Categoría: Curso de humanidades

Retrogradando

Decía en el post anterior que me encontré por casualidad con la superstición del Mercurio Retrógrado buscando figuras o vídeos para explicar la retrogradación de los planetas. En realidad, ha habido tres tipos de explicaciones, y cada una marcó una época en la astronomía.

La primera fue la de Eudoxo de Cnido, un brillante matemático discípulo de Platón. Desde hacía tiempo los astrónomos griegos coincidían en que las estrellas estaban fijas a una gigantesca esfera celeste, concéntrica con la esfera terrestre y que giraba a su alrededor. Eudoxo imaginó al Sol fijo sobre una tercera esfera, cuyo eje estaba pinchado en la esfera celeste y que por tanto era arrastrada con ella, pero que tenía un lento movimiento propio en sentido contrario (una vuelta cada 365 días) que explicaba su retraso respecto de las estrellas. El eje de la esfera del Sol no coincidía con el de la esfera celeste, y esta inclinación explicaba que el Sol unas veces estuviera más lejos de la estrella Polar (en invierno) y otras más cerca (en verano, como en la figura siguiente).

EsferaCelesteYEsferaDelSol

El modelo de las dos esferas (celeste y terrestre) al que se ha añadido la esfera del Sol, como propuso Eudoxo. Como ésta gira en sentido contrario lentamente, el Sol tarda un poco más en dar una vuelta completa que las estrellas. Cada vuelta de estas, el retraso es de 1/365 de un día = 4 minutos. Por eso el el Sol tarda 24 horas en completar su vuelta en vez de 23 horas y 56 minutos, como las estrellas.

El movimiento de la Luna se explicaba de manera totalmente análoga, pero ¿qué hacer con los planetas? Ante todo, su movimiento promedio respecto a las estrellas se explicaba igual que el del Sol o la Luna: añadiendo una esfera con un movimiento propio, pinchada en la esfera celeste y arrastrada por ésta. Pero ¿cómo conseguir que “vagabundearan”, unas veces acelerándose y otras frenándose?

Aquí Eudoxo demostró su genialidad: ideó un mecanismo de dos esferas, girando una en sentido contrario de la otra, que producían una trayectoria en forma de ocho (técnicamente llamada hipópeda). Copio la explicación sacada de De Tales a Newton (el libro):

En la siguiente figura vemos une esquema con las dos esferas y el punto X, que representa un planeta, sobre el ecuador de la esfera interior. En (a) vemos los respectivos ejes EF y GH. Si los dos ejes coincidieran, como giran en sentidos contrarios, el movimiento de una esfera contrarrestaría al de la otra y X no se movería. Pero como los ejes forman un cierto ángulo, el punto X traza la figura en forma de 8 dibujada en (b) (donde ahora se ha cambiado el punto de visión de modo que el plano de los ejes es perpendicular al del papel). Al superponerse el movimiento de las esferas exteriores, el bucle proporciona las retrogradaciones.

HipopedaDeTalesANewton

(a) Las dos esferas de Eudoxo para conseguir una retrogradación. Ambas giran en sentidos contrarios con el mismo periodo. El punto X representa un planeta. (b) La misma construcción en la que el punto de vista ha girado 90º. Se ha dibujado la figura descrita por el planeta desde este punto de vista. La escala es la misma en ambos dibujos, pero la amplitud vertical del bucle se ha exagerado mucho.

Podemos ver esta construcción en movimiento aquí (no apto para propensos al mareo):

animated_hippopede_of_eudoxus

Las dos esferas de Eudoxo, que dibujan la hipópeda, en movimiento (para mejor visibilidad, sólo se ha dibujado un meridiano de cada una). El punto que representa al planeta está fijo en el meridiano rojo. Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Eudoxus_of_Cnidus

Ahora, como hemos dicho, si estas dos esferas se montaban sobre las dos anteriores, el “ocho” se superponía al movimiento promedio, y en el tramo que era recorrido hacia atrás daba lugar a la retrogradación. Eudoxo conseguía algo notablemente difícil, aunque al precio de usar cuatro esferas para cada planeta: explicar su movimiento irregular mediante la superposición de giros uniformes de esferas.

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Las cuatro esferas que Eudoxo necesitaba para explicar el movimiento de un planeta. La más externa es la esfera celeste, la siguiente, la que da cuenta del movimiento promedio del planeta, y las dos interiores, las que dan lugar a la hipópeda. Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Eudoxus_of_Cnidus

Podemos ver todo el sistema en acción en este vídeo (pero ¡sólo hasta el minuto 1:30!)

Seguramente Platón, que por motivos filosóficos defendía que todos los movimientos astronómicos debían ser circulares y uniformes, estaría orgulloso del logro de su discípulo. Pero los astrónomos, apegados a las observaciones, pronto encontraron problemas en el modelo de Eudoxo. Aunque explicaba cualitativamente el vagabundeo de los planetas, no lo hacía cuantitativamente: no permitía hacer predicciones.

Los astrónomos no podían permitirse esas inexactitudes, y tuvieron que afrontar otra vez el rompecabezas. Un par de siglos después tenían una nueva solución: el modelo de epiciclos. Y, remarcablemente, seguía utilizando movimientos circulares y uniformes… ¡y era más sencillo!

Lo vemos en el mismo vídeo de antes, si lo abrimos a partir  del minuto 1:30: nos olvidamos de las esferas y el planeta gira en un círculo (epiciclo) cuyo centro gira a su vez en torno a la Tierra (en otro círculo, llamado deferente). Periódicamente, las velocidades sobre epiciclo y deferente van en sentido contrario, se restan, y se produce la retrogradación.

Esta explicación de las retrogradaciones duró más de 1700 años, pero se acabó abandonando cuando por la explicación actual Copérnico, Kepler y Galileo abrieron una nueva época en la astronomía. ¿Cuál es esa explicación? Como el post ya es bastante largo, no voy a entretenerme: miren el vídeo a partir del minuto 2:19 y  lo verán.

¡Peligro!¡Mercurio retrógrado!

