia de tamaños. Las distancias en píxeles se obtienen abriendo la foto con cualquier editor (hasta el Paint de windows vale). Ah, y para que se animen a hacer la cuenta: a mí me salen unos 2 km.

Ejercicio 2 (filosófico): Para pensar: ¿qué nos dice el caso de la Superluna y sus superfotos sobre los medios de comunicación, la visión del mundo que podemos sacar de ellos, la comunicación de la ciencia, la ética periodística y otras grandes palabras similares?