Ola de calor (IV): Calculando

Lector.: Íbamos por que podíamos calcular la temperatura a la que se pone la chapa del techo de un coche cuando está al sol…

Autor.: Bueno, le recuerdo que es una estimación, pero nos servirá para hacernos una idea. Necesitamos una ecuación sencilla pero muy importante, la ley de Stefan-Boltzman. Si llamamos J a la energía por unidad de tiempo y área que emite un cuerpo en forma de radiación, esta ley nos dice que:
J=\sigma T^4
Es decir, que las pérdidas son proporcionales a la cuarta potencia de la temperatura, pero, muy importante, la temperatura tiene que ir en grados Kelvin. La constante de proporcionalidad vale \sigma=5.67 \cdot 10^{-8} W/m^2 K^4

L.: ¿Y esas unidades?

A.: Fíjese que la temperatura va en grados Kelvin, así que al hacer el producto \sigma T^4 las unidades que quedan para J son W/m^2. Como un Watio es un Julio por segundo, al final nos salen Julios por segundo y metro cuadrado, o sea, energía (perdida) por unidad de área y de tiempo, como debe ser.

L.: Pero antes lo medimos en calorías por cm2 y por minuto…

A.: Sí, porque era más cómodo, pero el cambio de unidades es sencillo. No me entretengo en hacer las cuentas, pero sale que la caloría por cm2 y minuto que recibimos del sol son 697 W/m2.

L.: Bueno, ¿y cómo calculamos la temperatura de la chapa?

A.: Pues como hemos quedado en que se estabiliza cuando las pérdidas son iguales a las ganancias, basta escribir esta condición. Si la temperatura final de la placa es Tp,
\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, T_p = \sqrt[4]{697/\sigma} = 333 K

L.: Pues sí es fácil… ¡pero esa temperatura es demasiado baja! 333 K son 60ºC y la chapa se ponía a un poco más de 100ºC!

A.: Efectivamente. Es que nos hemos olvidado de un detalle importante. ¿Qué temperatura nos habría salido para la chapa si no estuviera al sol?

L.: Si no estuviera al sol… en vez de 697 W/m2 habría que haber puesto cero…¡saldría que la chapa estaría al cero absoluto!¿Absurdo, no?

A.: Justo: esto que acabamos de hacer es una de las costumbres del buen científico, comprobar qué pasa en casos extremos, y aquí vemos enseguida que algo falla. Afortunadamente es fácil detectar el error: se nos estaba olvidando que la chapa no sólo recibe radiación directa del sol, sino del ambiente. Por suerte, ésta la podemos calcular también con la ley de Stefan-Boltzmann. Si el ambiente está a 30ºC, es decir, a 303 K, la placa está recibiendo del ambiente \sigma 303^4 = 478 \, W/m^2. Esto hay que añadirlo a los Watios recibidos del sol, así que queda:
\sigma T_p^4 = (697 + 478) = 1175 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow\,\,\, T_p = \sqrt[4]{1175/ \sigma}= 379 K = 106^{\circ}C

L.: Ah, pues eso ya es casi exactamente lo que salía en el artículo del periódico, el “termómetro laser” medía 102.6ºC

A.: No me lo llame “termómetro láser”… el nombre correcto es pirómetro, y no usa el láser nada más que para apuntar…pero perdone, eso no importa en realidad. Como ve, no tiene nada de raro que una chapa de un coche se ponga a esas temperaturas tan altas. Pero no olvide que en nuestro cálculo hemos ignorado las pérdidas por convección y conducción.

L.: A ver, que lo piense… si las tuviéramos en cuenta, la temperatura sería más baja, ¿no?

A.: Claro, porque la chapa ahora pierde calor con más facilidad y conseguiría equilibrar las pérdidas con las ganancias sin tener que calentarse tanto.

L.: O sea que nos hemos pasado, hemos calculado una temperatura demasiado alta.

