Categoría: Enseñanza

Cómo tener una universidad tan buena como la holandesa

El Mundo dedica hoy un extenso artículo a las universidades holandesas. Lo titula así: “El ‘pleno al 13’ de Holanda: así coloca todas sus universidades entre las mejores del mundo”.

¿Y por qué son tan buenas las universidades holandesas? Leo nada más empezar que es “un sistema que se ha deshecho hace tiempo de la teoría para pasar a la práctica” , y me quedo un poco perplejo. Pero unas líneas más abajo doy con la clave:

Este país tiene claro que la Educación es un pilar fundamental, por eso le destina anualmente el 5,9% del presupuesto general, frente al 5% que le dedica España, un Estado con el triple de población.

Parece ser que la periodista sugiere que, como nuestra población es triple, deberíamos dedicar un porcentaje triple. De donde se deduce que los Estados Unidos, cuya población es 17 veces mayor que la de Holanda, debería dedicar a la Educación un porcentaje de 5,9*17=100%.

¡Menos mal que tenemos periodistas que saben cómo arreglar la educación en España!

Presentación del curso “Ciencia para pensar mejor”

Creo que nadie puede discutir que el occidente del S XXI somos  la sociedad más instruida de la historia. Nunca se han pasado tantos años en el colegio. En España la enseñanza es obligatoria nada menos que hasta los 16 años, lo que supone pasar diez, los años en los que somos más receptivos y despiertos, dedicados íntegramente a aprender.

Y sin embargo, basta asomarse a la televisión para dudar de la eficacia de todos esos años de instrucción: la telebasura acapara las audiencias, y si nos refugiamos en los únicos programas en los todavía se valoran los conocimientos, los concursos, nos encontramos cosas como ésta:

O como esta otra (para que nadie piense que la ignorancia más supina de la historia sólo es un problema  español):

Podríamos multiplicar los ejemplos de analfabetismo funcional, incluso en los medios escritos (echen un vistazo al magnífico blog Malaprensa, donde se encontrarán perlas como ésta o esta otra).

Pero el problema es más grave. No se trata sólo de una simple falta de conocimientos sino de algo peor: una extendida incapacidad para pensar con un poco de rigor y sentido crítico.

Es aquí donde se revela con más crudeza el fracaso del sistema educativo, porque para lo que debería servir la enseñanza es precisamente para aprender a pensar. Sobre todo la enseñanza de las ciencias, porque a diferencia de otras materias que pueden ser más memorísticas (la historia, por ejemplo) para dominar la física y las matemáticas es imprescindible entenderlas, y para eso hay que pensar. Pero mi experiencia como profesor en la universidad es que eso es precisamente lo que no han aprendido los alumnos en la ESO y el bachillerato: no se enseña a los alumnos a pensar.

La ciencia se presenta como un conjunto de resultados, dogmáticamente, memorísticamente, en vez de insistir en que si no entiendes el porqué no sabes nada: sólo sabes un nombre, y eso no es saber nada sobre la cosa. Así lo explicó el incomparable Richard Feynman:

Por ejemplo, la Tierra es redonda, pero ¿Cómo lo sabemos?¿Y cómo sabemos que se mueve?¿Cómo me convenceríais si yo fuera un escéptico? Este tipo de preguntas las hago habitualmente en el curso “De Tales a Newton”. Impartirlo muchos años, y llevar muchos años dando clase de física en la Universidad, me ha dejado con la frustración por lo poco que se enseña a pensar y con las ganas de hacer algo para corregir este problema. Eso es lo que me ha motivado a plantear este curso.

Más en concreto, una de las motivaciones de este curso para mí es sacarle el jugo a la ciencia en este sentido: aprovechar lo que la ciencia tiene que enseñarnos en el terreno puramente de aprender a pensar. No podemos recuperar el tiempo perdido volviendo a estudiar las cosas como deberían haberse estudiado, pero sí podemos al menos aprender a utilizar mucho de lo que hemos aprendido en la clase de ciencias (por ejemplo: la notación científica o las gráficas xy) como herramientas para pensar mejor. Esta es la primera razón por la que el curso se titula así: Ciencia para pensar mejor.

Hemos dicho que se estudia mucha ciencia pero esa ciencia no suele enseñarnos a pensar. ¿Y qué pasa con los que no sólo hemos estudiado ciencia sino que nos dedicamos a ella? Los que somos científicos sí tenemos muy clara la lección de Feynman; estamos metidos en la ciencia como un proceso y un método, y generalmente sí sabemos utilizar las herramientas que nos proporciona para pensar mejor. Pero tampoco estamos a salvo. Incluso los que nos dedicamos a la ciencia como profesión y la enseñamos en la universidad podemos caer en infinidad de trampas.

