Un discurso y dos problemas de Fermi (sobre el calentamiento global)

En el post anterior hablábamos de la superstición de la exactitud: la idea, implícita en toda la enseñanza obligatoria, de que un problema sólo puede tener una solución exacta, y si no la tiene o no la podemos obtener, entonces no hay nada que podamos decir sobre el problema. Con esta actitud se cultiva una visión en blanco y negro de la realidad: o tenemos una certeza absoluta sobre una cuestión o cualquier opinión es igualmente válida. Y así, en el ejemplo de las manifestaciones, la imposibilidad de contar a los manifestantes nos deja abandonados a la habitual “guerra de cifras” entre unos y otros.

Idolatrar la exactitud, paradójicamente (o no tanto: los extremos se tocan), nos entrega al relativismo y la propaganda.

Lo curioso es que esta actitud, que se pretende rigurosa y “científica” (y por eso la inculcamos en la escuela) es  diametralmente opuesta a la de la ciencia de verdad. La ciencia moderna sólo despegó cuando Galileo abandonó el ideal de precisión absoluta para proclamar que un acuerdo aproximado puede ser suficiente para confirmar una ley. Por ejemplo: una bola de piedra y otra de madera no tardan lo mismo en caer desde una torre, pero Galileo, en contra del rigor mal entendido de los aristotélicos, señalaba que la diferencia es suficientemente pequeña para afirmar que en realidad sí lo hacen… Sí lo hacen, bien entendido, en una realidad abstracta, idealizada, en la que el rozamiento del aire y otros “impedimentos materiales” no compliquen la simplicidad subyacente, esa que Galileo comparó a un libro escrito en caracteres matemáticos, donde podemos alcanzar el ideal de precisión.

La  ciencia, mucho más que un repertorio de “contenidos científicos”, es ante todo una actitud. Una manera de pensar que sólo funciona, como nos enseñó Galileo, gracias a la capacidad de hacer aproximaciones, de estimar los errores y de apreciar los órdenes de magnitud. Esas son las herramientas que permiten traducir nuestro confuso mundo cotidiano al lenguaje del libro de la Naturaleza.

Y el desarrollo de esta capacidad, dicho sea de paso, es lo que puede hacer que las asignaturas de ciencias tengan algo que aportar, “transversalmente” (como quieren nuestras leyes de educación), a la formación de ciudadanos responsables, autónomos y con espíritu crítico. Eso y no todas las fórmulas y fenómenos que se acumulan, inertes, en los libros de física de nuestro disparatado bachillerato de dos cursos…

Pero basta de discursos: pasemos mejor a un ejemplo concreto.

*

Todo el mundo ha oído hablar del calentamiento global y de cómo la principal causa son las emisiones de gases de efecto invernadero, sobre todo de CO2. Es un problema enormemente complejo si entramos en los detalles… pero aquí estamos para hacer aproximaciones. Así que en primera aproximación podemos escribir la cadena causal así:

Emisiones de CO2 ⇒ ­↑ [CO2] en la atmósfera ⇒ ↑­ T de la Tierra ⇒ ↑­ nivel del mar

La subida del nivel del mar -la amenaza más dramática del calentamiento global- es consecuencia del calentamiento de nuestro planeta, que a su vez se debe al aumento de la concentración de CO2 en la atmósfera por culpa de las emisiones humanas.

Pero todo esto es cualitativo. Para trabajar en el espíritu de Galileo lo primero es cuantificar. ¿Cómo de grandes son esos incrementos? Aquí traigo una gráfica para cada una de las principales magnitudes: la concentración de CO2, la temperatura y el ascenso del nivel del mar:

Variación de la concentración atmosférica de CO2 en los últimos años (Fuente:NASA).

 

Variación de la temperatura promedio de la Tierra en el último siglo (Fuente: NASA).

