Midiendo la distancia a las estrellas (o si lo prefieren, a mi dedo pulgar)

Estamos acostumbrados a oir que las estrellas están muy lejos, y es verdad: la más cercana, Alfa Centauri, está a 4.4 años luz de nosotros, y un año-luz (la distancia que la luz viaja en un año) son nada menos que unos 9,5 billones de km: más de 63000 veces la distancia entre la Tierra y el Sol.

Pero si esas distancias son tan enormes, ¿cómo hemos podido medirlas? Seguramente utilizando algún procedimiento supersofisticado: ¿algún laser ultrapotente, una complicada fórmula de la Relatividad General…?

Nada de eso. Si quiere saberlo, no tiene más que extender el brazo, levantar el dedo pulgar y mirar por la ventana guiñando el ojo:

paralaje 1

Ahora, sin moverse, guiñe el otro ojo:
paralaje 2

¿Ha notado la diferencia entre las dos imágenes? La posición aparente del dedo en relación al fondo ha cambiado. Si ahora acerca el pulgar a un palmo de la cara y vuelve a guiñar alternativamente los ojos, notará que el desplazamiento es mucho mayor: ¡El cambio depende de la distancia!

Este efecto se llama paralaje, y es el que se usa para medir la distancia de las estrellas. Para entenderlo, nada mejor que volver a nuestro dedo pulgar. La figura muestra el dedo (D), los dos ojos (O1 y O2, separados una distancia d), y la posición aparente del dedo visto por el ojo 1 (P1) y por el ojo 2 (P2).

paralaje esquema

Si conocemos d y \alpha , determinar la distancia L a la que está el dedo es un sencillo problema de trigonometría:

\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{d/2}{L} \Rightarrow L = \frac{d/2}{\tan \frac{\alpha}{2}}

Vamos a aplicar esta fórmula a nuestras fotos. El desplazamiento del pulgar entre una y otra es de unos 345 píxeles. En mi cámara, con la resolución de 2048 x 1536, cada píxel corresponde a un ángulo de 1.3 minutos de arco (=0.022º), así que

\frac{\alpha}{2} = \frac{345}{2} \cdot 0.022 = 3.73^{\circ} \Rightarrow \tan \frac{\alpha}{2} = 0.065

La distancia entre mis ojos es aproximadamente d=7 cm, así que

L = \frac{7/2}{0.065} = 53.6 \, cm

Y la distancia L medida con una regla era… ¡53 cm! El método funciona.

Ahora bien, ¿funcionará para una estrella? El problema ahora es que L es extremadamente grande y desde luego no nos va a servir de nada guiñar los ojos. Pero si hacemos que la distancia d entre los dos puntos de observación sea muy grande, con suerte quizá el ángulo \alpha sea suficientemente grande para medirlo… El mayor valor de la distancia d que podemos conseguir es el diámetro de la órbita terrestre, si hacemos las observaciones, por ejemplo, en junio y en diciembre.

Pero incluso con esa distancia el ángulo es minúsculo. Al principio decíamos que para Alfa Centauri L=4.4 años-luz y que cada año-luz son unas 63000 veces la distancia Tierra-Sol. La distancia Tierra-Sol es, en nuestro esquema, d/2, de modo que ahora…

\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{d/2}{L} = \frac{d/2}{4.4 \cdot 63000 \cdot d/2 } = 3.6 \cdot 10^{-6}

A esta tangente corresponde un ángulo \alpha = 2 \cdot 0.74 = 1.48 segundos de arco. Son unas 50 veces menos que los 1.3 minutos de arco que tenía cada píxel en las fotos anteriores. Es ciertamente muy poco, pero no parece desmesuradamente pequeño (¡aunque multiplicar por 502 el número de píxeles sería pasar de los 3 megapíxeles de esas fotos a casi 8 gigapíxeles…!)

El auténtico problema es que ese ángulo hay que medirlo entre dos imágenes que no están tomadas simultaneamente, sino con medio año de retraso, así que hay muchas dificultades técnicas que resolver… Aún así, un habilidoso astrónomo y matemático alemán, Friedrich Bessel, consiguió la hazaña en 1838. De eso habrá que hablar otro día…

Postdata: Quizá alguien se pregunte de dónde he sacado un dato imprescindible: el ángulo que corresponde a cada píxel. ¿He tenido que consultar el manual de la cámara quizá? En realidad, ese dato no viene en el manual de la mía, pero no hace falta: es muy fácil de medir. La solución, en el próximo post.

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  1. Pingback: Los errores de un péndulo - Naukas

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