No sé si lo sabrán, pero hace unos días (el pasado 17 de febrero) hemos entrado en el primer Mercurio Retrógrado del año. ¿Y eso qué significa? Aquí tienen la explicación de las páginas de ciencia del 20 Minutos, seguramente el diario más leído de España (¡es gratuito!):

Desde el pasado 17 de febrero y hasta el próximo 10 de marzo el planeta Mercurio se hallará retrógrado. Esto significa que el planeta, visto de la Tierra, dará la aparente sensación de que se mueve hacia atrás durante unas semanas para luego regresar a su movimiento normal (…)

Estas fases retrógradas de Mercurio suelen notarse sobre todo en las telecomunicaciones, correos o transportes, que pueden ver alterada su normalidad y sobre todo su rapidez (no es infrecuente que se produzca alguna huelga). También en los negocios y las operaciones comerciales que pueden verse entorpecidas, enlentecidas o paralizadas de modo pasajero.

Si esto es demasiado científico para ustedes, pueden consultar algo más trendy, como el Cosmopolitan, que nos advertía así sobre el anterior Mercurio Retrógrado:

¡Cuerpo a tierra! Quedan escasas horas para que entre en escena el acontecimiento astral más temido: Mercurio Retrógrado. “¿Otra vez?”, pensarás. “¡Es el tercero de 2019!”, gritarás mirando hacia el cielo. ¡Pues sí, querida chica Cosmo! La vida no es como una película, es como una serie, y en la temporada que estás viviendo ahora mismo te toca pasar por este fenómeno. Es lo que hay. Pero no creas que esto podrá contigo. Nada más lejos de la realidad. Para eso estamos nosotras aquí.

Lo primero que debes asimilar es que sí, habrá drama, dramones y dramón en las tres semanas que dura (hasta el 20 de noviembre) y que puede que la cosa se te haga un poco bola. No nos eches la culpa a nosotras; hazlo a Escorpio, astro sobre el que se va a producir. Este afecta directamente a la mente y la comunicación, aspectos que, si no fluyen bien, generarán los mayores conflictos.

Y si quieren algo más internacional,  en este enlace pueden ver como la revista Allure nos proporciona The Ultimate Guide to Surviving Mercury Retrograde in 2020

¿Cómo he llegado a enterarme de esta majadería palpitante cuestión? Pues buscando algún vídeo que explicara bien las retrogradaciones de los planetas. Porque sí, efectivamente retrogradan (no sólo Mercurio: todos). Pero si quiere saber qué es eso y cómo le influye a usted, no lea el Cosmopolitan: siga leyendo este blog.

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Cada noche, las estrellas giran majestuosamente en torno a la estrella polar: miles y miles de lucecitas, sin que ninguna se adelante o se atrase. Todas se mueven con la misma velocidad angular. Por eso las constelaciones no se han deformado lo más mínimo durante milenios, y por eso los antiguos las imaginaron fijas a una bóveda, un sólido rígido que gira en bloque.

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Estrellas sobre Cerro Paranal. Fuente: Wikipedia

He dicho que ninguna de esas luces se adelanta o atrasa, pero no es verdad: hay unas, muy pocas, que sí lo hacen, y por eso fueron distinguidas desde muy antiguo como especiales. Se les llamó πλανῆται (planētai), que en griego significa vagabundos, y aunque parecían estrellas no lo eran, porque no estaban fijas a la bóveda celeste. Había siete: el Sol, la Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno (¡tan especiales eran que dieron nombre a los siete días de la semana!).

La Luna gira cada noche un poco más despacio que las estrellas, de manera que se va retrasando respecto de ellas y al cabo de 27 días y 7 horas ha dado una vuelta completa sobre la esfera celeste. Aunque es más difícil de comprobar, porque de día no se ven las estrellas, el Sol también se retrasa, pero menos: tarda 365 días y 6 horas en dar la vuelta completa: justo un año… por definición.

Aunque el Sol y la Luna se mueven respecto de las estrellas fijas, siempre lo hacen a la misma velocidad, así que quizá no se merecen el nombre de vagabundos. Los cinco planetas propiamente dichos sí: estos generalmente se retrasan, como el Sol y la Luna, pero a veces, misteriosamente, aceleran y rebasan a las estrellas, para, al cabo de un tiempo, volver a su movimiento habitual. Este movimiento anómalo es lo que se llama retrogradación. Es más frecuente en Mercurio, pero ocurre en todos los planetas.

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Con esto ya sabemos qué son las retrogradaciones. Pero ¿cómo le influyen a usted? La respuesta breve es: de ninguna manera. No tiene que hacer nada para sobrevivir al Mercurio Retrógrado: esta palpitante cuestión es una majadería astrológica (¿o antológica?).

Pero hay una respuesta más larga. Durante siglos, milenios incluso, las retrogradaciones obsesionaron a los astrónomos. Cada sucesiva explicación que consiguieron darles marcó un hito en el progreso de la astronomía. De modo que si hoy sabemos dónde estamos en el cosmos, es en parte gracias al terco esfuerzo por entender esos misteriosos vagabundeos de los planētai por el cielo. Así que, a fin de cuentas, las retrogradaciones sí que le han influido a usted y a todos nosotros… y para bien.

¿Cómo fueron esas sucesivas explicaciones? Lo veremos enseguida: en el próximo post.

Un discurso y dos problemas de Fermi (sobre el calentamiento global)

En el post anterior hablábamos de la superstición de la exactitud: la idea, implícita en toda la enseñanza obligatoria, de que un problema sólo puede tener una solución exacta, y si no la tiene o no la podemos obtener, entonces no hay nada que podamos decir sobre el problema. Con esta actitud se cultiva una visión en blanco y negro de la realidad: o tenemos una certeza absoluta sobre una cuestión o cualquier opinión es igualmente válida. Y así, en el ejemplo de las manifestaciones, la imposibilidad de contar a los manifestantes nos deja abandonados a la habitual “guerra de cifras” entre unos y otros.

Idolatrar la exactitud, paradójicamente (o no tanto: los extremos se tocan), nos entrega al relativismo y la propaganda.

Lo curioso es que esta actitud, que se pretende rigurosa y “científica” (y por eso la inculcamos en la escuela) es  diametralmente opuesta a la de la ciencia de verdad. La ciencia moderna sólo despegó cuando Galileo abandonó el ideal de precisión absoluta para proclamar que un acuerdo aproximado puede ser suficiente para confirmar una ley. Por ejemplo: una bola de piedra y otra de madera no tardan lo mismo en caer desde una torre, pero Galileo, en contra del rigor mal entendido de los aristotélicos, señalaba que la diferencia es suficientemente pequeña para afirmar que en realidad sí lo hacen… Sí lo hacen, bien entendido, en una realidad abstracta, idealizada, en la que el rozamiento del aire y otros “impedimentos materiales” no compliquen la simplicidad subyacente, esa que Galileo comparó a un libro escrito en caracteres matemáticos, donde podemos alcanzar el ideal de precisión.

