El sorteo del Gordo de Navidad visto por un físico

El físico soy yo, pero obviamente no siempre lo fui. De pequeño era un niño al que le gustaba el sorteo del Gordo, tanto que pensaba que el día 22 de diciembre era una de las fiestas de la Navidad. No tan importante como Nochebuena o Nochevieja (y no digamos Reyes); quizá como el día de los Inocentes, pero una fiesta con todas las de la ley. La prueba era que tenía su liturgia propia: la cantinela de los niños de San Ildefonso, que sonaba toda la mañana en casa, en las tiendas, por la calle…

Todos los años, cuando mi madre veía las imágenes del sorteo en la tele, me decía: fíjate qué grande es el bombo de los números y qué pequeño el de los premios.

¿Cuántas veces es más grande el bombo de los números que el de los premios?

¿Cuántas veces es más grande el bombo de los números que el de los premios?

Claro que es mucho más grande, así que la gran mayoría de los números se quedan sin premio, que era lo que me quería decir mi madre. Pero ¿cuál es la proporción? Hoy no se tarda nada en buscarlo en internet: hay trece premios del primero al 5º y 1.794 premios de la pedrea: un total de 1.807. Los números son 100.000, así que la proporción es de algo más de 50 a 1: exactamente, 55’3 (naturalmente hay muchos más premios especiales por terminaciones, centenas, aproximaciones, etc, pero vamos a dejar estos de lado).

Pero ¿podríamos averiguar esto sólo a partir de la foto? Podría pensarse que no, porque no sabemos el tamaño de las bolas ni el de los bombos; sólo podemos hacernos una idea aproximada por comparación con las personas que salen. Pero eso no importa, porque lo que buscamos es la proporción entre los dos bombos y en la foto eso se aprecia con bastante exactitud.

Antes de seguir leyendo: ¿Cuál diría el lector que es esa proporción?¿Dos, cuatro, ocho veces más grande el bombo de los números? En la imagen, he medido los diámetros en píxeles: 76 el de los premios y 162 el de los números: un poco más del doble. Pero el volumen es proporcional al cubo del diámetro (o del radio: al cubo de cualquier dimensión lineal, lo que cambia en cada caso es el factor de proporcionalidad). Esto significa que el volumen del bombo de los números es más de ocho veces el de los premios. En realidad, (162/76)^3 \approx 9.7 ¡casi diez veces más!

Casi nadie calcula bien esto, por cierto: nuestras estimaciones intuitivas suelen estar más cerca del factor 4 porque instintivamente comparamos áreas  y no volúmenes (y aún así, solemos subestimar la proporción entre áreas…)

Así que debería haber 10 veces más números que premios… ¡pero sabemos que el factor es 50! ¿De dónde sale el factor 5 adicional? Si miramos la foto con atención, vemos que el bombo de los premios está menos lleno que el de los números. Puede que eso sea porque la foto se tomó bien avanzado el sorteo, pero mi impresión es cuando empieza el sorteo la fracción que está llena no es muy diferente a la que se ve en la foto.  Así que vamos a suponer que la proporción de la foto es la del principio y veremos qué obtenemos.

Ahora para comprar tenemos que ser más refinados. Antes no necesitamos saber la fórmula del volumen de la esfera, pero ahora sí vamos a necesitar la de la figura geométrica que ocupan las bolas, y que se llama casquete esférico. La razón es que los dos casquetes no son semejantes: uno no es una versión a escala del otro, precisamente porque un bombo está más lleno que el otro.

La fórmula en cuestión resulta ser (Wikipedia dixit):V=\frac{\pi h^2 }{3}(3r-h)

250px-Spherical_Cap.svg

Midiendo de nuevo en la foto, encontramos estas dimensiones en píxeles (letras mayúsculas para el bombo grande, minúsculas para el pequeño):

R=81, H=51, r=28, h=9

(en realidad, en la foto se mide bastante mal, pero ahí está la gracia: ver si con unos valores bastante mal medidos conseguimos un resultado aceptable). Aplicando nuestra fórmula, los volúmenes son V=499.392 y v=8.505 (las unidades serían píxeles cúbicos 🙂 ). Y la proporción es V/v=58’7 ¡casi exacto: el valor correcto era 55’3! (que conste que no he hecho trampa, hice las medidas de píxeles sin saber lo que iba a salir).

Animados por este éxito, ¿podríamos dar un paso más? ¿Sería posible estimar el número de bolas en un bombo? Algo podemos hacer, pero no podemos esperar mucha precisión porque la resolución de la foto no permite ver bien las bolas. Da la impresión de una bola tendría un diámetro de entre 1.5 y 2 píxeles. En el primer caso, su volumen sería del orden de 1.53=3’4 píxeles cúbicos y en el segundo, de 8 (no nos preocupa que sean esferas en vez de cubos, siendo tan malas nuestras medidas sólo podemos aspirar a estimar un orden de magnitud).  Dividiendo el volumen V=499.392 entre estos números, obtenemos en el primer caso 148.000 bolas y en el segundo 62.000… no está mal: si hay casi 100.000, hemos acotado muy bien el orden de magnitud.

¿Tienen algún interés estos cálculos de juguete? Por supuesto: así es como piensan los físicos. Simplemente mirando a nuestro alrededor y haciendo un pequeño esfuerzo para cuantificar podemos estimar muchas magnitudes con una exactitud bastante aceptable. Lo suficiente, en este caso, para tener una idea muy aproximada de las probabilidades de que un número salga cantado mañana en el sorteo del Gordo de Navidad: del orden de 1 entre 50, sólo con ver la foto y hacer un par de cuentas.

Mucha suerte a todos.

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  1. FRANCISCO JAVIER CLARES HUMBRIA

    Digno problema de Fermi, Juan. Mantiene la emoción hasta el último momento. Ahora bien ¿Cómo se cuentan los píxeles? ¿Cuánto dinero sería sensato gastar?¿Nos lo dejas para otra entrega…?

    Un saludo.

    • JuanMS

      Gracias, Javier. Los píxeles los he contado como haría el mismísimo Fermi: a ojo de buen cubero. Para ser más precisos: en la foto se aprecia que las bolas están justo en el límite de resolución, porque no se distinguen bien (como pasaría si tuvieran varios píxeles de tamaño) pero se nota que hay bolas en el bombo (en vez de verse una masa difusa como ocurriría si cada bola fuera mucho menor que un píxel). De todos modos, ampliando mucho la foto en cualquier visor se nota que andan más o menos por ese tamaño.

      ¿Cuánto dinero es sensato gastar? Sensato, sensato, cero euros. Otra cosa es cuando tienes en cuenta las emociones… Y bueno: Feliz Navidad, que estamos a día 24.

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