Categoría: Actualidad

Contando manifestantes (o la posverdad numérica)

Desde que el Diccionario Oxford la proclamó como “palabra del año” y The Economist le dedicó una portada, no hay día que no oigamos hablar de la posverdad.

Y lo cierto es que necesitábamos la palabra, que no es sinónimo de “mentira”, como dicen algunos críticos de oído poco fino. Posverdad no se refiere a tal o cual noticia falsa, sino a un estado de ánimo: la actitud de quien valora, por encima de la verdad fáctica de las cosas, su particular “verdad” sentimental. Eso tan cursi de “mi verdad”, que hace años sonaba a parla de folclóricas, y que hace aún más años hizo decir certeramente a don Antonio Machado:

¿Tu verdad?  No, la Verdad,
y ven conmigo a buscarla.
La tuya, guárdatela.

La posverdad está hoy por todas partes, y no se detiene ni ante las matemáticas. El President de la Generalitat y el Delegado del Gobierno en Cataluña seguramente coincidirán en que una mano tiene cinco dedos, pero si esa elemental operación de contar la extienden a los manifestantes de la Diada, sus resultados pueden diferir en un orden de magnitud.

Lo más grave es que a nadie parece importarle. Las partes esgrimen sus verdades, los medios las publicitan, y nosotros nos quedamos con la que más nos gusta. Aunque en general, el número que prevalece es al más abultado. Toda manifestación que se precie alcanzará el millón de asistentes, según sus convocantes. Ese es un número que les encanta a los medios (sensacionalismo en acción) y que, repetido una y otra vez, se convierte en canónico, y acaba siendo admitido sin discusión, como algo “que todo el mundo sabe”.

¿Es que es imposible contar manifestantes? Contarlos, quizá, sí; al menos, sin helicópteros, cámaras,  y herramientas de análisis de imagen. Pero ¿quién necesita contarlos? Basta estimarlos con una aproximación razonable, y eso es facilísimo: el número de manifestantes es, en primera aproximación, el número de metros cuadrados que ocupó la manifestación. Y ni siquiera es necesario medir el área con precisión, ya que la estimación de un manifestante por metro cuadrado tampoco es demasiado precisa…

Naturalmente, quien no sabe de números enseguida criticará este desprecio por la precisión, pero se equivoca. La idea importante es que, por burdo que sea el cálculo, es una estimación razonable e imparcial del orden de magnitud: no nos podrá decir si había 82.000 o 97.000 manifestantes, pero sí que no había diez mil ni un millón, digan lo que digan los convocantes.

Para estimar el área de una manifestación basta enviar a cuatro o cinco periodistas que inspeccionen hasta dónde llega la gente, y luego mirarlo en Google Maps. Un periódico que hiciera esto en cada protesta multitudinaria prestaría un impagable servicio a la democracia. Sospecho que si no se hace no es tanto por pereza como por analfabetismo numérico.  La idea de que casi nunca necesitamos una medida exacta, sino una estimación razonable, y que esa estimación puede ser muy fácil de obtener, no forma parte de nuestra cultura. Nadie nos lo enseña en el colegio; al contrario, salimos con la idea de que las matemáticas son cuentas (primer error) y que las cuentas sólo valen si son exactas (segundo error).

Y como no podemos conocer la verdad absoluta (el número exacto de asistentes), nos tragamos impávidos la posverdad, teniendo a nuestro alcance una verdad aproximada… que es la única que necesitamos.

*

NOTA: Este artículo está inspirado por este otro, de Álex Grijelmo: Nunca hubo un millón. Les recomiendo encarecidamente su lectura. A ver si entre todos vamos desmontando el mito del millón de manifestantes (sea cual sea la convocatoria…).

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Cómo tener una universidad tan buena como la holandesa

El Mundo dedica hoy un extenso artículo a las universidades holandesas. Lo titula así: “El ‘pleno al 13’ de Holanda: así coloca todas sus universidades entre las mejores del mundo”.

¿Y por qué son tan buenas las universidades holandesas? Leo nada más empezar que es “un sistema que se ha deshecho hace tiempo de la teoría para pasar a la práctica” , y me quedo un poco perplejo. Pero unas líneas más abajo doy con la clave:

Este país tiene claro que la Educación es un pilar fundamental, por eso le destina anualmente el 5,9% del presupuesto general, frente al 5% que le dedica España, un Estado con el triple de población.

Parece ser que la periodista sugiere que, como nuestra población es triple, deberíamos dedicar un porcentaje triple. De donde se deduce que los Estados Unidos, cuya población es 17 veces mayor que la de Holanda, debería dedicar a la Educación un porcentaje de 5,9*17=100%.

¡Menos mal que tenemos periodistas que saben cómo arreglar la educación en España!