Ascenso del nivel del mar en las últimas décadas (Fuente: The Economist)

Midiendo a ojo la pendiente de cada gráfica encontramos estos incrementos en los últimos años:

Δ[CO2] ≈ 25 ppm/década (ppm=partes por millón)

ΔT ≈ 0,2ºC/década

Δhmar ≈ 3 cm/década

¿Podemos hacer algo con estos números? ¿Son razonables? ¿Tenemos que creerlos sin más o podríamos haberlos estimado, al menos en orden de magnitud? De momento vemos, con una regla de tres, que cada 100 ppm adicionales de CO2 se traducen en un calentamiento de 0,8ºC: hemos cuantificado el efecto invernadero, el eslabón principal de la cadena causal. Pero con este valor no podemos hacer gran cosa salvo creérnoslo. La relación entre CO2 en el aire y calentamiento no es en absoluto directa y es difícil estimarla sin bajar a los detalles de la física: espectros de absorción del CO2, ley de Planck, etc (aunque nunca se sabe: ¿se le ocurre a alguien una manera de hacerlo?).

Sin embargo, sí que podemos decir algo sobre el principio y el final de la cadena: estimar las emisiones de CO2 (al menos una parte importante), y también el ascenso del nivel del mar para un aumento dado de temperatura. Lo mejor es que no necesitamos calculadora y basta con saber unos pocos datos, casi todos conocidos -en teoría al menos- por un estudiante de bachillerato. En definitiva, que son cálculos que podemos hacer en un bar, con una servilleta de papel y un lápiz: lo que en física se llama back of the envelope calculation, la especialidad del legendario Enrico Fermi.

Así que les propongo dos “problemas de Fermi” (el primero es más fácil que el segundo):

1) Por lo que hemos visto en las gráficas, 1ºC de aumento de temperatura supone un aumento de nivel del mar de 15 cm. ¿Cuánto debería subir el mar debido a su dilatación térmica si ΔT=1ºC?

Pistas:

  1. Cuando un volumen V0 de agua aumenta su temperatura ΔT, se dilata un ΔV=βV0ΔT, siendo β el coeficiente de dilatación volúmica. Este coeficiente depende mucho de la temperatura: a 4ºC es 0, a 10ºC es 8·10-5 ºC-1 y a 20ºC es 20·10-5 ºC-1.
  2. El resto de los datos nos los inventamos, según lo que nos dicte nuestro sentido común.
  3. Para verificar nuestro resultado: curiosamente, este efecto de dilatación es más importante que la tan comentada fusión de los casquetes polares: da cuenta de aproximadamente 3/5 de la subida total del nivel del mar.

2) Estimar los kg de CO2 vertidos a la atmósfera en un año por un automóvil típico. A partir de este dato, calcular las emisiones de todos los vehículos de España y del mundo. A partir de este dato, estimar el aumento de la concentración anual de CO2 en la atmósfera.

Pistas:

  1. La gasolina es un hidrocarburo, formado por átomos de H y C. Como los primeros son 12 veces más ligeros que los segundos, podemos despreciar su masa.
  2. La masa atómica del oxígeno es 16 veces la del H.
  3. La densidad de la gasolina la tomamos como igual a la del agua.
  4. Consideramos que todo el CO2 vertido a la atmósfera en un año se queda en la atmósfera.
  5. No vamos a distinguir entre partes por millón en peso y partes por millón en átomos.
  6. La atmósfera ejerce una presión de 1 Kg/cm2 y el ecuador tiene una longitud de 40.000 km
  7. Suponemos que hay 45 millones de españoles y 7.500 millones de habitantes en el mundo.
  8. El resto de los datos nos los inventamos, según lo que nos dicte nuestro sentido común.
  9. Para verificar nuestro resultado: según se puede leer aquí, el transporte terrestre es el responsable de algo más del 15% de las emisiones de CO2.

*

¿Se animan ustedes? Cualquier intento de solución en los comentarios será bienvenido. Acabaré dando mis soluciones, pero sólo cuando haya pasado un tiempo prudencial…

*

Actualización: soluciones en el comentario del 23/11/19.

  1. Gonzalo Génova (rol Autor)

    Me voy a lanzar con el primero, aunque estoy un poco desconcertado con el resultado que obtengo…

    Escribo sin haber buscado ninguna información adicional, ni haber visto otras soluciones de otros lectores.

    Mi razonamiento. Estimo que la temperatura media del mar será 10ºC (posiblemente sea incluso menor). No creo que el calentamiento afecte a todas las capas de agua, sino solo a las más superficiales. Voy a suponer primero que se calienta la capa superior de 10 m, y se puede suponer que toda la dilatación es lineal (“hacia arriba”). De modo que, con el coeficiente de dilatación que das para esa temperatura, el nivel del mar se elevaría 0,00008 x 10 m = 0,8 mm.

