El coste exponencial de la inacción

Sólo tres días después de su implantación, las medidas que tomó el gobierno parece que se están empezando a notar, para bien. Con la tendencia hasta el 13 de marzo, los contagios se duplicaban cada 2 días y las muertes cada 1,4 días. Con la tendencia desde el 14 de marzo el ritmo es menor: los contagios se duplican cada 3,3 días y las muertes cada 2,5 días.

O de otra manera equivalente:

  • antes, en 6,8 días los contagios se multiplicaran por 10; ahora hacen falta 10,8 días
  • antes, en 4,8 días las muertes se multiplicaban por 10; ahora hacen falta 8,3 días.

Esto se puede apreciar muy bien en las siguientes gráficas:

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia1

Hay que tener cierto cuidado con el lenguaje: uno está tentado de decir que se está “frenando la epidemia”, pero no es así: las muertes siguen aumentando, y por ahora a un ritmo vertiginoso, sólo que no tan vertiginoso como antes. Las medidas funcionan, pero un crecimiento exponencial no se para de un día para otro.

Ahora bien, ¿qué efecto habría tenido tomar medidas antes? El 8 de marzo se decretaba el aislamiento de la Lombardía y otras 14 provincias italianas, mientras en España el gobierno alentaba a participar en la manifestación del 8M¿Qué hubiera ocurrido si, mirándonos en el espejo de Italia, hubiéramos decretado la cuarentena a la vez que ellos? Aquí tienen las gráficas: 

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia2

La línea verde de trazos es la proyección de los datos si la evolución que ha comenzado el 14 de marzo hubiera empezado el día 8. ¿Cuántas víctimas nos habríamos ahorrado? Vamos a verlo.

La siguiente tabla muestra, en la primera fila, los contagios y fallecimientos esperables si se hubiera mantenido la tendencia seguida hasta el 13 de marzo. La segunda fila muestra los datos reales de ayer: el total de contagios es un 82% del esperable y el de muertes el 53%. Es una mejora muy grande, sí, y es una buena noticia, pero si se hubiera actuado a la vez que Italia estaríamos mucho mejor: los números serían del 31% y el 25%.

TablaPredicciones

 

En resumen, mirando ahora a los números absolutos:  llevamos 9.942 contagiados y podríamos llevar 3.702; llevamos 342 muertos y podríamos llevar 158. Seis días de inacción nos han costado a día de hoy unos  6.240 contagiados y 184 muertos. 

Pero la cosa es bastante peor en realidad, por dos razones.

Primero, hemos hablado del coste hoy, pero el coste crece cada día… exponencialmente. En efecto, la distancia entre las líneas de trazos azul y verde es la estimación de lo que hemos perdido por el retraso. Se mantienen paralelas, pero eso es porque la escala es logarítmica: en realidad esa distancia constante representa un coste cada vez mayor: si en la gráfica de muertes corresponde hoy a unas 180, dentro de 8,3 días, cuando se prevé que las muertes se hayan multiplicado por 10, corresponderá a 1.800: mil ochocientas vidas perdidas. Y así sucesivamente: cuando el crecimiento es exponencial, el coste de la inacción crece exponencialmente con el tiempo.

Segundo, hemos supuesto que la tendencia inaugurada estos tres días se mantiene. Pero lo esperable, a la luz de la experiencia de Italia, es que con estas medidas restrictivas la pendiente vaya disminuyendo gradualmente (al fin y al cabo, para eso las tomamos: hasta que la gráfica no sea horizontal no habremos parado la epidemia). Si prolongamos nuestra tendencia hasta el 8 de marzo con la tendencia que adquirió Italia a partir de ese día, lo que obtenemos es la línea continua con puntos en verde:

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia3

No llega hasta el último día porque Italia no nos lleva tanto adelanto, pero pueden ustedes estimar a ojo los contagios y los muertos que tenemos y no deberíamos tener (son bastantes más que los que da el cálculo anterior). Yo casi prefiero no hacerlo.

[Actualización, 19/03/20] Dos días después se confirman que los datos siguen muy de cerca la nueva tendencia inaugurada el 14 de marzo:

ContagiosyMuertes_dia18_tendencia2bis

Como las gráficas logarítmicas no son muy intuitivas para el que no está acostumbrado a manejarlas, he marcado los números sobre la gráfica. Ya expliqué que cada día que pasa el precio en contagios y muertes que hemos pagado por no actuar a tiempo va creciendo. Aquí tienen la tabla actualizada:

TablaPredicciones_dia18Seis días de inacción nos han costado a día de hoy (en realidad, a día de ayer) unos  9100 contagiados y unos 363 muertos. (las diferencias entre la segunda y la tercera filas). Son cotas inferiores, como expliqué al final del post… pero una vez más mejor no pensarlo.

