Seguimos midiendo distancias… ahora como profesionales

En el post anterior demostrábamos que se puede medir la distancia a un objeto, ya sea mi dedo pulgar o una estrella, observándolo desde dos posiciones diferentes y registrando su cambio de posición aparente contra el fondo.

Pero quedaba un cabo suelto: necesitábamos medir el ángulo que correspondía a ese cambio de posición, y lo único que podíamos medir directamente en las fotos que utilizábamos era el número de píxeles. ¿Cómo hacemos la traducción de pixeles a ángulo?

En realidad es muy sencillo, y en el caso del pulgar ni siquiera tuve que hacer una medida adicional. Sé que mi dedo tiene d=2 cm de ancho, y tuve que medir su distancia para comprobar que el método funcionaba (estaba a R=53 cm)

Ángulo subtendido por el dedo

Obteniendo el ángulo subtendido por el dedo

Así que el ángulo con el que la cámara veía mi pulgar (el nombre técnico es el “ángulo subtendido por el pulgar”), según la figura, cumple que su tangente es

\tan \frac{\theta}{2} = \frac{d/2}{R} = \frac{1}{53}=0.0188

lo que significa que, según dice mi calculadora,

\theta = 2.2^{\circ}

Pero mi dedo abarcaba 100 píxeles en la foto, así que cada píxel son \theta_{pixel}=0.022^{\circ}, tal como dijimos en el post anterior.

*

¿Sencillo, verdad? Pues en realidad es más sencillo aún, porque no hace falta usar la tangente, ni siquiera conocer su definición. Nuestras cuentas se complican innecesariamente por usar una unidad arcaica: el grado. Vamos a ver cómo lo hacen los profesionales.

El grado es una unidad arbitraria: ¿por qué dividir la circunferencia en 360 partes y no en 100, por ejemplo? (¡Buena pregunta! Algún día tendremos que contestarla aquí). Una unidad “natural” sería la que se basara en dividir la circunferencia en un número natural de partes. Y dado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 \pi r, la opción más natural es… dividir la circunferencia en 2 \pi partes.

Vamos a verlo más despacio. Si tenemos un ángulo \alpha

Un ángulo

Un ángulo. Hemos dibujado una circunferencia que tiene su vértice por centro, y hemos llamado al arco S y al radio R.

…una regla de tres nos dice que la proporción del arco S con el arco total 2 \pi R es la proporción del ángulo \alpha con el ángulo total:

\frac{S}{2 \pi R}= \frac{\alpha}{\mbox{\'angulo total}}

Si, arbitrariamente, decimos que el ángulo total tiene 360º, despejando \alpha tenemos que

\alpha= \frac{S \cdot 360}{2 \pi R}  (grados)

Pero, si de manera natural, decimos que ángulo total son 2 \pi unidades, que vamos a llamar radianes, resulta que

\alpha= \frac{S }{ R}  (radianes)

¡Mucho más fácil!: el ángulo es el arco partido por el radio, simplemente. Medido en radianes, claro: la unidad de los profesionales.

*

Pero todavía no hemos visto como los radianes simplifican nuestro problema. Para determinar \theta obteníamos del dibujo \tan \frac{\theta}{2} y luego usábamos una tabla de razones trigonométricas (seguramente, la que tiene memorizada la calculadora) para obtener el ángulo. Pero esto es un rodeo muy poco elegante. En realidad, \theta, como todos los ángulos, es el arco partido por el radio, y al ser un angulo muy pequeño, el arco es muy similar a la anchura del dedo (no hay más que ver la figura):

Comparando el arco y el diámetro d

Comparando el arco (en azul) y el diámetro d

Así que sacar el ángulo es así de sencillo:

\theta \approx \frac{d }{ R} = 0.038

…medido en radianes, como debe ser (ahora, si queremos, podemos convertirlo a grados, y naturalmente obtenemos \theta = 2.2^{\circ}… pero no hace ninguna falta).

En definitiva, una de las (muchas) ventajas de usar los radianes, es que para ángulos pequeños la tangente coincide con buena aproximación con el valor del ángulo, y (seguro que el lector lo ve enseguida) lo mismo ocurre con el seno:

\mbox{Para \'angulos peque\~nos, } \, \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

*

Pero todavía tenemos que seguir hablando de ángulos. Esto era una digresión antes de volver a las estrellas…

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