Receta para fotografiar una Superluna, cualquier día del año

Decíamos ayer que la “superluna” sólo es ligeramente más grande que la Luna normal de todas las noches, pero ¿cómo medimos su tamaño aparente? Desde luego no en centímetros…

Recuerdo, de pequeño, oír decir a mi padre que “la Luna es como un queso”. Se refería a su tamaño, y siendo yo mayor, recuerdo también quererle convencer de que eso no tiene sentido: un queso parece más grande o más pequeño según lo veamos más cerca o más lejos (sin embargo, parece que es una tradición campesina decir que ese es el tamaño de la Luna). De hecho, para que un queso de 20 cm de diámetro pareciera “igual de grande que la Luna” tendríamos que verlo desde unos 23 metros: a esa distancia, el ángulo que determina el queso con nuestro ojo es el mismo que la Luna; aproximadamente, medio grado.

En efecto, la única manera que tiene sentido de medir el tamaño aparente de la Luna es como un ángulo. Es un ángulo, por cierto, bastante pequeño: como el arco completo del cielo tiene 360º, cabrían 720 lunas llenas puestas una al lado de la otra; o 720 soles porque, casualmente (como se ve de manera espectacular en los eclipses de Sol) el tamaño angular de la Luna y el Sol es el mismo.

Unos prismáticos, o un teleobjetivo, aumentan el tamaño angular con el que vemos los objetos, y por eso parecen estar más cerca. Y esa es la manera también de obtener fotos como ésta:

superlunacompostela

Vemos la Luna enorme no porque sea enorme sino porque hemos usado un potente teleobjetivo. Pero, ¿por qué no vemos la catedral enorme? En realidad sí la vemos: el truco está en que la foto está hecha desde muy lejos.

*

Lo más interesante es que podemos calcular desde qué distancia está hecha la foto. Sólo necesitamos saber el tamaño real del objeto, en este caso, la distancia entre las dos agujas de la Catedral de Santiago de Compostela. Lo buscamos en Google Maps y, usando la utilidad de medir distancias, encontramos que son 33 metros. Y ahora razonamos de la siguiente manera:

  1. El tamaño angular de la Luna (¡y el de la superluna!) es, redondeando, de medio grado.
  2. El diámetro en píxeles de la Luna de la foto es de 196.
  3. Entre las agujas de la catedral hay 295 píxeles.
  4. Si 196 píxeles son medio grado, una regla de tres nos dice que 295 son 0.75 grados
  5. Sólo falta calcular a qué distancia hay que ponerse para que los 33 metros de distancia entre las agujas de la catedral se vean como 0.75 grados.

Este último problema es trivial si conocemos el concepto de radián (lo conté en este post), pero tampoco es necesario. Basta darse cuenta de que si un círculo centrado en nosotros y con radio r tiene una longitud  2 \pi r, la longitud que corresponde a un ángulo que en vez de 360º sea sólo de \alpha es L = 2 \pi r \frac{\alpha}{360} . Y por tanto, la distancia r a la que hay que situarse para que una longitud L abarque \alpha grados es

r=\frac{L 360}{2 \pi \alpha} .

Con nuestros datos (\alpha = 0.75, \, L=33 \, m) obtenemos que r=2520 m: ¡el fotógrafo estaba situado a 2 kilómetros y medio!

En resumen: si quiere sacar fotos en las que se vea una Luna enorme contra la Catedral de Santiago de Compostela, la Acrópolis o la Torre Eiffel, la receta es: cómprese un teleobjetivo muy potente y váyase a un par de kilómetros o tres del monumento en cuestión. Y no espere a que sea el día de la Superluna: lo más que va a conseguir es que el diámetro sea un 9% mayor que en un día normal.

*

Ejercicio 1 (matemático): Ahora seguro que puede usted calcular a qué distancia se ha tomado esta foto:

superlunaplazaespana

Pista: estamos hablando de órdenes de magnitud, así que aunque Google Maps no nos diga el tamaño de esos balcones y ventanas (que, por cierto, son los de la Torre de Madrid) podemos tomar la figura humana como referencia de tamaños. Las distancias en píxeles se obtienen abriendo la foto con cualquier editor (hasta el Paint de windows vale). Ah, y para que se animen a hacer la cuenta: a mí me salen unos 2 km.

Ejercicio 2 (filosófico): Para pensar: ¿qué nos dice el caso de la Superluna y sus superfotos sobre los medios de comunicación, la visión del mundo que podemos sacar de ellos, la comunicación de la ciencia, la ética periodística y otras grandes palabras similares?

¿Superluna?¡Na!