De hecho, uno de los resultados más importantes de las últimas décadas en la psicología cognitiva es el descubrimiento sorprendente de que hasta los expertos cometen errores sistemáticos de razonamiento, a veces muy graves. Ahora sabemos que hay ilusiones cognitivas, igual que hay ilusiones ópticas, y ha florecido todo un campo de investigación sobre la irracionalidad humana, al que han contribuido muchos psicólogos. Quizá los que más han destacado son Daniel Kahneman  y Amos Tversky.

kahnemantversky

Tversky falleció en 1996 pero Kahneman está todavía en activo, y recibió el premio Nobel de Economía en 2002. Todo un hito, porque es psicólogo, no economista, pero es que el hecho de que la irracionalidad sea la norma y no la excepción trastoca el supuesto básico de toda la teoría económica clásica: que las personas, cuando actúan como agentes económicos, se comportan como seres racionales (que buscan maximizar el beneficio propio). Ahora ha nacido una nueva ciencia, a mitad de camino entre la psicología y la economía, que se llama “economía conductual” y busca explicar la economía teniendo en cuenta cómo se comporta realmente la gente.

De modo que la ciencia hoy nos puede enseñar mucho sobre los errores que cometemos al pensar, y por tanto ayudarnos a evitarlos. Esa es la segunda razón por el que el curso se titula Ciencia para pensar mejor.

Hay una tercera razón. Hemos hablado de lo que nos pueden aportar las herramientas de la física o las matemáticas, y los contenidos de la psicología cognitiva. Pero también podemos aprender mucho de la ciencia en otro sentido: no de tal o cual ciencia en concreto, sino de la ida de método científico en general. Lo que hace que la ciencia sea ciencia es su método, y el método científico es, en cierto modo, una técnica para pensar mejor. Así que aquí repasaremos algunas nociones básicas de filosofía de la ciencia para ver qué podemos aprender de ellas. Y esa es la tercera razón por la que el curso se titula Ciencia para pensar mejor.

En resumen, este es el planteamiento del curso:

pensarmejor

Iremos contando por aquí lo que nos dé tiempo… que desgraciadamente no será mucho.

Confesiones de un profesor de física: Eric Mazur

Esta conferencia de Eric Mazur debería hacernos pensar a todos los profesores de física. No es un gurú pedagógico, sino uno de los nuestros.

(Sólo tiene los subtítulos automáticos, pero se entiende muy bien su inglés.)

Muchas cosas de las que dice las hemos vivido todos. Y otras las sospechábamos. Por ejemplo, cuando explica (en t=13’13”) el resultado de un estudio que comparó el aprendizaje de alumnos de distintos profesores, clasificados por su competencia:

¿And you know what? No difference. No difference between the award-winning teacher and the winner who scores extremely low at the end of the semester. In other words, it does not make any difference what we do in front of our students: they learn next to nothing. Well, I felt challenged.

Este tipo de cosas le llevaron a concebir la peer instruction (enseñanza por pares, aquí su web). Si me lo contara un gurú pedagógico desconfiaría, pero a Eric Mazur sí le creo.

(Con mi agradecimiento a Pedro Ramos que me lo descubrió en un comentario)

Emulando a Galileo… con el móvil.

Hace 400 años hizo falta un genio como Galileo para demostrar la ley de caída de los cuerpos. Tuvo que superar muchas dificultades, algunas conceptuales (había que dejar de ver el mundo con los ojos de Aristóteles) y otras experimentales (no es nada fácil tomar medidas de la caída libre de un cuerpo: ¡todo ocurre demasiado deprisa!).

Para retardar la caída, Galileo tuvo la idea de usar una bolita rodando por un plano inclinado. Aun así, no podía medir velocidades, y ni siquiera valores absolutos de los tiempos, sólo medir (más o menos) los espacios recorridos en tiempos iguales. Consiguió demostrar, de todos modos, que el espacio recorrido aumenta proporcionalmente al cuadrado del tiempo, y que esto significa que la velocidad aumenta en proporción al tiempo. Es decir, que se trata de lo que hoy llamamos un movimiento uniformemente acelerado.