A.: Sí, pero por otra parte hemos puesto que recibimos del sol 1 caloría por minuto y cm2 y en realidad es algo más (recuerde que dividimos por 2 el valor de la constante solar, por hacer la cuenta más fácil y redondear a 1). Así que más o menos va lo uno por lo otro. Pero hay otra aproximación que he hecho sin avisar… ¿sabe cuál?

L.: Uf, sé tan poco de la radiación y todos eso que no tengo ni idea de qué puede ser.

A.: En realidad es tan obvio que pasa desapercibido: una chapa tiene dos caras, pero hemos hecho la cuenta como si tuviera una.

L.: Pero es que la cara de dentro no recibe radiación solar

A.: Pero ahí está precisamente: sólo recibe radiación solar por una cara pero pierde por las dos.

L.: Ya veo. O sea, que la temperatura es más fría, ¿no?

A.: Pero no mucho, porque no se olvide que lo que sí recibe la chapa por la cara de dentro es radiación del ambiente, que dentro del coche está muy caliente. Supongamos que está a 60ºC, es decir, a 333 K. Si el área es A, la chapa recibe por el interior \sigma 333^4 A = 697 A \,\, W/m^2

L.: Ese número me suena, 697 W/m2 es lo que recibía del sol. ¿Por qué son los mismos Watios?

A.: ¡Pura coincidencia! Esas cosas pasan a veces. Lo que importa es que podemos hacer la cuenta. Tenemos cuidado de poner que el área por el que está perdiendo energía es 2A y lo que queda es:
\sigma T_p^4 2 A =(697 {+} 478 {+} 697) A = 1872 \, W/m^2 \, \Rightarrow \, T_p {=} \sqrt[4]{1872/ 2 \sigma} {=} 358 K {=}85^{\circ}C
Como ve, no cambia mucho. Y si tenemos en cuenta que la chapa está aislada por dentro, y por tanto no pierde tanto calor por dentro como por fuera, los 106ºC que nos salieron al principio, con la cuenta más sencilla, son un resultado muy razonable.¿Qué le parece?

L.: Me parece impresionante que con una cuenta tan sencilla calculemos tan bien la temperatura. Pero por otra parte, todo esto de las aproximaciones que me ha contado me ha hecho sospechar. Yo me había creído el primer cálculo que hizo, pero ahora veo que había dejado de lado muchas cosas que no se me habían ocurrido, pero cuando las tiene en cuenta me muestra que al final casi no importan… No sé, podría estar haciéndome trampa y no me daría cuenta. Esto de las aproximaciones es un poco escurridizo, y nunca me lo habían contado así.

A.: Porque en los libros de texto suelen barrerse todas las cuestiones un poco incómodas debajo de la alfombra… Pero uno sólo sabe física de verdad hasta que sabe hacer aproximaciones, así que debería de irse enseñando poco a poco este “arte del buen aproximar”, porque es una parte esencial del “oficio” del científico y del ingeniero. No es fácil, hay que tener una idea del orden de magnitud de los distintos efectos que intervienen para poder hacer un “modelo” aproximado que recoja lo esencial, y esto es algo que sólo se aprende con los años. Pero si siempre se barre debajo de la alfombra el asunto, no se aprende nunca.

L.: Bueno, en resumen, que es normal que la chapa esté a más de 100ºC. Oiga, pero ¿por qué el interior del coche está tan caliente? ¿Es por lo mismo, sólo que se calienta a través de las ventanillas y por eso no se pone a 100ºC sino “sólo” a 60ºC?

A.: En parte sí, pero intervienen más cosas. Porque curiosamente el aire en el interior del coche también está muy caliente, y si recuerda habíamos dicho que la atmósfera se calentaba muy poco porque es transparente a la radiación solar. .. ¿Ha oído hablar del efecto invernadero?

L.: Hombre, claro.

A.: Pues tiene mucho que ver con que el interior del coche puesto al sol se convierta en un horno. Pero ya es hora de dejarlo, ¿no? ¡Que llevamos cuatro posts sobre la ola de calor, estoy deshidratado!

L.: Vaaale, vamos a por un granizado. Pero se lo volveré a preguntar.

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