Seguro que ustedes, como yo, han oído hablar mucho de la “superluna” estos días. Los medios nos han bombardeado con noticias como ésta…

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…acompañadas invariablemente de imágenes como ésta:

superlunaelpais

Impresionante, ¿verdad? Pero si usted ha salido por la noche a contemplar ese disco gigantesco, se habrá llevado una desilusión. Aquí tienen la foto que hice yo hace un par de noches, desde mi calle:

superlunadesdemicalle

Es curioso que en esta sociedad en la que parece reinar el descontento nadie haya protestado: ¿Dónde está la Superluna que nos prometieron? ¡Esto es un timo!… etc. Parece que lo que dice “la ciencia” merece la misma fe ciega que en otros tiempos se reservaba a la religión: se acepta que la Luna era enorme estos días incluso en contra de la evidencia de los sentidos (salvo para unos cuantos irreductibles en twitter…)

Como suele pasar con las noticias científicas de los periódicos o la TV, el caso de la Superluna nos enseña poco sobre ciencia y mucho sobre los medios. La ciencia aquí es muy sencilla: como la órbita de la Luna es ligeramente elíptica, su distancia a la Tierra (en miles de km) varía entre un mínimo de 357 (perigeo) y un máximo de 406 (apogeo). Si el perigeo coincide con la Luna llena, ésta se verá más grande, porque está más cerca. El efecto es pequeño: la distancia media de la Tierra a la Luna son 384,4 miles de km, así que en el perigeo sólo está un 9,3% más cerca y su radio aparente es un 9.3% mayor que el radio promedio. Como el área es proporcional al cuadrado del radio, la superficie que parece tener la Luna (y por tanto la luz que refleja) es un 14% mayor del promedio.

Nada del otro mundo, la verdad… Aquí tienen una imagen sacada de la wikipedia comparando una “Superluna” con una Luna promedio:

superlunawikipedia

Entonces, ¿a qué tanto bombo en los medios? Hay una explicación breve, tan breve que sólo requiere una palabra: sensacionalismo. Con un hecho trivial (la Luna está un poco más cerca y parece un poco más grande) fabricamos una historia que nos tiene entretenidos varios días, ocupa espacio y consigue clicks. Y cuando ha pasado el boom, podemos hacer nuevos artículos comentando que no era para tanto… Un chollo para el periodista, que puede crear todo este contenido sin tener siquiera que levantarse de la silla.

Hay añadir también que, como se explica aquí, en este sensacionalismo tiene su parte de culpa la NASA, cada vez más presionada para vender ciencia con cualquier excusa (¿Cuántas veces se ha encontrado agua en Marte?)

Ahora bien, quizá esté usted pensando que, si la Superluna es un timo, ¿de dónde salen esas fotos tan espectaculares?

La solución, en el próximo post.

Curiosidad, divino tesoro

Para salir con buen pie de las largas vacaciones de Navidad, les recomiendo un artículo de Laura Chaparro en Sinc sobre la auténtica materia prima con la que se hace la ciencia: la curiosidad. Además de mis modestas opiniones sobre la curiosidad en la escuela, pueden encontrar las de personajes mucho más egregios, Einstein sin ir más lejos, que dijo en  1955: “Lo importante es no dejar de hacer preguntas […] No perder jamás la bendita curiosidad”.

¿No les entran ganas del leerlo?

¡Feliz 2016 a todos!

¡Mas problemas difíciles!

La historia se repite, y en estos tiempos acelerados de internet se repite con tanta rapidez que se convierte en un presente continuo. Si hace unos días hablábamos del dificilísimo problema del cocodrilo que cayó en la “selectividad” escocesa, ahora tenemos a la prensa informando sobre otro caso análogo, pero en Australia (ver por ejemplo The Independent y The Telegraph).

De nuevo están los estudiantes clamando en twitter contra un problema dificilísimo: el de la moneda de 50 centavos. Aquí está el enunciado:

VCEMaths

¿Cuál es el ángulo \chi cuando las dos monedas están colocadas así?

La cosa tiene su gracia porque, como ven, es una pregunta tipo test, con un dibujo hecho a escala… y a ojo debería verse que el ángulo es más de 45º, mientras que 72º seguramente parece mucho. En fin, que sólo sabiendo qué pinta tienen los ángulos ya se podría responder bien.

Pero naturalmente puede demostrarse. Aquí dan esta explicación:

En una moneda de 50 céntimos hay 12 lados, así que cada ángulo exterior es 360/12 = 30 grados. El ángulo en cuestión es la suma de dos ángulos exteriores (uno por cada moneda) así que es 2 x 30 = 60 grados.