Hemos progresado mucho desde los tiempos de Galileo. En el bolsillo llevamos un instrumento científico de una precisión con la que él no pudo soñar: el teléfono móvil.  ¿Podríamos usarlo para demostrar lo que a él le costó tanto esfuerzo? La respuesta es que sí, y que ni siquiera necesitamos plano inclinado. Podemos grabar la caída libre de una pelota y verificar que el espacio recorrido aumenta en proporción al cuadrado del tiempo. Y resulta incluso que, con un poco de ingenio, podemos medir casi directamente la velocidad, y comprobar que aumenta en proporción al tiempo. Este es el trabajo que propuse hace ya más de tres meses a los alumnos de 2º de la ESO del PEAC de Madrid Este (ver este post). Ya era hora de que lo contara aquí.

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Hemos utilizado el vídeo que ya colgué en su día:

La idea es extraer de la película los fotogramas uno a uno y a partir de ellos, sacar la posición de la pelota en función del tiempo.

El proceso, cuando ya se tienen los fotogramas, se explica en este guión. Pero extraer los fotogramas no es tan sencillo como pudiera parecer. La mayoría de los reproductores de vídeo para PCs no lo permiten, y alguno muy popular que sí lo hace (VLC Media Player) no lo hace bien: se salta fotogramas sin avisar y eso es un desastre para nuestros propósitos. Programas profesionales como Matlab lo hacen perfectamente, pero no están al alcance de cualquiera… Finalmente, encontré la solución con GOM Player, un reproductor de vídeo de software libre que extrae sin ningún problema los fotogramas (se explica en el último apartado del guión).

Una vez que tenemos los fotogramas, ¿cuál es el intervalo de tiempo entre ellos? Para algunos formatos de vídeo, lo podemos saber desde el explorador de Windows: con el botón derecho del ratón, elegimos “propiedades”, la pestaña “detalles” y encontramos, por ejemplo, “Velocidad fotograma: 25 fotogramas/segundo”. Tenemos entonces 1/25 = 0,04 s entre cada fotograma. Pero con otros formatos esa información no aparece, por ejemplo, con archivos mpg como la grabación original que utilicé. En ese caso, GOM Player viene al rescate: en el menú, elegimos “información del archivo que se está reproduciendo” (o hacemos Cntrl+F1) y en “información de archivo” encontramos “Frame Rate”, y el número de fotogramas por segundo (fps).

A partir de aquí, se trata sólo de medir sobre los fotogramas las posiciones de la pelota. Con dos marcas en el fondo de la imagen, separadas una distancia conocida (en nuestro caso, 10 cm), podemos hacer la conversión de píxeles a cm. Para facilitar las cuentas, he creado una hoja de cálculo Excel: Caída libre PEAC.xls, donde introduciendo los datos se hace la conversión a cm y la gráfica que muestra la posición frente al tiempo.

¿Y qué hay de medir directamente la velocidad? Lo podemos hacer porque la pelota sale “movida”: se ve como una mancha alargada, tanto más cuanto más deprisa va, debido a que la cámara obtiene los fotogramas con un cierto tiempo de exposición. Hay un único problema: no sabemos cuál es ese tiempo. En el archivo Excel he hecho una pequeña trampa, estimando el tiempo de exposición a partir de la aceleración (medida del ajuste de las posiciones).

Para quien quiera repetir por sí mismo la toma de datos, a partir de las imágenes de mi vídeo, he dejado los fotogramas ya extraídos aquí. Pero lo mejor es realizar todo el proceso uno mismo, con el móvil que lleva en el bolsillo: ¡Cuánto hubiera dado Galileo por poder hacerlo!

¿No será usted aristotélico sin saberlo? (y II)

Monsieur Jourdain, el burgués gentilhombre de Moliere, se quedó muy sorprendido al saber que hablaba en prosa: seguramente pensaba que con ese nombre la “prosa” debía ser un género literario exótico, y no la manera de hablar común y corriente.

No hace falta saber qué es la prosa para hablar en prosa. Y no hace falta saber quién fue Aristóteles para pensar aristotélicamente, porque resulta que es la forma de pensar común y corriente.

En la clase de física nos dicen que para que un cuerpo se mueva no hace falta que actúe ninguna fuerza sobre él: es la primera ley de Newton. Y que si actúa una fuerza sobre él, lo que hace es acelerarlo: segunda ley de Newton. Esto puede parecer bien sobre el papel, pero no casa con la realidad. En el supermercado nos pasamos la tarde empujando el carro… y no vemos que se acelere como dice Newton. Imaginemos un carro de 40 kg, al que empujamos con una fuerza de sólo 10 Nw (la necesaria para sostener un cartón de un litro de leche). La aceleración según Newton sería F/m=10/40=0.25 m/s2, lo que significa que en media hora (1800 s) tendríamos una velocidad de 1800·0.25=450 m/s: ¡habríamos roto la barrera del sonido!