La  ciencia, mucho más que un repertorio de “contenidos científicos”, es ante todo una actitud. Una manera de pensar que sólo funciona, como nos enseñó Galileo, gracias a la capacidad de hacer aproximaciones, de estimar los errores y de apreciar los órdenes de magnitud. Esas son las herramientas que permiten traducir nuestro confuso mundo cotidiano al lenguaje del libro de la Naturaleza.

Y el desarrollo de esta capacidad, dicho sea de paso, es lo que puede hacer que las asignaturas de ciencias tengan algo que aportar, “transversalmente” (como quieren nuestras leyes de educación), a la formación de ciudadanos responsables, autónomos y con espíritu crítico. Eso y no todas las fórmulas y fenómenos que se acumulan, inertes, en los libros de física de nuestro disparatado bachillerato de dos cursos…

Pero basta de discursos: pasemos mejor a un ejemplo concreto.

*

Todo el mundo ha oído hablar del calentamiento global y de cómo la principal causa son las emisiones de gases de efecto invernadero, sobre todo de CO2. Es un problema enormemente complejo si entramos en los detalles… pero aquí estamos para hacer aproximaciones. Así que en primera aproximación podemos escribir la cadena causal así:

Emisiones de CO2 ⇒ ­↑ [CO2] en la atmósfera ⇒ ↑­ T de la Tierra ⇒ ↑­ nivel del mar

La subida del nivel del mar -la amenaza más dramática del calentamiento global- es consecuencia del calentamiento de nuestro planeta, que a su vez se debe al aumento de la concentración de CO2 en la atmósfera por culpa de las emisiones humanas.

Pero todo esto es cualitativo. Para trabajar en el espíritu de Galileo lo primero es cuantificar. ¿Cómo de grandes son esos incrementos? Aquí traigo una gráfica para cada una de las principales magnitudes: la concentración de CO2, la temperatura y el ascenso del nivel del mar:

Variación de la concentración atmosférica de CO2 en los últimos años (Fuente:NASA).

 

Variación de la temperatura promedio de la Tierra en el último siglo (Fuente: NASA).

Ascenso del nivel del mar en las últimas décadas (Fuente: The Economist)

Midiendo a ojo la pendiente de cada gráfica encontramos estos incrementos en los últimos años:

Δ[CO2] ≈ 25 ppm/década (ppm=partes por millón)

ΔT ≈ 0,2ºC/década

Δhmar ≈ 3 cm/década

¿Podemos hacer algo con estos números? ¿Son razonables? ¿Tenemos que creerlos sin más o podríamos haberlos estimado, al menos en orden de magnitud? De momento vemos, con una regla de tres, que cada 100 ppm adicionales de CO2 se traducen en un calentamiento de 0,8ºC: hemos cuantificado el efecto invernadero, el eslabón principal de la cadena causal. Pero con este valor no podemos hacer gran cosa salvo creérnoslo. La relación entre CO2 en el aire y calentamiento no es en absoluto directa y es difícil estimarla sin bajar a los detalles de la física: espectros de absorción del CO2, ley de Planck, etc (aunque nunca se sabe: ¿se le ocurre a alguien una manera de hacerlo?).

Sin embargo, sí que podemos decir algo sobre el principio y el final de la cadena: estimar las emisiones de CO2 (al menos una parte importante), y también el ascenso del nivel del mar para un aumento dado de temperatura. Lo mejor es que no necesitamos calculadora y basta con saber unos pocos datos, casi todos conocidos -en teoría al menos- por un estudiante de bachillerato. En definitiva, que son cálculos que podemos hacer en un bar, con una servilleta de papel y un lápiz: lo que en física se llama back of the envelope calculation, la especialidad del legendario Enrico Fermi.

Así que les propongo dos “problemas de Fermi” (el primero es más fácil que el segundo):

1) Por lo que hemos visto en las gráficas, 1ºC de aumento de temperatura supone un aumento de nivel del mar de 15 cm. ¿Cuánto debería subir el mar debido a su dilatación térmica si ΔT=1ºC?

Pistas:

  1. Cuando un volumen V0 de agua aumenta su temperatura ΔT, se dilata un ΔV=βV0ΔT, siendo β el coeficiente de dilatación volúmica. Este coeficiente depende mucho de la temperatura: a 4ºC es 0, a 10ºC es 8·10-5 ºC-1 y a 20ºC es 20·10-5 ºC-1.
  2. El resto de los datos nos los inventamos, según lo que nos dicte nuestro sentido común.
  3. Para verificar nuestro resultado: curiosamente, este efecto de dilatación es más importante que la tan comentada fusión de los casquetes polares: da cuenta de aproximadamente 3/5 de la subida total del nivel del mar.

2) Estimar los kg de CO2 vertidos a la atmósfera en un año por un automóvil típico. A partir de este dato, calcular las emisiones de todos los vehículos de España y del mundo. A partir de este dato, estimar el aumento de la concentración anual de CO2 en la atmósfera.

Pistas:

  1. La gasolina es un hidrocarburo, formado por átomos de H y C. Como los primeros son 12 veces más ligeros que los segundos, podemos despreciar su masa.
  2. La masa atómica del oxígeno es 16 veces la del H.
  3. La densidad de la gasolina la tomamos como igual a la del agua.
  4. Consideramos que todo el CO2 vertido a la atmósfera en un año se queda en la atmósfera.
  5. No vamos a distinguir entre partes por millón en peso y partes por millón en átomos.
  6. La atmósfera ejerce una presión de 1 Kg/cm2 y el ecuador tiene una longitud de 40.000 km
  7. Suponemos que hay 45 millones de españoles y 7.500 millones de habitantes en el mundo.
  8. El resto de los datos nos los inventamos, según lo que nos dicte nuestro sentido común.
  9. Para verificar nuestro resultado: según se puede leer aquí, el transporte terrestre es el responsable de algo más del 15% de las emisiones de CO2.