Correcto, pero no me gusta porque usa el concepto de “ángulo exterior” y ¿quién recuerda eso del colegio? En realidad basta con cosas más sencillas:

50cents1

  • El polígono regular de 12 lados está formado por 12 triángulo unidos por el vértice, como el del la figura, así que el ángulo de ese vértice es \alpha=360/12=30^{\circ}
  • Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el otro ángulo es \beta=(180-30)/2=75^{\circ}
  • Y ahora no hay más que mirar al dibujo para ver que dos \beta de una moneda más otros dos \beta de la otra moneda, más nuestro ángulo incógnita \chi suman 360º. Y si 4\beta+\chi=360^{\circ}, tiene que ser \chi=60^{\circ}

50cents2

La verdad es que protestar por este problema tiene menos excusa (aún) que protestar por el del cocodrilo. Pero toda esta plaga de indignación estudiantil, y el eco que se hacen los periódicos de ella, nos dice muchas cosas interesantes sobre cómo se enseñan las ciencias en el colegio. Por si alguien todavía creía que se enseña a los alumnos a pensar

(Gracias a Celeste, que me pasó la noticia)

El dificilísimo problema del cocodrilo

Me acabo de enterar por el ABC del “Complicado problema matemático que hizo llorar a los alumnos escoceses”. Resulta que “un problema matemático dirigido a estudiantes de Escocia que se presentaban a la Scottish Qualifications Authority (SQA), un equivalente a selectividad en España, terminó causando lágrimas de rabia (…) Según informa la BBC, la complejidad de este problema matemático provocó que la nota mínima se tuviera que reducir hasta un 34% en la prueba de mayo, en comparación con el 45% del año anterior. Así, los estudiantes de 16 y 18 años lanzaron sus quejas en redes sociales y se unieron para firmar dos peticiones como protesta contra la excesiva dificultad del problema”.

¿Cuál era el dificilísimo problema? Aquí está:

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En resumen: como el cocodrilo no va igual de rápido por agua que por tierra, el tiempo que tarda en alcanzar a la cebra depende del punto x en el que sale del río (el dibujo muestra que va en línea recta en cada tramo), y nos dan la ecuación que proporciona el tiempo en función de x.
Pregunta (a): ¿Cuánto tarda el cocodrilo si va sólo por agua?¿Y si nada lo menos posible?
Pregunta (b): ¿Para qué valor de x es el tiempo mínimo?

Estoy seguro de que el lector resolverá el apartado (a) en cosa de un minuto. Y el apartado (b) le llevará, si sabe derivar, cinco como mucho.

¿Cómo es posible entonces que esta trivialidad causara “shock y devastación” en palabras de Logan Fraser, un profesor de academia entrevistado por la BBC? Para ser justos, parece que las quejas se referían a la dificultad global del examen, pero lo cierto es que este problema concreto es que se ha convertido en “viral”, como se dice ahora.

Toda la vida los malos estudiantes se han quejado de que los exámenes son difíciles, y han buscado el apoyo del grupo (mucho más reconfortante y barato que reconocer que uno no sabe)…pero ahora tienen twitter, firman peticiones online, y su caso llega a la BBC.

No pasa nada mientras no les empecemos a hacer caso. Pero, ya que estas tormentas de ignorancia desbordan ahora el vaso de agua, y se desparraman por los medios, ¿podemos aprender algo de ellas?

Que este problema resulte difícil es revelador de muchas cosas. Por un lado, del déficit de comprensión oral. Nuestro Mr Fraser se quejaba de que: “las preguntas fueran tan prolijas, que hubiera que leerlas varias veces para entender exactamente lo que quería decir, sin importar qué fórmula hubiera que utilizar o cómo solucionarlo”. Mi experiencia es que los alumnos españoles llegan a primero de carrera con graves dificultades para entender un texto que sea mínimamente complicado, como el del enunciado del problema (no digamos si el texto va más allá de la mera función enunciativa y tiene matices poéticos o irónicos…, pero vamos a quedarnos en las matemáticas)

Nuestra enseñanza de las ciencias no hace nada por mejorar esta comprensión: al contrario, agrava el problema. Año tras año, los alumnos se entrenan en resolver “problemas tipo” que no exigen pensar. Los enunciados son previsibles, variaciones sobre un mismo tema que siempre apuntan a una fórmula del libro, que lo resuelve todo. El problema de este enunciado es que no es estándar, no es lo que los alumnos esperaban. Y por eso están indignados: llevan años jugando al mismo juego y cuando les examinan ¡les preguntan por un cocodrilo y sale una fórmula rara que no viene en ningún libro!

Por mi parte, el problema me parece muy bien. Y yo le añadiría dos preguntas más:

  • ¿Qué velocidad tiene el cocodrilo cuando va por el agua?¿Y cuando va por tierra?
  • ¿Qué anchura tiene el río?

¿Se animan a responderlas?

Con esto habría quedado un problema más redondo… pero las quejas a lo mejor llegaban ya no sólo hasta la BBC y el ABC, sino hasta la CBS y la NBC…

Ola de calor (y V): Una postdata

Autor: Vaya, yo creía que habíamos acabado…

Lector: Es que buscando en internet me ha surgido una duda… ¿Le importa que le pregunta mientras se acaba el granizado?

A.: Claro que no, pero con este calor el granizado se derrite corriendo. ¿Será breve, no?