*

Más sobre el coronavirus en este blog:
* El coronavirus exponencial [12/03/20]
* “No cabe descartar” dijo el presidente [14/03/20]

  1. Gonzalo Génova (rol Autor)

    Hola Juan,

    Dices: “Sólo tres días después de su implantación, las medidas que tomó el gobierno se están empezando a notar, para bien.”

    Pero a mí me surge una duda. El número de contagios registrados a día de hoy es en realidad el “número de contagios diagnosticados”. Como pasan unos cuantos días desde que el contagio se produce hasta que se manifiesta y diagnostica, entonces si hoy se observa una reducción, ésta se produjo ya hace varios días, es decir, antes de que el Gobierno decretara el estado de alarma.

    ¿Cómo se explica esto?

    Muchas gracias por tus análisis.
    Gonzalo

  2. JuanMS

    Hola Gonzalo (gracias a ti por leer y por el atinado comentario…)

    Quizá me he precipitado al extrapolar con datos de sólo tres días: es posible que una parte del efecto que se empieza a ver no sea debido a las medidas del gobierno central sino otras causas: se me ocurre el miedo que ya iba aumentando y las medidas que tomó la comunidad de Madrid, que decretó el cierre de colegios el día 10, hace ya una semana (y en Madrid están más o menos la mitad de los casos).

    De todos modos, eso haría que el coste de la inacción fuera mayor aún, porque habría que esperar una disminución de pendiente adicional en los próximos días, que separaría más aún los datos reales de la proyección basada en la tendencia hasta el 13/03. Por otra parte, la estimación (un poco a ojo de buen cubero, lo reconozco) basada en atribuir a España la tendencia de Italia no se vería afectada por esto…

  3. rober79

    Hola Juan muy buen análisis de estos últimos 3 post. Aunque soy un Lego en las matemáticas me gustan muchísimo porque pueden ofrecer modelos poderosos de la realidad aunque frente a ésta al parecer sólo es un modelo más que se acerca… como a dicho Juan en una parte de su libro… en el epílogo sino recuerdo bien.
    Lo seguro es que la pendiente bajaría dentro de unos días más… como lo ha explicado muy bien Juan… ¿sería lo mismo en sentido inverso…? en 14 días después de las medidas tomadas se verá como ha evolucionado. La herramienta matemática es poderosa pero solo es un modelo que funciona muy bien… no obstante esta basado en las decisiones que la gente tome y algunas de estas son racionales como irracionales que es el componente mayor que tenemos el género humano.
    Lo positivo sería que las medidas siempre resultarán mejor en el futuro… siempre y cuando se apliquen bien… el decremento será solo gradual y no exponencial como explicó Juan.
    ¿El modelo toma como base el comportamiento humano irracional? Eso es importante creo, porque al ejecutar las medidas si somos racionales se reducirían más los contagios como los decesos… y en estadísticas que tengan que ver los comportamientos humanos es dificilísimo ya que entran las decisiones humanas. Arthur Conan Doyle decía que determinar el comportamiento de un solo hombre era como entrar en un universo pero en sentido colectivo era más fácil detectar patrones. Aún así es difícil
    Muy buena pregunta de Gonzalo Genova
    Saludos desde Arica Chile
    Acá ya comenzamos en la fase 4… de la OMG
    Pero esperemos que las medidas tomadas se obedezcan y que no lamentemos malas decisiones.
    Creo que un buen asesoramiento en un Gobierno basado en personas con herramientas poderosas como son las estadísticas matemáticas, que sin duda creo que están en los gabinetes empezará a menguar la situacion inquietante de hoy en día.
    Saludos que estén bien y a cuidarse.
    Gracias por la información Juan y su análisis.

    • Gonzalo Génova (rol Autor)

      Roberto, en noviembre de 2015 estuve en la Universidad de Tarapacá impartiendo un seminario, ¿no serás de aquellos profesores que asistieron?