    Esto está muy muy lejos de los 9 cm (3/5) que dices que se podrían explicar por la dilatación. Incluso si supongo que se calienta la capa de agua superior de 100 m de profundidad, según mis cálculos el nivel del mar se elevaría 8 mm, todavía un orden de magnitud por debajo.

    ¿En qué me estoy equivocando?

  2. JuanMS

    En realidad esta cuestión es un poco problemática como problema de Fermi, porque dos datos cruciales son difíciles de estimar: la profundidad del agua afectada por el calentamiento y la temperatura del mar (que condiciona el coeficiente de dilatación). Una técnica que suele funcionar bien es tomar una cota inferior y otra superior y hacer la media geométrica. Por ejemplo: la temperatura del agua del mar seguro que es superior a 1ºC e inferior a 100ºC. Tomamos la media geométrica, es decir, 10ºC. Esta es la que has tomado tú. Prueba a hacer lo mismo con la profundidad del mar…

  3. Lorenzo Hernández

    El tema que describes sobre la medida es muy interesante. Yo intento trabajar esto en el aula (ESO) planteando una serie de retos en los cuales el alumnado se las tiene que ingeniar para saber por ejemplo cuanto mide el área de un trozo de folio irregular, el área de una botella de plástico o la cantidad de granos de arroz de un paquete sin tener que contar los granos. Se trabaja la idea de que aunque no podamos saber con exactitud ciertas medidas sí hay estrategias indirectas que nos acercan al valor. Casi todas las medidas en la ciencia son indirectas: tamaño y masa de la Tierra, distancia al Sol, tamaño de un átomo, etc. Es importante que el alumnado sea consciente de esto. Hago una adaptación del interesante artículo de Jordi Domènech “¿Cómo lo medimos? Siete contextos de indagación para detectar y corregir concepciones erróneas sobre magnitudes y unidades”
    https://revistas.uca.es/index.php/eureka/article/view/2892/2568

    Saludos.

  4. Gonzalo Génova

    Pues si quieres que haga eso… Veamos, Fosa de las Marianas, no recuerdo qué profundida tiene, pero decían que cabía el Everest, así que pongamos que son 9.000 m. Lo de la media geométrica es un poco tramposo, porque si la cota inferior es 0, la media geométrica es 0 (😉). Pero vamos, que sqrt(9000) = 300, y sustituyendo en mis cálculos anteriores esto me da que el nivel del mar sube 24 mm. Nah, que no me llega con lo que tengo en la cartera para comprar tus 9 cm.

  5. JuanMS

    Pues tienen suerte tus alumnos, Lorenzo, porque mi impresión es que eso casi nunca se trabaja en el aula. Hay laboratorios, pero son demasiado académicos y queremos que “aprendan a bailar cuando todavía no saben andar”. Para enseñarles a andar (la medida “de sentido común”, pero que no se cultiva) están muy bien los ejercicios del artículo que enlazas. Yo lo que cuento aquí es un poco distinto, porque me centro en estimaciones y no en medidas, aunque está muy relacionado.

    Gonzalo, mi estimación era esta: una cota inferior a la profundidad del mar afectado por la subida de temperaturas: 10^2 m, cota superior, 10^4 m, media geométrica, 10^3 y con esta profundidad la subida del mar es 8·10^(-5)·10^3 m = 8 cm, que está bastante bien… pero veo que en este caso hay mucho margen de error y he acertado un poco de casualidad (mi cota superior es como la tuya, pero la inferior la he puesto para que sea pequeña pero sobre todo para que me salga fácil la media geométrica…)

  6. JuanMS

    Creo que ya ha pasado “un tiempo prudencial” como para dar las soluciones. El primer problema ya está explicado (aunque no sé si he logrado convencer a Gonzalo) así que vamos con el segundo.

    Empezamos con los kg de CO2 vertidos al año por un automóvil típico. Supongamos que recorre 10^4 km cada año y que consume 10 litros a los 100 km. Eso son 10^3 litros de gasolina, que son aproximadamente 10^3 kg. La gasolina está formada por átomos de H y C, siendo 12 veces más pesados los átomos de C. Consideramos por eso que toda la masa es de carbono. Al combinarse con O2 cada átomo de carbono da una molécula de CO2. Si la masa de C es 12 (unidades de masa atómica) la del O es 16 y la del CO2 es 44. Por tanto la masa de CO2 emitida es (44/12) veces la de gasolina, aproximadamente 3,5·10^3 kg: tres toneladas y media, no está mal.