L.: Muy breve. Busqué la ley de Stefan-Boltzmann en la Wikipedia y me encontré que la fórmula del post anterior, esta:

J=\sigma T^4

sólo es válida para un “cuerpo negro” que por lo visto es un objeto que absorbe toda la radiación que le llega. Pero en general hay que usar esta ecuación:

J= \epsilon \sigma T^4

que está modificada por un factor \epsilon que se llama emisividad y está entre cero y uno. Así que repasando lo que hacíamos ayer veo que hemos ignorado esa emisividad, que es lo mismo que hacer que valga uno. ¿Pero por qué va a tener que valer uno la emisividad de la chapa?

A.: Ya veo. Es que en realidad, la temperatura que nos sale no depende de la emisividad. Si, por ejemplo, \epsilon=0,2, se emite el 20% de lo que se emitiría si fuera \epsilon=1. Pero también se absorbe el 20% de lo que se absorbería si fuera \epsilon=1, porque resulta que la fracción de la radiación incidente que se absorbe ¡es justamente \epsilon! Esa fracción suele llamarse absortancia, \alpha, pero resulta que la absortancia es igual que la emitancia: \alpha = \epsilon.

L.: O sea que la ecuación que usábamos se convertiría en:

\epsilon \sigma T_p^4 = \alpha 697 \,\, W/m^2

pero como \alpha = \epsilon, se simplifica y queda

\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2

que es lo que poníamos, ¿no?

A.: Eso es, y lo mismo pasa con las demás ecuaciones en las que íbamos teniendo en cuenta más términos, todas las aportaciones a la radiación incidente van multiplicadas por \alpha.

L.: ¡Pues ya es casualidad que sea \alpha = \epsilon! ¿no?

A.: En realidad es una consecuencia de las leyes de la termodinámica. Imagine que metemos un objeto dentro de un horno que está a una temperatura fija, por ejemplo 300ºC. Al cabo del tiempo, dice la termodinámica, ese objeto alcanzará el equilibrio térmico con las paredes del horno y se pondrá a 300ºC también, ¿no?.

L.: Claro.

A.: Y eso no dependerá de que la emisividad del objeto sea grande o pequeña, la termodinámica dice que pasará para cualquier objeto. Si lo piensa, eso sólo es posible si \alpha = \epsilon. Imagine que metemos dos objetos en el horno, uno con \alpha=0.9 y otro con \alpha=0.1 (por cierto, el primero lo veríamos de un color muy oscuro porque absorbería toda la radiación que le llega, y el segundo lo veríamos de un color muy claro). Los objetos no están en contacto con las paredes, se calientan sólo por radiación (si quiere, quitamos el aire del horno para asegurarnos que no hay convección ni conducción). El objeto oscuro absorbe de la radiación nueve veces más potencia que el claro. Se calentará, por lo menos al principio, nueve veces más deprisa, y para conseguir que las pérdidas fueran iguales que las ganancias tendría que ponerse a más temperatura que el objeto claro. Su temperatura de equilibrio sería mayor… ¡en contradicción con la termodinámica, que dice que los dos objetos acabarán a la temperatura de las paredes!

La única manera de que, ganando 9 veces más energía, alcance el equilibrio térmico a la misma temperatura, es que sus perdidas sean 9 veces mayores: las pérdidas tienen que estar en la misma proporción que las ganancias, por eso tiene que ser \alpha = \epsilon. Esto se llama ley de Kirchhoff.

L.: ¿Pero no era la ley de los circuitos eléctricos?

A.: Bueno, esta es la ley de Kirchhoff de la radiación… ¡no está prohibido hacer descubrientos en varios campos!

L.: Claro, claro. Pero una cosa: ¿entonces para qué sirve la \alpha o la \epsilon, si al final se llega a la misma temperatura?

A.: Es que aunque el estado de equilibrio sea el mismo, el transitorio es diferente. Si la absortancia (igual a la emisividad) es más pequeña, se absorberá menos radiación, y se tardará más en alcanzar el equilibrio. Un cuerpo con \alpha=1, que es lo que se llama un cuerpo negro (¡el más oscuro de todos!) sería el que más rápido se calentaría (a igualdad del resto de las condiciones, como la radiación incidente, el área, la masa y la capacidad calorífica). Aquí he modificado la gráfica que pusimos el otro día, para tener esto en cuenta:

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de 1 cal/cm2·s de radiación.

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de radiación de 1 caloría por cm2 y minuto.

L.: Ya veo. Y por cierto, el cuerpo negro también será el que más rápido se enfría, ¿no? Precisamente porque \alpha= \epsilon=1 y ese es el máximo valor que puede tener.

A.: Justo. Así que para una temperatura determinada, el cuerpo que más energía radía es el cuerpo negro.

L.: ¡Curioso, siendo negro!

A.: Curioso, sí, pero no olvide que sólo lo veríamos como negro si estuviera frío. Si su temperatura sube mucho, según la ley de Stefan-Boltzmann, su emisión sube muchísimo (¡fíjese que la temperatura va elevada nada menos que a la cuarta potencia!). Y le aseguro que, dados dos objetos a la misma temperatura, suficientemente elevada para que los veamos brillar, el cuerpo negro brilla más. Por cierto, este Sol que nos está achicharrando estos días es, con muy buena aproximación, un cuerpo negro. Pero hace tiempo que se me acabó el granizado, ya tenemos que acabar.