      • rober79

        Hola Gonzalo, no, no soy profesor solo soy diletante. He asistido pero fue del doctor Eric Goles. Doctor en Matematicas. La presentación de su libro “La conspiración de Babel” una novela biográfica del Kurt Gödel.
        Saludos.

  4. Gonzalo Génova (rol Autor)

    Otra cosa que me tiene bastante preocupado es que si las medidas de distanciamiento social son las más efectivas para contener la pandemia, sin embargo requieren un tiempo larguísimo para acabar con ella.

    La efectividad de las medidas está muy bien explicada en esta simulación del Washington Post: https://www.washingtonpost.com/graphics/2020/world/corona-simulator-spanish/

    El resultado de las cuatro simulaciones es que, con las medidas de distanciamiento, la población tarda mucho tiempo en inmunizarse (y también hay muchos menos fallecidos). Si, digamos, al cabo de un mes el número de casos ha desaparecido casi en su totalidad, y se decide volver a la normalidad social, el porcentaje de población inmunizada será todavía relativamente pequeño. Con lo que unos pocos casos sueltos volverían a disparar la epidemia. ¿Cómo se puede resolver esto? Porque no creo que pueda haber garantía de extinción total del virus…

  5. MARGARITA LÓPEZ SILVA

    No es mucho suponer que la estadística que viene referida en los gráficos con datos a medias que no tengo muy claro todavía porque falta información y se responsabilice al Gobierno de los infectados y muertos, por su retraso a la hora de tomar medidas,que manía tiene de hacer a media las cosa,y los científicos necesitan tiempo y dinero.La paradoja es que en su momento teníamos tiempo y dinero. Y a la hora de ser responsable son los presidente de cada comunidad, yo llevo años viendo los recorte en sanidad y padeciendo su consecuencia y con la excusa de la crisis .Ahora nos encontramos con una crisis en la sanidad y otra crisis económica,que no sabemos como afrontar. Mi generación a vivido su niñez con la dictadura ,su adolescencia con la Democracia,su madure con los cambio científico,sociales económicos, y espero llegar a mi vejez sin perder lo que nos queda todavía que la dignidad.Yo no soy china ni Italiana y mucho meno una estadística, soy una persona aunque parezca irracional .

  6. cienciaonlineblog

    Muchas gracias Juan por estos artículos tan claros y didácticos. Supongo que los modelos matemáticos para estos casos no serán tan sencillos e influyen muchas cosas a la hora de tomar una decisión política como esta, pero ¿crees que lo que está pasando se trata de un caso grave de anumerismo?
    Te dejo una web por si te interesa: https://www.imm.upv.es/covid-19/

    Espero que haya más post. Gracias Juan.

  7. JuanMS

    rober79, es muy acertada la cita de Conan Doyle: cada persona es impredecible, pero cuando se trata de millones, uno si puede detectar patrones con mucha fiabilidad. Es la idea de la mecánica estadística y de la teoría cinética de los gases, que, por cierto, son áreas de la física que se estaban desarrollando cuando Conan Doyle dijo eso.

    Quizá lo más atractivo de los modelos matemáticos sencillos es que permiten captar lo esencial. Haces abstracción de multitud de factores, y si con el modelito de juguete que te ha quedado eres capaz de ajustar bien los puntos de tu gráfica… es muy probable que el factor que has conservado sea el esencial. En este caso es lo que ocurre: el modelo se basa únicamente en que cada persona contagia a un número de personas, cada una de estas contagia al mismo número, etc. No dice nada de los detalles del comportamiento, si es racional o irracional, ni le importa mucho que no todas las personas causen el mismo número de contagios o sea sólo un promedio… lo que importa es que con esa sencilla suposición va a salir un comportamiento exponencial, y ese comportamiento exponencial tiene unas características poderosísimas y antiintuitivas.

    Yo creo que esto nos transmite una lección muy importante, y enlazo con el comentario de Lorenzo (cienciaonlineblog): los modelos detallados son complicados, pero lo bonito es que un modelo muy sencillo da una “aproximación de primer orden” extraordinariamente útil. ¿Es un caso grave de anumerismo? Yo creo que la población en general es lógico que no sepa lo que es un crecimiento exponencial, aunque no estaría nada mal que conceptos como este se explicaran bien en las matemáticas de la ESO (y se puede hacer perfectamente). Pero me parece gravísimo que los “expertos” no lo hayan visto venir. O por lo menos muchos, porque por mucho que diga ahora el gobierno, también hubo bastantes que avisaron (sólo que me temo que interesaba más hacer caso a unos que a otros). Esos “expertos” yo creo que son víctimas de un sistema educativo que no enseña a distinguir lo esencial de los detalles, los efectos básicos (como que la propagación de una epidemia sea exponencial) de las correcciones de segundo orden (como que con el tiempo deja de serlo). Por ejemplo, este artículo de El Confidencial: https://www.elconfidencial.com/tecnologia/ciencia/2020-03-11/matematicas-estadistica-calculo-coronavirus_2488931/