    ¿Cuánto emiten todos los españoles? Si suponemos que hay un coche por cada dos personas, hay, redondeando, 20·10^6 automóviles, que emitirían (3,5·10^3)·(20·10^6)=7·10^10 kg de CO2 al año emitidos por los españoles.

    Ahora, la población del mundo es de unos 7,5·10^9 habitantes, es decir, es (7,5·10^9/4,5·10^7) mayor que la población de España, un factor aproximado de 1,6·10^2. Si multiplicamos por este factor la emisión de CO2 de España obtenemos para el mundo una estimación de (7·10^10)·(1,6·10^2), aproximadamente 10^13 kg/año.

    Este CO2 se diluye en la atmósfera dando cierta concentración ¿a cuántas ppm corresponde? Las partes por millón pueden darse en moléculas o en peso, y el resultado no es el mismo porque el peso del CO2 es mayor que el peso medio de las moléculas de aire, pero vamos a ignorar esto por simplicidad. Se trata entonces sólo de calcular la masa de la atmósfera para ver qué fracción representan esos 10^13 kg/año.

    Calcular la masa de la atmósfera es fácil si sabemos que 1 atm de presión es con buena aproximación 1 kg fuerza por cm2. Entonces sobre cada cm^2 hay una masa de 1 kg: basta calcular la superficie de la Tierra en cm2 para tener la masa de la atmósfera en kg.

    Como la longitud del meridiano es por definición 40.000 km=40·10^6m, y la superficie de una esfera es 4·pi·r^2, calculamos 4·pi·(40·10^6/2·pi)^2~4·20^2·10^12/pi~5·10^14 m2=5·10^18 cm2. La masa de la atmósfera es por tanto 5·10^18 kg. Y la fracción en peso que representa el CO2 emitido en un año es (10^13)/(5·10^18)=2·10^(-6). Como una ppm=parte por millón es 10^(-6) esto son 2 ppm al año.

    Según decíamos en el post, el incremento de CO2 es de 25 ppm por década, es decir, 2,5 ppm por año. Pero es el incremento total, y nosotros hemos estimado el debido sólo a los automóviles (o, según como lo consideremos, al transporte por carretera). Según decíamos en el post, eso representa algo más del 15% de las emisiones; pongamos el 20%: nos debería haber salido el 20% de 2,5, es decir, 0,5 ppm en vez de 2. Nuestro resultado está sobreestimado en un factor 4, seguramente porque hemos supuesto que todo el mundo emite CO2 como España, cuando tenemos muchos más vehículos que la media en el mundo (hay un error también porque hemos calculado ppm en peso, si fueran ppm en moléculas el resultado sería aproximadamente un 35% menor).

  7. Alberto Laplaza Herranz

    Voy a intentar resolver la tercera propuesta del correo:
    Quien tiene un automóvil tiene que trabajar para comprarlo y pagar todos los gastos que genera. Si tenemos en cuenta esas horas de trabajo, la velocidad media efectiva de los viajes en coche se reduce (si por ejemplo para recorrer 100 km tardamos una hora pero tenemos que pasarnos otra hora trabajando para pagar el gasto, la velocidad efectiva sería de 50 km/h). Si contabilizáramos todo el tiempo que nos pasamos “trabajando para el coche”, ¿cuál sería la velocidad media de nuestros viajes en automóvil?
    Lo primero de todo es proponer una distancia al trabajo que va a ser 75km ida y vuelta, y vamos a tardar en recorrer ese camino una hora y media, por lo tanto, la velocidad media serán 50km/h. Ahora vamos a estimar el gasto diario de lo que nos cuesta el coche:
    La gasolina aproximadamente tiene un precio de 1,20 euros y suponiendo que nuestro coche gasta 5 litros/100km, el gasto diario en gasolina sería de aproximadamente 4.5 euros, tenemos que tener en cuenta gastos anuales como revisiones, ITV, permiso de circulación, seguro, y posibles averías, supongamos que estos gastos son unos 1300 euros anuales, diariamente serían aproximadamente 4 euros. El coche no es gratis, por lo tanto, vamos a suponer que nuestro coche vale 20.000 euros y que la vida media del coche son 10 años, por lo tanto, anualmente gastaríamos 2.000 euros que diariamente corresponden a 6 euros.
    Si sumamos todos nuestros gastos diarios nos queda que aproximadamente gastamos 15 euros al día en el coche, para poder concluir la velocidad media efectiva necesitamos suponer un salario por hora, suponemos que son 10 euros la hora, así que necesitamos 15/10 horas para pagar el coche, es decir, 1 hora y media.
    Nuestra velocidad media efectiva viene dada por la distancia recorrida/ tiempo total usado para recorrer el camino más el tiempo trabajado necesario para pagar el coche.
    El resultado queda 75 km/1,5 horas + 1,5horas = 25km/h sería nuestra velocidad media efectiva.

