¿Realmente se ve Gibraltar desde el Pico Veleta?

En el post anterior decíamos que en una Tierra plana nuestra visión sólo estaría limitada por las condiciones meteorológicas: si fueran ideales, llegaríamos a ver el fin de la Tierra, independientemente de nuestra altura sobre el  suelo. Pero la Tierra es una esfera, y por eso, a medida que nos alejamos, el suelo se va hundiendo respecto de nuestro nivel: los objetos lejanos que están allí van dejando de verse. Ese límite de nuestro campo visual es el horizonte.

Lo que no hemos explicado es cómo depende ese horizonte de nuestra altura. Es fácil de entender con ayuda de un dibujo:

Calculo_horizonte

Si estamos subidos a la montaña, trazamos desde ahí la línea l tangente a la circunferencia. En el punto de tangencia es dónde se acaba nuestro campo de visión: los puntos más alejados quedan por debajo del horizonte. Está claro que si la montaña es más alta, el horizonte queda más lejos (líneas rojas finas).

La distancia de ese horizonte se puede calcular fácilmente usando el teorema de Pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir,

(r+h)^2 = r^2 + l^2

Lo que nos permite despejar la distancia l:

l = \sqrt{2 r h + h^2} \approx \sqrt{2 r h}

(la ecuación aproximada se basa en que h<< r).

¿Será cierto entonces que desde el Pico Veleta, como dice la Wikipedia, se puede divisar Gibraltar? La distancia en línea recta son 204 km (lo he medido en Google Maps con la opción “medir la distancia”, que aparece con el botón derecho del ratón). El radio de la Tierra lo podemos aproximar por r=6400 \, km y la altura del Veleta por h=3.4 \, km. Obtenemos entonces l=208,61 \, km con la fórmula aproximada y l=208,64 \, km con la exacta: ¡sí se puede ver Gibraltar desde el Veleta! (y comprobamos de paso que la aproximación es muy buena…)

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Un par de observaciones:

  • Este resultado proporciona un método insospechado pero muy sencillo para medir la altura de una montaña: simplemente, encontrar a qué distancia está el punto más lejano que podemos divisar y despejar de la fórmula h en vez de l. Tiene un inconveniente obvio: ese punto tiene que estar a nivel del mar (o al menos tenemos que saber su altura…)
  • Un detalle para los puristas: hemos calculado la distancia en línea recta, l, pero lo que viene en los mapas y debiéramos calcular es s, la distancia medida a lo largo de la superficie de la Tierra. Está claro que mientras h sea pequeña deben ser muy parecidas, pero ¿cómo se podría encontrar s en general? Lo dejo para el lector, que no voy a hacer yo todo el trabajo…
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