L.: Vale. No pase demasiado calor estos días.

A.: Igualmente.

Ola de calor (IV): Calculando

Lector.: Íbamos por que podíamos calcular la temperatura a la que se pone la chapa del techo de un coche cuando está al sol…

Autor.: Bueno, le recuerdo que es una estimación, pero nos servirá para hacernos una idea. Necesitamos una ecuación sencilla pero muy importante, la ley de Stefan-Boltzman. Si llamamos J a la energía por unidad de tiempo y área que emite un cuerpo en forma de radiación, esta ley nos dice que:
J=\sigma T^4
Es decir, que las pérdidas son proporcionales a la cuarta potencia de la temperatura, pero, muy importante, la temperatura tiene que ir en grados Kelvin. La constante de proporcionalidad vale \sigma=5.67 \cdot 10^{-8} W/m^2 K^4

L.: ¿Y esas unidades?

A.: Fíjese que la temperatura va en grados Kelvin, así que al hacer el producto \sigma T^4 las unidades que quedan para J son W/m^2. Como un Watio es un Julio por segundo, al final nos salen Julios por segundo y metro cuadrado, o sea, energía (perdida) por unidad de área y de tiempo, como debe ser.

L.: Pero antes lo medimos en calorías por cm2 y por minuto…

A.: Sí, porque era más cómodo, pero el cambio de unidades es sencillo. No me entretengo en hacer las cuentas, pero sale que la caloría por cm2 y minuto que recibimos del sol son 697 W/m2.

L.: Bueno, ¿y cómo calculamos la temperatura de la chapa?

A.: Pues como hemos quedado en que se estabiliza cuando las pérdidas son iguales a las ganancias, basta escribir esta condición. Si la temperatura final de la placa es Tp,
\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, T_p = \sqrt[4]{697/\sigma} = 333 K

L.: Pues sí es fácil… ¡pero esa temperatura es demasiado baja! 333 K son 60ºC y la chapa se ponía a un poco más de 100ºC!

A.: Efectivamente. Es que nos hemos olvidado de un detalle importante. ¿Qué temperatura nos habría salido para la chapa si no estuviera al sol?

L.: Si no estuviera al sol… en vez de 697 W/m2 habría que haber puesto cero…¡saldría que la chapa estaría al cero absoluto!¿Absurdo, no?

A.: Justo: esto que acabamos de hacer es una de las costumbres del buen científico, comprobar qué pasa en casos extremos, y aquí vemos enseguida que algo falla. Afortunadamente es fácil detectar el error: se nos estaba olvidando que la chapa no sólo recibe radiación directa del sol, sino del ambiente. Por suerte, ésta la podemos calcular también con la ley de Stefan-Boltzmann. Si el ambiente está a 30ºC, es decir, a 303 K, la placa está recibiendo del ambiente \sigma 303^4 = 478 \, W/m^2. Esto hay que añadirlo a los Watios recibidos del sol, así que queda:
\sigma T_p^4 = (697 + 478) = 1175 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow\,\,\, T_p = \sqrt[4]{1175/ \sigma}= 379 K = 106^{\circ}C

L.: Ah, pues eso ya es casi exactamente lo que salía en el artículo del periódico, el “termómetro laser” medía 102.6ºC

A.: No me lo llame “termómetro láser”… el nombre correcto es pirómetro, y no usa el láser nada más que para apuntar…pero perdone, eso no importa en realidad. Como ve, no tiene nada de raro que una chapa de un coche se ponga a esas temperaturas tan altas. Pero no olvide que en nuestro cálculo hemos ignorado las pérdidas por convección y conducción.

L.: A ver, que lo piense… si las tuviéramos en cuenta, la temperatura sería más baja, ¿no?

A.: Claro, porque la chapa ahora pierde calor con más facilidad y conseguiría equilibrar las pérdidas con las ganancias sin tener que calentarse tanto.

L.: O sea que nos hemos pasado, hemos calculado una temperatura demasiado alta.

A.: Sí, pero por otra parte hemos puesto que recibimos del sol 1 caloría por minuto y cm2 y en realidad es algo más (recuerde que dividimos por 2 el valor de la constante solar, por hacer la cuenta más fácil y redondear a 1). Así que más o menos va lo uno por lo otro. Pero hay otra aproximación que he hecho sin avisar… ¿sabe cuál?

L.: Uf, sé tan poco de la radiación y todos eso que no tengo ni idea de qué puede ser.

A.: En realidad es tan obvio que pasa desapercibido: una chapa tiene dos caras, pero hemos hecho la cuenta como si tuviera una.