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¿Se animan ustedes? Cualquier intento de solución en los comentarios será bienvenido. Acabaré dando mis soluciones, pero sólo cuando haya pasado un tiempo prudencial…

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Actualización: soluciones en el comentario del 23/11/19.

Las ideas de la ciencia, de Tales a Newton: Una antología de posts

Ahora que en el mundo real (Universidad Carlos III) estamos inmersos en el curso de humanidades “Las ideas de la ciencia”, he pensado que puede ser un buen momento para recopilar unos cuantos posts que he ido escribiendo estos años y que son una ampliación o un comentario del libro y del curso… a beneficio de los alumnos curiosos (o de los diletantes que se dejen caer por aquí). Los ordeno según los capítulos del libro.

En el principio fue la medida

El mirador y la forma de la Tierra

¿Realmente se ve Gibraltar desde el Pico Veleta?

Umberto Eco y la Tierra plana

Modelos del cielo

Mirando al cielo, en Youtube

Mirando al cielo desde Ávila (I): Estrellas y constelaciones

Mirando al cielo desde Ávila (II): La bóveda celeste

Mirando al cielo desde Ávila (III): El año, el mes y la semana

Mirando al cielo desde Ávila (IV): El Universo de las dos esferas

Mirando al cielo desde Ávila (V): Un salto al cosmos de Aristóteles

Mirando al cielo desde Ávila (y VI): Epílogo: La ambrosía de Ptolomeo

Mapas de la Tierra

Cartografía en la Biblioteca Nacional

Mapas en la Biblioteca Nacional

España en 1486, según la Geografía de Ptolomeo

Viaje a las antípodas

(Des)conocimiento del medio

Las antípodas y los antípodas

Diez razones por las que sabemos que la Tierra es redonda

La Tierra, esa bola de billar

El mundo según Aristóteles

La flecha de Aristóteles y el órgano sensorial de Dios

Los cuatro temperamentos… y las mujeres

¿No será usted aristotélico sin saberlo? (y II)

¿No será usted aristotélico sin saberlo? (I)

Aristóteles y el manga (etcétera)

El cielo, de Aristóteles a Copérnico

Galileo y las montañas de la Luna

La paradójica revolución de Copérnico

Copérnico y la campana de Huesca

Agudeza Visual

Galileo (I): El primer científico moderno

¿Eppur si muove?

La verdadera historia de Galileo y la Torre de Pisa (II)

La verdadera historia de Galileo y la Torre de Pisa (I)

La verdadera historia de Galileo y la Torre de Pisa (III)

Siete mitos sobre Galileo que casi todo el mundo cree

El experimento de Galileo, a lo grande

Galileo lo tuvo mucho más difícil

Emulando a Galileo… con el móvil.

Galileo (II): El telescopio y la inquisición

El telescopio contra Copérnico (I): Pulgas y paralajes

El telescopio contra Copérnico (II): Estrellas, telescopios y artefactos

El telescopio contra Copérnico (y III): Unas estrellas inconcebibles

y de propina… (fuera de catálogo):

Colón y la Tierra plana

El día, la noche y el mapa

Del mapa al calendario

Alta mar

La paradoja del cambio de fecha (I): La Tierra como reloj

La paradoja del cambio de fecha (II): ¿Qué día es en las islas Fiyi?

La paradoja del cambio de fecha (y III): Por fin entendemos qué le pasó a Phileas Fogg

 

De la elipse en el suelo a la elipse en el cielo

En el post anterior vimos que podíamos estimar el tamaño de la iglesia de San Petronio de dos maneras: a partir del eje menor (D) de la elipse luminosa que el pequeño orificio del techo proyecta sobre el suelo y también a partir de la velocidad con la que esa elipse se mueve (v). Pero necesitábamos dos datos adicionales: en el primer caso, el tamaño angular del Sol (\theta), y en el segundo, su velocidad angular (\omega); recordemos que si r es la distancia del orificio a la elipse, D=r \theta y v=r \omega.

Naturalmente Giovanni Domenico Cassini no se tomó la molestia de construir la meridiana para medir la altura del techo de la iglesia… que conocía perfectamente. Ni siquiera su objetivo principal era construir el reloj más preciso del mundo. Era una obra cara, y si la Iglesia estaba dispuesta a pagarla (sabemos que costó 2500 liras de la época, al cambio, entre 200.000 y 250.000 euros de hoy) era por una buena razón: el papa Gregorio XIII había decretado de la reforma del calendario hacía ya más de 70 años, en 1582, y era hora de verificar su corrección. Había que medir la duración del año con mucha precisión, y Cassini podía hacerlo mediante la determinación de dos equinoccios consecutivos, porque en el equinoccio la trayectoria de la mancha de luz es una recta, perpendicular a la meridiana (¡realmente es un instrumento muy completo!).

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Giovanni Domenico Cassini (Génova, 1625 – París 1712)

Pero el auténtico propósito de Cassini era otro. Buscaba algo mucho más interesante científicamente: medir un parámetro que nosotros hemos dado por sabido, el tamaño angular del Sol. Precisamente por las enormes dimensiones de la meridiana, se podía medir con gran precisión, dando la vuelta a la fórmula que pusimos al principio: \theta =D/r. Y esta medida precisa prometía dar un dato decisivo para resolver la gran pregunta de la astronomía de la época: decidir entre “los dos máximos sistemas del mundo”, el Tolemaico y el Copernicano; en definitiva, entre el geocentrismo y el heliocentrismo. Era la cuestión que veinte años antes había llevado a Galileo a juicio, así que no es de extrañar que Cassini fuera reservado.

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El Sol se mueve respecto de las estrellas, volviendo a la misma posición al cabo de un año. Pero desde la antigüedad se sabe que este movimiento aparente es un poco más rápido en invierno que en verano. En el siglo II a.d.C, Hiparco de Nicea lo explicó suponiendo que el Sol se mueve en realidad a velocidad constante en torno a la Tierra, pero su círculo está un poco descentrado, de modo que en invierno está más cerca y parece por eso moverse más deprisa.