  8. Alberto Laplaza Herranz

    Hola compañeros voy a intentar estimar el primer problema propuesto del correo:
    Julio César exhaló su último suspiro en el año 44 a.d.C. Cada vez qué respiras, ¿Cuántas moléculas inspiras de las que el espiró al morir?
    Como condiciones previas vamos a suponer que estamos en condiciones normales, es decir, 0 grados centígrados y 1 atmosfera de presión. Según internet inspiramos y espiramos 3 litros de aire por minuto, si suponemos que inhalamos 20 veces por minuto, en cada respiración inhalamos 0.3 litros de aire, como suponemos condiciones normales podemos aplicar que 1 mol de un gas ocupa 22,4 litros y como un mol son 6,02*10^23 partículas, Julio Cesar exhaló en su último suspiro alrededor de 8.06*10^21 partículas. También vamos a suponer que esas partículas están uniformemente distribuidas por toda la troposfera y que en capas más altas de la Tierra no se encuentra ninguna partícula. Para saber el de la troposfera calculamos el volumen de una esfera con el radio de la Tierra más los 20km que ocupa la troposfera, ese volumen aproximadamente es igual a 26473154 m^3, ahora calculamos el volumen de la Tierra que suponemos una esfera con radio de 6370 km que nos da un volumen de 26389378 m^3, si restamos estos dos valores conseguimos el volumen que ocupa todo el aire. El aire que encierra la troposfera según mis cálculos tiene 83776 m^3 que es igual a 83776000 litros.
    Ahora en ese volumen vamos a calcular la cantidad de partículas que hay que se hace dividiendo 22,4 a 83776000 y multiplicándolo por el número de Avogadro y nos sale que la troposfera encierra a 2.25*10^30 partículas, como ya sabemos las partículas de inhalación y las de la troposfera, calculamos la inversa del número de partículas que tenemos que inhalar para que una sea de Julio Cesar, dividimos entonces 8.06*10^21 entre 2.25*10^30 y nos sale un valor de 0.00000000358, este valor multiplicado por el numero de partículas que inhalamos nos da como solución el número de partículas de Julio Cesar que inhalamos cada vez que respiramos. Esta cuenta nos queda 8.06*10^21 * 0.00000000358= 2,88*10^13 partículas de la última exhalación de Julio Cesar por cada inhalación nuestra.
    Como conclusión me gustaría comentar que antes de hacer los cálculos me esperaba un valor mucho más pequeño, al igual que a la gente que le he comentado este problema, que sin saber absolutamente nada, han dicho que respirábamos 0 partículas de Julio Cesar.
    Me gustaría saber si de verdad he estimado bien el problema o si por el contrario he cometido algún error muchas gracias.

  9. JuanMS

    Alberto, el planteamiento es correcto pero has cometido un error en el volumen de la atmósfera. Lo más fácil es calcularlo como (superficie de la tierra) x (altura de la troposfera). La superficie la sacas de que un mediano (=2·pi·r) don 40.000 km y la altura son aproximadamente 20 km. A mí me salen 5·10^18 m3 (tenías que haberte dado cuenta de que el volumen que obtienes es muy pequeño). El volumen que tu obtienes es 83776 m3, un factor 1,7·10^-14 menor y por eso el número de moléculas que obtienes habría que multiplicarlo por ese factor; te sale entonces más o menos media molécula.

    (El planteamiento y el resultado del problema de coche son correctos)

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