L.: Pero es que la cara de dentro no recibe radiación solar

A.: Pero ahí está precisamente: sólo recibe radiación solar por una cara pero pierde por las dos.

L.: Ya veo. O sea, que la temperatura es más fría, ¿no?

A.: Pero no mucho, porque no se olvide que lo que sí recibe la chapa por la cara de dentro es radiación del ambiente, que dentro del coche está muy caliente. Supongamos que está a 60ºC, es decir, a 333 K. Si el área es A, la chapa recibe por el interior \sigma 333^4 A = 697 A \,\, W/m^2

L.: Ese número me suena, 697 W/m2 es lo que recibía del sol. ¿Por qué son los mismos Watios?

A.: ¡Pura coincidencia! Esas cosas pasan a veces. Lo que importa es que podemos hacer la cuenta. Tenemos cuidado de poner que el área por el que está perdiendo energía es 2A y lo que queda es:
\sigma T_p^4 2 A =(697 {+} 478 {+} 697) A = 1872 \, W/m^2 \, \Rightarrow \, T_p {=} \sqrt[4]{1872/ 2 \sigma} {=} 358 K {=}85^{\circ}C
Como ve, no cambia mucho. Y si tenemos en cuenta que la chapa está aislada por dentro, y por tanto no pierde tanto calor por dentro como por fuera, los 106ºC que nos salieron al principio, con la cuenta más sencilla, son un resultado muy razonable.¿Qué le parece?

L.: Me parece impresionante que con una cuenta tan sencilla calculemos tan bien la temperatura. Pero por otra parte, todo esto de las aproximaciones que me ha contado me ha hecho sospechar. Yo me había creído el primer cálculo que hizo, pero ahora veo que había dejado de lado muchas cosas que no se me habían ocurrido, pero cuando las tiene en cuenta me muestra que al final casi no importan… No sé, podría estar haciéndome trampa y no me daría cuenta. Esto de las aproximaciones es un poco escurridizo, y nunca me lo habían contado así.

A.: Porque en los libros de texto suelen barrerse todas las cuestiones un poco incómodas debajo de la alfombra… Pero uno sólo sabe física de verdad hasta que sabe hacer aproximaciones, así que debería de irse enseñando poco a poco este “arte del buen aproximar”, porque es una parte esencial del “oficio” del científico y del ingeniero. No es fácil, hay que tener una idea del orden de magnitud de los distintos efectos que intervienen para poder hacer un “modelo” aproximado que recoja lo esencial, y esto es algo que sólo se aprende con los años. Pero si siempre se barre debajo de la alfombra el asunto, no se aprende nunca.

L.: Bueno, en resumen, que es normal que la chapa esté a más de 100ºC. Oiga, pero ¿por qué el interior del coche está tan caliente? ¿Es por lo mismo, sólo que se calienta a través de las ventanillas y por eso no se pone a 100ºC sino “sólo” a 60ºC?

A.: En parte sí, pero intervienen más cosas. Porque curiosamente el aire en el interior del coche también está muy caliente, y si recuerda habíamos dicho que la atmósfera se calentaba muy poco porque es transparente a la radiación solar. .. ¿Ha oído hablar del efecto invernadero?

L.: Hombre, claro.

A.: Pues tiene mucho que ver con que el interior del coche puesto al sol se convierta en un horno. Pero ya es hora de dejarlo, ¿no? ¡Que llevamos cuatro posts sobre la ola de calor, estoy deshidratado!

L.: Vaaale, vamos a por un granizado. Pero se lo volveré a preguntar.

Ola de calor (III): Un termostato en cada chapa

Lector: Creo que ya sé lo que faltaba en su cálculo.

Autor: Adelante.

L.: Como usted mismo dijo, cuando hay una diferencia de calor entre dos objetos, pasa calor del caliente al frío. Entonces, en cuanto la chapa se calienta por encima de la temperatura ambiente, pasará calor de la chapa al ambiente, y la chapa se enfriará.

A.: ¿Seguro que se enfriará?

L.: Bueno, por lo menos la ganancia neta de calor será menor, porque a la caloría por cm2 y por minuto que recibe del sol habrá que restarle lo que pierda al ambiente. Supongo que es posible que las pérdidas fueran muy grandes y que la placa se llegara a enfriar… pero realidad no tengo ni idea de cuánto valen esas pérdidas. ¿Podríamos calcularlas?

A.: Hacer un cálculo exacto es difícil porque hay tres procesos diferentes por los que se pierde calor: convección, conducción y radiación, y ocurren a la vez. Los dos primeros no son fáciles de calcular, pero del último sí nos podemos hacer una idea bastante aproximada. De todos modos, hay una cosa que sí que sabemos: en todos los procesos, las pérdidas de calor dependen de la diferencia de temperatura con el ambiente. A mayor diferencia de temperatura, más calorías por cm2 y por minuto pasarán de la chapa al ambiente.