Pero si el Sol estaba más cerca, también parecería más grande, así que la hipótesis de Hiparco podía verificarse midiendo el tamaño aparente del Sol. Desgraciadamente, se trata de una medida muy difícil de hacer con precisión. No podemos mirar al Sol directamente, y aunque desde muy antiguo se le ha observado proyectando su imagen en una cámara oscura (la mejor manera, por ejemplo, de mirarlo en un eclipse) el tamaño de la imagen es tan pequeño que no hay manera de apreciar una variación entre verano e invierno. Salvo, claro está, que la cámara oscura fuera gigantesca, tan grande como una catedral… ¡o como la iglesia de San Petronio!

Cassini, en efecto, podía poner a prueba la hipótesis de Hiparco. Pero lo que hacía realmente interesante la cuestión es que ahora había una hipótesis alternativa. En 1609 Kepler había publicado dos leyes sobre el movimiento de los planetas. La primera decía que las órbitas no eran circulares sino elípticas; la segunda afirmaba que el aumento de velocidad del Sol en invierno no era sólo un efecto de la mayor cercanía, sino que había una aceleración real. Eran dos ideas revolucionarias, que rompían con dos mil años de astronomía en los que siempre se había considerado que todos los movimientos celestes eran circulares y uniformes (o, al menos, combinación de movimientos circulares y uniformes).

Kepler esquema

En concreto, Kepler decía que si consideramos los tramos recorridos en dos periodos breves e iguales de tiempo, uno (L1) cuando la Tierra está a la distancia mínima al Sol (d1) y otro (L2) cuando está a la distancia máxima (d2), las áreas de los dos triángulos de la figura deben ser iguales: L_1 d_1/2=L_2 d_2/2, o lo que es equivalente, \frac{L_1}{L_2}=\frac{d_2}{d_1}.

Naturalmente, desde el punto de vista de la Tierra quien se movería sería el Sol. Su velocidad aparente (la llamaremos v_a) es una velocidad angular, y es proporcional el cociente entre el arco recorrido  y la distancia. Así que, según Kepler,

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L_1/d_1}{L_2/d_2}=\frac{d_2/d_1}{d_1/d_2}=\frac{d_2^2}{d_1^2}

Mientras que según Hiparco las velocidades son iguales en 1 y 2, así que L_1=L_2=L y

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L/d_1}{L/d_2}=\frac{d_2}{d_1}

Las velocidades aparentes del Sol v_{a1} y v_{a2} se conocían con precisión en la época de Cassini. La novedad era que ahora él podía medir la proporción de distancias, porque es la inversa de la proporción de tamaños aparentes del Sol: \frac{d_2}{d_1}=\frac{\theta_1}{\theta_2}, y el tamaño aparente del Sol \theta se obtiene fácilmente de la longitud de los ejes de la elipse de luz sobre el suelo. La meridiana de Cassini permitía obtener el valor numérico de \frac{d_2}{d_1}. Si este número coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Hiparco; si era el cuadrado de este número el que coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Kepler. ¡Podía decir entre Hiparco y Kepler, entre los “dos máximos sistemas del mundo”, midiendo el tamaño de una elipse!

*

Pero como siempre, las cosas son más complicadas en la realidad que sobre el papel. Las dos distancias son bastante parecidas: hoy sabemos que d_1=147,1 \cdot 10^6 km  y d_2=152,1 \cdot 10^6 km), así que su cociente resulta ser:
\frac{d_2}{d_1}=1,034
un número muy cercano a uno, y por tanto muy parecido a su cuadrado:
\frac{d_2^2}{d_1^2}=1,069
¡Una diferencia de poco más del 3%! La medida del tamaño de la elipse tenía que tener como mínimo esa precisión para poder decidir entre Hiparco y Kepler. Recordemos el aspecto de la elipse de luz sobre el suelo:
EscalaMancha1
Gracias a que el agujero es muy pequeño, la elipse está muy bien definida: en el primer post dijimos estimamos un eje menor de 30 cm, con una incertidumbre de 1 cm. Un error relativo de 1/30: aproximadamente un 3%, justo lo que Cassini necesitaba: sabía lo que hacía al construir una meridiana tan enorme.

Las medidas de Cassini dieron la razón a Kepler: su elipse en el suelo ratificó las elipses en el cielo. Fue la primera confirmación independiente de las leyes de Kepler, y aunque este resultado no demostraba que la Tierra se movía (es compatible con que sea el Sol el que se mueve en una elipse a velocidad variable), el sistema de Kepler aplicado al sistema solar en su conjunto sólo podía entenderse de modo heliocéntrico.

*

(Epílogo) Las cosas son siempre más complicadas en la realidad que sobre el papel, decía, y esta historia no es una excepción. Cassini había demostrado la superioridad de la hipótesis de Kepler sobre la de Hiparco, pero las órbitas elípticas no le convencían, y prefirió postular otra figura geométrica, los óvalos de Cassini. No tuvo mucho éxito, y cuando entró en escena Newton cualquier duda quedó despejada, porque las leyes de Kepler se deducían como una consecuencia natural de la gravitación universal… pero no para Cassini, que no aceptó la teoría de de Newton.

Unos años después de la construcción de la meridiana, Cassini fue fichado por Jean-Baptiste Colbert, para fundar el observatorio de París. No se limitó a hacerlo, sino que demostró un singular talento organizativo, y fundó una dinastía de astrónomos, que fueron conocidos como Cassini II, Cassini III y Cassini IV… pero eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

 

Midiendo el tamaño del instrumento de medida

En el post anterior admirábamos la meridiana de San Petronio, en Bolonia, que resultaba ser el reloj más preciso de su época. Un reloj de sol, en realidad, pero que por sus gigantescas dimensiones transforma el lento giro del astro rey (15º por hora) en un rápido desplazamiento de una elipse de luz sobre el suelo (12 cm por minuto). El otro ingrediente para conseguir la precisión es un orificio de entrada de la luz muy pequeño y muy regular, para que la mancha luminosa esté muy bien definida. Así puede determinarse el momento en que está centrada sobre la línea con poca incertidumbre, del orden de 1 cm, que se transforma en 1/12 de minuto: 5 segundos.

La elipse de luz se mueve tan rápido porque la velocidad angular del rayo (la del Sol) se traduce en la velocidad lineal de la mancha multiplicando por la longitud del rayo, y esta longitud es enorme en San Petronio. ¡Si queremos precisión, hay que hacer las cosas a lo grande!

