¿Alrededor de quién gira la Luna? (II)

Lector: Me lo he estado pensando y creo que el razonamiento del post anterior es incompleto.

Autor: ¿Por qué?

L.: Porque considerábamos el movimiento de la Luna desde un punto de vista puramente geométrico. El único dato que usábamos era la proporción entre las distancias al Sol y a la Luna.

A.: Y también, para situar nuestras lunas en el dibujo, que un año tiene doce meses.

L.: Sí, es verdad. Pero eso en definitiva es otra proporción: la que hay entre los periodos de la Tierra y la Luna. No hay nada de física en el razonamiento; y saber en torno a quién gira la Luna es un problema físico. Tendríamos que saber cuales son las velocidades, por ejemplo.

A.: No hay problema, son fáciles de calcular. Sólo hay que conocer la distancia Tierra-Luna (d_{TL}= 384 \cdot 10^{3} km) y la distancia Tierra-Sol (d_{TS}= 150 \cdot 10^{6} km). La velocidad de la Luna será:

v_{L} \approx \frac{2 \pi \, \cdot d_{TL}}{t_{1mes}} \approx \frac{2 \pi 384 \cdot 10^{3} km }{30 \mbox{d\'{i}as} \cdot 24 \mbox{horas}}=3300 \, km/h .

Y la velocidad de la Tierra:

v_{T} \approx \frac{2 \pi \, \cdot d_{TS}}{t_{12meses}} \approx \frac{2 \pi 150 \cdot 10^{6} km }{365 \mbox{d\'{i}as} \cdot 24 \mbox{horas}}=108000 \, km/h .

Para retener mejor los resultados, podemos redondearlos a 3.000 km/h y 100.000 km/h. Ahora vamos a dibujar estas velocidades como vectores (pero no a escala, por razones obvias):
VelocidadesLuna1

L.: ¿Y ese número negativo, -3.000 km/h?

A.: Lo único que significa es que va en sentido contrario a los demás, hemos puesto positivo hacia la izquierda.

L.: Vale, claro. Pero ahí está: aquí se ve precisamente que la Luna gira alrededor de la Tierra.

A.: Es que tenemos que cambiar algo en el dibujo. Fíjese que las velocidades v_L (flechas azules) son con respecto a la Tierra, mientras que la velocidad v_T (flecha roja) es con respecto al Sol. Para evitar esa incongruencia, deberíamos dibujar todas las velocidades respecto al Sol (y las pintaremos todas de rojo). Basta sumar a las v_L el valor de v_T:

VelocidadesLuna2

¿Ve lo que ocurre? Ahora vemos que ¡en ningún momento la Luna va “hacia atrás”!

L.: Ya. Todo se mueve siempre hacia la izquierda…

A.: ¿No sería más lógico entonces decir que tanto la Luna como la Tierra giran en torno al Sol, sólo que, mientras la Tierra gira a velocidad constante, la Luna lo hace con una velocidad que oscila un poco: entre 97.000 km/h (en luna nueva) y 103.000 km/h (en luna llena)?

L.: Mmm… ¡espere un momento! La explicación tiene que estar en las fuerzas. Por lo que yo recuerdo, para que un objeto se mueva en círculo tiene que ser atraído por una fuerza, porque si no se movería en línea recta, ¿no?

A.: Sí, eso es el principio de inercia: si no actúa ninguna fuerza sobre un objeto, el objeto se mueve en línea recta y a velocidad constante. Para que la trayectoria sea circular, tiene que haber una fuerza que lo desvíe constantemente de la línea recta. Eso es llo que hace la gravedad del Sol con La Tierra.

L.: ¡Eso me da una idea! Sobre la Luna actúa la fuerza de la gravedad de la Tierra y la del Sol, ¿no? Supongo que la fuerza que ejerce la Tierra es mucho mayor, y eso demostrará que la Luna gira en torno a la Tierra. ¡Quien haga más fuerza es el que manda!

A.: Pues manos a la obra, porque calcular esas fuerzas es fácil. Según la ley de la gravitación universal, la fuerza del Sol sobre la Luna, F_{SL}, es:

F_{SL} = G \frac{M_S M_L}{d_{SL}^2}

y la fuerza de la Tierra sobre la Luna, F_{TL}, es:

F_{TL} = G \frac{M_T M_L}{d_{TL}^2}

En estas ecuaciones ya conocemos las distancias; las masas del Sol y la Luna nos las proporciona una ojeada a Google ( M_S \approx 2 \cdot 10^{30} \, kg y M_T \approx 6 \cdot 10^{24} \, kg) , y la masa de la Luna, M_L, y la constante G de la gravitación universal no son necesarias porque sólo nos interesa el cociente:

\frac{F_{SL}}{F_{TL}} = \frac{M_S}{ M_T} \left( \frac{d_{TL}}{d_{SL}} \right)^2 \approx 3.3

Así que ¡la fuerza que hace el Sol sobre la Luna es más de 3 veces mayor que la fuerza que hace sobre ella la Tierra!

L.: Eso sí que no me lo esperaba.

A.: Entonces, tiene que aceptar que la Luna gira en torno al Sol, ¿no? “Quién haga más fuerza es el que manda”, decía.

L.: Déjeme pensarlo por lo menos hasta el próximo post.

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