L.: Parece lógico. Pero entonces, cuanto más caliente está la chapa, más calor pierde. ¿No llegará un momento en el que pierda más calor que gana?

A.: Espere, que nos estamos acercando a una conclusión muy importante. Piense esto: por una parte, cada cm2 de chapa recibe del sol una potencia constante (la potencia es el calor por unidad te tiempo, las calorías por minuto). Pero según va calentándose, y aumentando por tanto su diferencia de temperatura con el ambiente, las pérdidas crecen cada vez más. Así que si por una parte recibe una energía del a un ritmo constante, y por otra parte la pierde al ambiente a un ritmo creciente, ¿qué va a pasar?

L.: Pues lo que yo decía: que a la fuerza llegará un momento en el que las pérdidas (que siempre crecen) superen a las ganancias (que se mantienen constantes). Y entonces la chapa se enfriará.

A.: Pero está omitiendo un detalle importante: antes de que las pérdidas superen a las ganancias habrá un momento en que las igualen, ¿no?

L.: Claro

A.: Pero en ese momento, como las pérdidas de energía son iguales a las ganancias, la temperatura ya no variará, ¿no?

L.: No, claro, el efecto neto es que la chapa ni gana ni pierde energía y entonces la temperatura se mantendrá constante.

A.: ¡Entonces la temperatura se estabiliza en ese valor y no sube más! Las pérdidas nunca llegan a superar a las ganancias. Pero si se deja el tiempo suficiente, ¡siempre las acaban alcanzando! Esa es justo la conclusión importante. Es la idea de equilibrio dinámico, y aparece en muchos problemas de la física y de la química. Lo mejor es que se llega a ese equilibrio automáticamente, con tal de que uno espere lo suficiente…

Placa al sol

La temperatura de la placa sube muy rápido al principio (aquí, a razón de 10ºC por minuto) pero al calentarse aumentan las pérdidas y disminuye el ritmo de calentamiento, hasta estabilizarse en un valor (en este caso, 100ºC) para el que las pérdidas igualan a las ganancias.

L.: Ya veo, mientras la temperatura aumenta las pérdidas aumentan, pero cuando lleguen a alcanzar a las ganancias la temperatura se estabiliza en el valor que tenga en ese momento… Pero ese valor puede ser mucho más alto que el de la temperatura ambiente, ¿no?

A.: Si el objeto está recibiendo radiación solar, seguramente lo será. Además, el valor al que se estabilice la temperatura dependerá de cómo sean las pérdidas de calor. Si por ejemplo la chapa del coche está muy bien aislada por la parte del interior y sólo pierde calor por el exterior, tendrá que ponerse a una temperatura más alta para que, aun perdiendo sólo por el lado de fuera, las pérdidas iguales a las ganancias. Vamos, que se pondrá más caliente que si pierde calor por las dos caras.

L.: Y si ponemos un ventilador…

A.: Aumentamos las pérdidas por convección, y no hará falta que la chapa se ponga a una temperatura tan alta para que igualen a las ganancias. Por eso la chapa se enfría.

L.: O sea que es como si la chapa buscara el equilibrio… pero la chapa no sabe lo que hace, y se comporta como lo supiera, como si tuviera voluntad, ¿no? Es un poco raro…

A.: Esto es lo que quería que viera: efectivamente, hay una tendencia al equilibrio, todo ocurre como si la chapa lo buscara, pero obviamente la chapa ni siente ni padece. Ese comportamiento es una consecuencia del hecho de que la transmisión de calor sea proporcional a la diferencia de temperatura (bueno, para la radiación no es exactamente proporcional, pero como si lo fuera). Es lo que hemos estado discutiendo, y si lo piensa, sólo lo hemos explicado cuando la chapa empieza estando más fría que su temperatura de equilibrio, pero ocurre lo mismo si partiera de una temperatura más alta, se iría enfriando hasta alcanzarla. Es una especie de mecanismo de realimentación.

L.: Como si tuviera un termostato…

A.: Pues sí, solo que el termostato está fijado a una temperatura que no sabemos a priori, y que depende de cuanta radiación solar reciba la placa y de si pierde poco o mucho calor… de cuál sea su grado de aislamiento térmico, podríamos decir.
L.: Pero ¿no se puede calcular cual va a ser esa temperatura de equilibrio?

A.: Bueno, ya le dije que normalmente no conocemos bien las pérdidas de calor por conducción y por convección. Pero podemos hacer la cuenta si sólo consideramos las pérdidas por radiación. Nos saldrá un valor de la temperatura de equilibrio un poco más alto de la cuenta (porque estamos poniendo menos pérdidas de las reales) pero de todos modos es una cota superior que tampoco está muy equivocada… Si quiere lo hacemos, es fácil.

L.: Vale, pero ya sabe lo que le voy a decir

A.: Que en el próximo post, ¿verdad? Vale, ya estaba empezando a sudar…