Lo que experimentamos en el supermercado, y prácticamente en todas partes, no se corresponde con la física de Newton sino con la de Aristóteles, que decía que la acción de una fuerza constante produce una velocidad constante. Con nuestros 10 Nw de fuerza mantenemos el carrito a una cierta velocidad, y si empujamos más fuerte, va más deprisa. Nuestra impresión es que la fuerza es proporcional a la velocidad que se consigue.

¿Por qué no superan la velocidad del sonido al cabo de un rato largo?

Vemos así que, en primera aproximación, la física de Aristóteles se parece a la de Newton poniendo “velocidad” donde él pone “aceleración”. Podríamos incluso formular dos leyes de la dinámica de Aristóteles, análogas a las de Newton:

  • Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza permanece en reposo (velocidad=0).
  • Un cuerpo sobre el que actúa una fuerza de mueve con una velocidad proporcional a esa fuerza.

(Aristóteles añadía a la segunda ley el detalle de que para que un cuerpo empiece a moverse, la fuerza que actúe sobre él debe superar un cierto valor umbral, “porque si no fuera así, un hombre podría mover un barco, sólo que con una velocidad extremadamente pequeña”).

Las leyes de Aristóteles no sólo explican muy bien nuestra experiencia empujando el carro del supermercado, sino muchas otras: cuando corremos, nuestro esfuerzo parece, al menos dentro de unos límites, proporcional a la velocidad constante que alcanzamos; conduciendo, el coche va a una velocidad constante que parece proporcional a la potencia que desarrolla el motor, etc. Lo que nunca vemos es que con un esfuerzo o potencia constante vayamos cada vez más y más deprisa. Para acelerar el coche, hay que pisarle. Y por mucho que le pisemos durante mucho tiempo, no rompemos la barrera del sonido: necesitaríamos más potencia, de acuerdo con la idea de que la velocidad es proporcional a la fuerza.

Aunque no hayamos formulado conscientemente estas experiencias y nadie nos haya hablado de las leyes de Aristóteles, sino, al contrario, de las de Newton, lo cierto es que hemos interiorizado la física aristotélica porque así es como funciona el mundo en nuestra experiencia cotidiana: con la “velocidad” haciendo lo que Newton dice que hace la “aceleración”.  Y así llegamos a la pregunta de nuestro test de aristotelismo, que reproduzco aquí ya con los resultados (para las 81 respuestas que había en el momento de escribir esto):

Un balón es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 5 m/s. En su posición más alta, el balón…

  1. Tiene aceleración cero [17%]
  2. Tiene una aceleración de 9.8 m/s2 hacia abajo [58%]
  3. Tiene una aceleración de 9.8 m/s2 hacia arriba [0%]
  4. Tiene una aceleración instantánea de 0, que rápidamente pasa a ser 9.8 m/s2 [25%]
  5. Cambia su aceleración de 9.8 m/s2 hacia arriba a 9.8 m/s2 hacia abajo [0%]

La respuesta correcta (newtoniana) es la 2: el balón está sometido a la aceleración de la gravedad, que vale, para todos los objetos, 9.8 m/s2 hacia abajo, independientemente de su masa, estado de movimiento, etc.

La respuesta 3 es absurda, así que no es extraño que no haya cosechado ningún voto. Las otras tres opciones, sin embargo, son más interesantes. La velocidad del balón vale instantáneamente cero en el punto más alto de la trayectoria, donde cambia de sentido. Así que las opciones 1, 4 y 5 (salvo los valores numéricos) serían correctas o casi correctas si cambiáramos “aceleración” por “velocidad”, como tendería a hacer un aristotélico. Sumando el 17% de la opción (1) y el 25% la opción (4), alcanzamos un respetable 42% de respuestas aristotélicas.

Quizá lo más curioso de este resultado es que es casi idéntico al que obtuve cuando hace tres años planteé la misma pregunta a los alumnos de primero de ingeniería mecánica en el primer día de curso. Las respuestas (para una muestra de 99) fueron así: 1=14%, 2=54%, 3=0%, 4=27%, 5=5%: un 46% de aristotélicos.