La relación entre tamaño y precisión es común a todos los instrumentos astronómicos (y la meridiana lo es). Por lo menos, a todos los anteriores al telescopio: en gran Tycho Brahe realizó, a finales del siglo XVI, unas observaciones astronómicas de una exactitud sin precedentes a base de usar instrumentos de una escala colosal (pude verse alguno aquí)

Pero (atención: entramos en modo cuantitativo) quizá lo más interesante es que esta relación entre velocidad angular y velocidad lineal nos permite medir nuestro propio instrumento, es decir, el tamaño de la iglesia de San Petronio. En efecto, si r es la longitud del rayo y \omega la velocidad angular, la velocidad lineal de la mancha de luz sobre el suelo es simplemente

v=\omega {\cdot} r , y por tanto r=\frac{v}{\omega}

Antes de hacer la cuenta, expresamos la velocidad angular en radianes por minuto:

\omega=15\left(\frac{grados}{hora} \right) \left(\frac{1\, hora}{60 \, min} \right) \left(\frac{\pi \, rad}{180 \, grados} \right)=\frac{\pi}{720}\left(\frac{rad}{min} \right)

Y recodamos que en el post anterior vimos que v=12,6 cm/min, así que

r=\frac{12,6 \cdot 720}{\pi}=2888 \, cm \approx 29 \, m

Pero hay más. No sólo la velocidad de la elipse el proporcional a r: también su tamaño. Así que podemos hacer otra estimación independiente de r. El haz de luz es un cono, cuyo vértice es el agujero, porque los rayos de sol no son completamente paralelos; y no lo son porque el Sol no es un punto, sino un pequeño disco, con un tamaño angular aparente \theta:

Meridiana esquema

Esquema de la meridiana de San Petronio. Los rayos del Sol (S) entran por el agujero A, a un altura h sobre el suelo, produciendo la elipse de ejes D1 y D2 (representada esquemáticamente arriba).

Así que el diámetro del cono a una distancia r es \theta r , que se corresponde con el eje menor D_1 de la elipse (el mayor está alargado por la oblicuidad de los rayos, como muestra la figura). Por tanto, recordando que habíamos medido un eje menor de 0,3 m, y sabiendo que \theta vale un poco más de medio grado (redondeando, una centésima de radián), tenemos que

D_1=\theta r \Rightarrow r=D_1 / \theta =0,3/10^{-2}=30 \, m

…que está en muy buen acuerdo con el resultado anterior.

Pero si queremos medir el tamaño de la iglesia lo que interesa no es la longitud del rayo (que depende de su oblicuidad) sino la altura del techo, es decir, la altura a la que está situado el agujero…¡y también esto lo podemos medir! A la vista de la figura, el cociente de los dos ejes de la elipse es

D_1/D_2= sen(\beta)=h/r

Vimos que D_1=30 \, cm y D_2=36 \, cm luego, usando nuestra última (y más redonda) estimación de r,

h=r D_1/D_2=30 {\cdot}30/36=25 \,m

AlturaSanPetronio.png

Nuestra estimación de la atura del techo de San Petronio. Comparando con la persona que se ve cerca de la base de la flecha, no parece inverosímil…

¿Hemos acertado con la altura? En esta página he encontrado el dato: Cassini puso el orificio del techo a una altura de 1000 pulgadas francesas, lo que equivale a 27,07 m. No está mal, para una estimación tan burda como la nuestra: menos del 10% de error.

Una moraleja para alumnos: cuando en las prácticas de laboratorio tenemos un error importante, la culpa casi nunca está en la falta de precisión de los aparatos. Aquí sólo hemos usado un móvil para hacer dos fotos y un papel (el plano que nos servía para marcar la escala) con el que hemos estimado las distancias a ojo.

Pero en la investigación científica a veces hace sí hace falta mucha precisión, y la meridiana de Bolonia la puede proporcionar, si la usamos como profesionales y no como turistas con un móvil y un plano. En el próximo (y último post de la serie, lo prometo), veremos cómo lo hizo el gran Giovanni Domenico Cassini.

*

(Propina para expertos) Hemos encontrado que sen(\beta)=D_1/D_2= 0,83 \, \Rightarrow \, \beta=56,4 ^{\circ}. Esta es la inclinación de los rayos, es decir, la altura del Sol sobre el horizonte, y a partir de ésta podemos obtener la latitud \alpha  del lugar de observación. En efecto, en el equinoccio, el Sol a mediodía está a una altura \beta=90^{\circ}-\alpha (por ejemplo, para el ecuador, \alpha=0^{\circ}  y \beta=90^{\circ}: sol en el cénit; para el polo norte, \alpha=90^{\circ} y \beta=0^{\circ}: sol rasante con el horizonte). Así que si mis observaciones se hubieran hecho el 21 de septiembre a mediodía, deduciríamos que la latitud de Bolonia es \alpha=90^{\circ}-\beta=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}=33,6^{\circ}.

Pero en el solsticio de verano, el 21 de junio,  el sol está 23,5^{\circ} más alto: \beta=90^{\circ}-\alpha+23,5^{\circ}, lo que nos daría \alpha=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}+23,5^{\circ}=57.1^{\circ}. Como mis medidas se hicieron a mediados de agosto, vamos a poner el valor medio de los dos resultados: la latitud de Bolonia sería \alpha=(33,6^{\circ}+57.1^{\circ})/2=45,3^{\circ}. La latitud real es 44,5^{\circ}: un acuerdo muy bueno teniendo en cuenta lo burdo de nuestras aproximaciones (no era exactamente mediodía, y la interpolación entre el solticio y el equinoccio es más complicada).

El reloj más preciso del mundo, en 1655

Cuando Charles Dickens visitó Bolonia dejó escrito que lo único que le gustó fue la gran meridiana en el suelo de la iglesia de San Petronio. Yo debo ser menos exigente que Dickens, porque este verano he encontrado muchas cosas atractivas en Bolonia… pero tengo que reconocer que nada me ha gustado tanto como su meridiana.