    Los expertos de este tipo son un ejemplo de lo que Nassim Taleb llama “Intellectual yet Idiots” (IYIs), por ejmplo aquí https://medium.com/incerto/the-intellectual-yet-idiot-13211e2d0577 (Si no has leído a Taleb, te recomiendo Antifrágil, aunque mejor en inglés si puedes porque las traducciones, por lo menos las de sus otros libros, eran nefastas. Más accesible que Taleb, que tiene una manera muy particular de escribir, es este artículo de un seguidor suyo español: https://cardinal.substack.com/p/el-chfer-de-max-planck ).

    Así que aunque “los científicos necesiten tiempo y dinero”, como dice Margarita López Silva, lo que necesitan es ante todo es no se IYIs. E incluso con datos incompletos, sólo con la evolución del total de casos, se pueden sacar conclusiones muy válidas, porque la tendencia general la controla un parámetro muy básico (el número promedio de contagios). Esa es precisamente una enseñanza de esta crisis.

    Gonzalo, el simulador del Washington Post es una monería (bueno, y además, es muy informativo), sobre todo para un físico que ha estudiado teoría cinética de los gases… Lo que planteas es, creo, el gran problema a medio plazo: el confinamiento parará poco a poco (a un precio enorme para la economía) el crecimiento del número de contagios y de muertos, pero cuando se vaya volviendo a hacer vida normal seguro que se reactivará la epidemia porque no se habrá creado inmunidad entre los que no han tenido contacto con el virus. Como será de importante este fenómeno… no tengo ni idea, pero supongo que lo que se espera es que aunque haya un rebrote ya será de una magnitud mucho menor y no colapsará el sistema sanitario, que en realidad es el problema más grave ahora.

  8. Lorenzo Hernández Villalobos

    Estos días me estoy acordando mucho de John Allen Paulos y su libro “El hombre anumérico” (1990). Debería ser de obligada lectura para todo el mundo en la cuarentena. Por cierto, hablando de Nassim Talebm, ¿esto sería un ejemplo de Cisne Negro?

    • JuanMS

      Pues sí, yo creo que es un cisne negro de libro… Ahora que lo dices, no estaría mal amenizar la cuarentena con algunos posts sobre alfabetización numérica básica… no sé cuanto tiempo tendré (al final, estar en casa da más trabajo del que uno se imagina), pero a lo mejor también te animas tú… simplemente rescatar algunos posts de cienciaonline.com ya sería interesante

      • Lorenzo Hernández Villalobos

        Ya me gustaría a mí tener tiempo en casa: dos niños de 6 y 4 años, más corregir la tarea del alumnado de secundaria, dentro de poco siguo impartiendo el Máster de Secundaria (online, supongo), más todas la tareas del hogar, etc. Yo con salir de esta vivo me conformo 😉

    • JuanMS

      Sí, las medias no suelen ser muy representativas (para los salarios es mucho mejor la mediana) pero aquí no hay mucha dispersión. El dato de que “la media de edad de los fallecidos es de 79,5 años, mientras que la de contagiados baja hasta alrededor de los 65” es interesante (pero seguro que la media real de los contagiados es mucho más baja, porque aquí estamos haciendo sólo test a los pacientes con síntomas graves…).

      (Por cierto, he leído en algún sitio que ahora no encuentro que Taleb ha dicho que esto no es un cisne negro porque se sabía que iba a ocurrir tarde o temprano. Pero aunque no lo sea según su definición estricta, sí lo es por los efectos, que es lo que importa)

  9. JuanMS

    Lo he visto, sí. Es buena idea, seguro que a la gente se interesa una predicción local. Es tremendo que sea tan difícil encontrar los datos, parece mentira que en la era del “big data” no haya ni siquiera un excel con los números de cada provincia a lo largo del tiempo… parece que Matthew Bennet en twitter va enseñando algo así, pero lo debe hacer a mano.

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