Pero ¿qué es una meridiana? A simple vista, esto:

meridiana

Un raíl metálico, muy delgado y muy largo, incrustado en el suelo de la iglesia. El turista típico seguramente le echará un vistazo rápido y continuará visitando San Petronio. Pero si se acerca a mirar verá unos intrigantes números, fechas y símbolos astronómicos a lo largo de la línea. Y si picado por la curiosidad explora los alrededores, pronto encontrará algunas pistas…

Quizá le llame la atención un círculo de luz sobre uno de los pilares vecinos, cerca del capitel (marcado como 1):

Mancha de luz

Si se queda mirando un rato, notará que la mancha de luz se mueve (en la foto, la mancha dobla una arista del pilar; unos segundos antes todavía no lo hacía), y deducirá que esa luz entra por un pequeño agujero en el techo, decorado con un hermoso sol (marcado en la foto como 2). Así que  el movimiento de la mancha de luz es consecuencia del movimiento del Sol. Un poco después, la luz da sobre el suelo de la iglesia… y se va aproximando a la línea metálica del suelo.

El turista curioso se pregunta ¿por dónde cruzará la línea? Y se le enciende la bombilla: había fechas marcadas sobre ella… ¿no cruzará precisamente por la fecha de hoy? ¡La meridiana sería entonces un calendario? Tiene sentido, porque en verano, con el sol más alto, los rayos llegan al suelo cerca de la vertical del agujero del techo y en invierno los rayos más oblicuos llegan más lejos. Y eso cuadra con la posición de las fechas marcadas en suelo.

Efectivamente: la meridiana es un calendario. Es una línea recta orientada exactamente en dirección norte-sur, y en su vertical hay un agujero por el que entra un delgado haz de luz del Sol. De este modo, a mediodía, cuando el Sol está justo en dirección sur, el delgado haz de luz que entra por el agujero incide sobre la línea, en una posición que depende de la altura del Sol a mediodía, y por tanto, del día del año.

Pero si los rayos cruzan la línea exactamente a mediodía, es que la meridiana es también un reloj. ¿Qué precisión tiene este reloj? Para saberlo no sirve esperar a ver si el cruce se produce exactamente a las 12 del mediodía, porque la hora que nos marca la meridiana es la hora solar, que no coincide con la hora oficial. No sólo por el famoso cambio de hora entre verano e invierno, sino porque la hora oficial es la misma en todo un huso horario y la hora solar varía continuamente al desplazarnos  de este a oeste: no es la misma en Venecia, Bolonia o Génova (¡y mucho menos en Madrid, pese a que tenga la misma hora oficial!).

En realidad, el error de este reloj vendrá dado por la precisión con la que consigamos determinar el cruce de la mancha de luz con la línea meridiana. Y aquí es cuando yo, que no puedo evitar ser físico también en vacaciones, entro en modo cuantitativo. Como no tenía una regla, puse en el suelo el plano que llevaba en el bolsillo como referencia e hice esta foto (lo más vertical que pude, para evitar efectos de perspectiva):

EscalaMancha1

El lado largo del plano, casi en contacto con la mancha de luz, mide 21 cm, así que esta es una elipse de aproximadamente 36 x 30 cm. Está muy bien definida, y es muy simétrica, así que yo diría que podemos determinar a ojo si está bien centrada en una línea con un error del orden de 1 cm.

Pero ¿a cuánto tiempo corresponde un centímetro? Tenemos que determinar a qué velocidad se mueve la elipse de luz. Basta con esperar un rato sin mover el plano y tomar otra foto:

EscalaMancha2

Entre las dos fotos han pasado 5 minutos, y la mancha se ha movido una distancia que es más o menos el triple de la longitud del lado largo del plano, o sea, unos 63 cm. Por tanto su velocidad es de 63/5= 12.6  cm/minuto. Vamos a redondearla a 12 para decir que en recorrer 1 cm tarda aproximadamente 1/12 de minuto, es decir, 5 segundos. Ese es el error en la determinación del mediodía con esta meridiana.

Hoy puede parecernos mucho, pero cuando Giovanni Domenico Cassini la construyó, en 1655, la meridiana de San Petronio era el reloj más preciso del mundo, y con mucha diferencia: lo habitual era que los relojes mecánicos de entonces se adelantaran o atrasaran unos 15 minutos al día. Justo al año siguiente Christiaan Huygens inventaba el reloj de péndulo, que fue una revolución en la medida del tiempo: en lugar de 15 minutos, su error era del orden de 15 segundos al día… ¡pero todavía era mayor que el de la meridiana de Bolonia!

Todavía podemos aprender más de la principal atracción de Bolonia, según Charles Dickens. Será en el próximo post.

Nota: no me pude quedar hasta en San Petronio hasta que la mancha de luz cruzara por la meridiana, pero en las fotos de esta página se ve muy bien.

Malas noticias

No, no voy a hablar del cambio climático o de la guerra de Siria. Me refiero a noticias que son malas en otro sentido: engañosas, chapuceras, ineptas… El tipo de noticias que el blog Malaprensa (que realiza un impagable servicio público) viene analizando desde hace años.

Una de las razones que me motivó a crear el Curso de Humanidades “Ciencia para pensar mejor”, que acaba de comenzar su tercera edición, es encontrarme una y otra vez con este tipo de malas noticias. Lejos de remitir, la chapuza parece extenderse cada vez más, no ya en los dominios sin ley de twitter, sino muy a menudo en la prensa supuestamente seria. Por eso es más necesario que nunca estar en guardia y tener las herramientas intelectuales para no picar en el anzuelo. Ese es uno de los objetivos del curso.

Un ejemplo, de hace cuatro días. Leo en la página de portada de El Mundo este titular:

ElMundo1.PNG

¡Qué barbaridad! Pero ¿qué nos encontramos en el cuerpo de la noticia? Ahora el titular es distinto:

ElMundo1b

Y he aquí unos párrafos seleccionados:

ElMundo2

Así que lo que ha ocurrido realmente es que una web (que no hay manera de encontrar con los datos del artículo) ha recabado testimonios sobre el acoso en arqueología, y el 50% de las participantes voluntarias dicen haber sufrido acoso. ¿Es una muestra representativa? Yo diría que no… Y si la muestra no es representativa, la encuesta no sirve para nada.

¿Cuál es el problema? Que si hacemos un titular ajustado a la verdad nadie va a picar (quiero decir, a hacer click). En realidad, no hay noticia: podríamos hablar, quizá, de una no-noticia, que es uno de los géneros de las malas noticias.

Pero una vez lanzada la no-noticia, da mucho juego: además de los clicks en la web de El Mundo (que se traducen en dinero de publicidad), está el sinfín de comentarios al final de la página, con los que los lectores se desahogan lanzándose improperios, la tormenta que se desata en twitter, la opinión de algún tertuliano en la TV…. etc: ruido, que es de lo que se trata.

Esto es un ejemplo, escogido casi al azar. Seguro que ustedes pueden encontrar muchos más. Es un buen ejercicio para empezar a entender nuestro ecosistema informativo.

Galileo y las montañas de la Luna

Es probable que los seguidores de este blog no se hayan dado cuenta, pero Las ideas de la ciencia, el curso de humanidades de la Carlos III en el que tuvo origen De Tales a Newton (el libro), está ahora impartiéndose y por eso hay mucho movimiento de comentarios en las páginas del curso.

Ayer, discutiendo los pros y los contras de los modelos modelos astronómicos de la Antigüedad, expliqué que el modelo heliocéntrico de Aristarco (que se anticipó 1800 años a Copérnico) nos resulta hoy muy atractivo, pero en su época era inverosímil físicamente. Sin embargo, tenía un punto fuerte desde el punto de vista filosófico: no tenía hipótesis ad hoc. En el modelo de epiciclos, por el contrario, la posición del Sol debía estar sincronizada de una manera peculiar con los centros de los epiciclos (en Mercurio y Venus) o con la dirección del planeta visto desde el centro del epiciclo (en Marte, Júpiter y Saturno).

PlanetaInterior

Planeta interior (Mercurio o Venus) en el modelo de epiciclos. El Sol (S) tiene que estar alineado con el centro del epiciclo (C), pero la distancia está indeterminada.

PlanetaExterior

Planeta exterior (Marte, Júpiter o Saturno) en el modelo de epiciclos. El Sol está en la dirección indicada por la flecha, paralela a la línea que va del centro del epiciclo (C) al planeta (P), a una distancia indeterminada.

Estas condiciones sobre la posición del Sol se imponían sin que hubiera ninguna razón en el modelo, más allá de que eran la única manera de ajustar las observaciones: un caso de hipótesis ad hoc.

que es esa cosa llamada ciencia

Pero para explicar lo que es una hipótesis ad hoc, el mejor ejemplo es seguramente éste, sacado del excelente libro de Alan Chalmers ¿Qué es esa cosa llamada ciencia? Un ejemplo que nos trae, además, al mejor Galileo en acción:

Después de haber observado la Luna cuidadosamente a través de su recién inventado telescopio, Galileo pudo informar que la Luna no era una esfera lisa sino que su superficie estaba llena de montañas y cráteres. Su adversario aristotélico tenía que admitir que las cosas parecían ser de ese modo cuando por sí mismo repitió las observaciones. Pero las observaciones amenazaban a una noción fundamental para muchos aristotélicos, a saber, que todos los cuerpos celestes son esferas perfectas.

El rival de Galileo defendió su teoría frente a la aparente falsación de una manera evidentemente ad hoc. Sugirió que había una sustancia invisible en la Luna que llenaba los cráteres y cubría las montañas de tal manera que la forma de la Luna era perfectamente esférica. Cuando Galileo preguntó cómo se podría detectar la presencia de la sustancia invisible, la réplica fue que no había manera de poderla detectar.

Así pues, no hay duda de que la teoría modificada no producía consecuencias comprobables y de que, para un falsacionista, era completamente inaceptable. Galileo, exasperado, fue capaz de mostrar lo inapropiado de la postura de su rival de una manera característicamente ingeniosa. Admitió que estaba dispuesto a admitir la existencia de la sustancia invisible e indetectable en la Luna, pero insistió en que dicha sustancia no estaba distribuida tal y como sugería su rival, sino que en realidad estaba apilada encima de las montañas de modo que eran varias veces más altas de lo que parecían a través del telescopio. Galileo fue capaz de superar a su rival en el inútil juego de la invención de ardides ad hoc para proteger las teorías.

El mirador y la forma de la Tierra

Hay lugares desde los que se divisa un panorama privilegiado, miradores que atraen a los turistas y que incluso se señalan en los mapas con un símbolo propio. Aquí tienen, por ejemplo, el mapa Michelin de los alrededores de Granada:

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Ahí están esas rayitas azules que salen del Pico Veleta, y también de un punto unos km antes en la carretera. A veces lo que hace que la vista sea especial es el paisaje del entorno, pero más a menudo es la lejanía de los horizontes lo que nos atrae. Así, leemos en la Wikipedia sobre el mirador del Veleta que “la vastísima panorámica que ofrece es realmente impresionante (…) Si las condiciones meteorológicas acompañan puede contemplarse gran parte de la provincia de Jaén y sus sierras Mágina, Cazorla y hasta Sierra Morena (…) e incluso el Peñón de Gibraltar” Estos miradores tienen siempre una cosa en común: son lugares altos (el Pico Veleta está a 3395 m sobre el nivel del mar). Una obviedad, pensará el lector: ¡Pues claro que vemos más lejos si nos subimos más alto! No tan deprisa. ¿Realmente es obvio que desde más alto tenemos que ver más lejos? Durante casi toda la historia de la humanidad se ha pensado que la Tierra es plana: eso sí que es evidente. Y sin embargo, en una Tierra plana ¡se vería igual de lejos desde el balcón de un primer piso que desde lo alto del Pico Veleta! En realidad, “si las condiciones meteorológicas acompañan”, claro, como bien dice la Wikipedia… ¡se vería hasta el fin de la Tierra!

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

Se dice a menudo que una prueba de la esfericidad de la Tierra es que cuando un barco se aleja en el mar, desaparece primero el casco, luego el mástil, y al final la bandera, según se va hundiendo en el horizonte. Es cierto, pero en lo que no se suele caer es en que la cosa es más sencilla: la misma existencia del horizonte (es decir, de una línea en la que se acaba nuestro campo visual) es una demostración de que la superficie de la Tierra se curva. Y el hecho de que ese horizonte esté a la misma distancia en todas direcciones (siempre que el suelo sea plano, como pasa en al mar), demuestra que la curvatura es la misma en todas direcciones: vivimos en una esfera. Recuérdenlo cada vez que vean esas rayitas azules en los mapas de Michelin…