En resumen: entre los alumnos que empiezan una carrera de ingeniería y entre los inteligentes lectores de este blog, la física aristotélica sigue disputándole la primacía a la física newtoniana, a pesar de que sin duda ambos grupos han estudiado más de un curso de mecánica. No me cabe duda de cuál sería el resultado si preguntáramos a un público sin estudios científicos.

Después de más de dos mil trescientos años y de un número incalculable de planes de estudio, Aristóteles sigue vivo.

¿No será usted aristotélico sin saberlo? (I)

Ahora tiene la ocasión de comprobarlo con este sencillo test. Elija la respuesta correcta (y no se lo piense demasiado, que es muy fácil):

La solución en los comentarios… cuando pasen unos días.

¡Mas problemas difíciles!

La historia se repite, y en estos tiempos acelerados de internet se repite con tanta rapidez que se convierte en un presente continuo. Si hace unos días hablábamos del dificilísimo problema del cocodrilo que cayó en la “selectividad” escocesa, ahora tenemos a la prensa informando sobre otro caso análogo, pero en Australia (ver por ejemplo The Independent y The Telegraph).

De nuevo están los estudiantes clamando en twitter contra un problema dificilísimo: el de la moneda de 50 centavos. Aquí está el enunciado:

VCEMaths

¿Cuál es el ángulo \chi cuando las dos monedas están colocadas así?

La cosa tiene su gracia porque, como ven, es una pregunta tipo test, con un dibujo hecho a escala… y a ojo debería verse que el ángulo es más de 45º, mientras que 72º seguramente parece mucho. En fin, que sólo sabiendo qué pinta tienen los ángulos ya se podría responder bien.

Pero naturalmente puede demostrarse. Aquí dan esta explicación:

En una moneda de 50 céntimos hay 12 lados, así que cada ángulo exterior es 360/12 = 30 grados. El ángulo en cuestión es la suma de dos ángulos exteriores (uno por cada moneda) así que es 2 x 30 = 60 grados.

Correcto, pero no me gusta porque usa el concepto de “ángulo exterior” y ¿quién recuerda eso del colegio? En realidad basta con cosas más sencillas:

50cents1

  • El polígono regular de 12 lados está formado por 12 triángulo unidos por el vértice, como el del la figura, así que el ángulo de ese vértice es \alpha=360/12=30^{\circ}
  • Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el otro ángulo es \beta=(180-30)/2=75^{\circ}
  • Y ahora no hay más que mirar al dibujo para ver que dos \beta de una moneda más otros dos \beta de la otra moneda, más nuestro ángulo incógnita \chi suman 360º. Y si 4\beta+\chi=360^{\circ}, tiene que ser \chi=60^{\circ}

50cents2

La verdad es que protestar por este problema tiene menos excusa (aún) que protestar por el del cocodrilo. Pero toda esta plaga de indignación estudiantil, y el eco que se hacen los periódicos de ella, nos dice muchas cosas interesantes sobre cómo se enseñan las ciencias en el colegio. Por si alguien todavía creía que se enseña a los alumnos a pensar

(Gracias a Celeste, que me pasó la noticia)

El cocodrilo reconsiderado

Terminamos el post anterior diciendo que el problema del cocodrilo, bien entendido, tiene también su interés desde el punto de vista físico. Vamos a ello.

Como vimos, en el enunciado nos dicen que el tiempo para ir de C (cocodrilo) a Z (cebra) por el camino marcado es:

t(x) = 5 \sqrt{36 + x^2} + 4(20-x)

Cocodrilo_1

¿De dónde sale esta fórmula? Nos la dan gentilmente, así que para resolver el problema no hace falta preguntárselo: la aceptamos y punto. Pero la actitud científica consiste precisamente en no limitarse a aceptar las cosas y punto. Así que, ¿de dónde sale la fórmula?

Si el cocodrilo va a velocidad constante v_A por el agua y v_T por tierra, y las distancias respectivas que recorre son d_A y  d_T, el tiempo que tardará será:

t=\frac{d_A}{v_A} + \frac{d_T}{v_T}

Pero a la vista del dibujo, y usando el teorema de Pitágoras para calcular d_A, tenemos que el tiempo, en función de la distancia x, es:

t(x)=\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v_A} + \frac{20-x}{v_T}

Y basta con comparar con la ecuación del enunciado para ver que y=6, v_A=1/5, v_T=1/4. Las unidades de la distancia son metros y las de las velocidades, metros por décima de segundo, así que tenemos que v_A= 2 m/s y v_T = 2,5 m/s.

Ahora empezamos a entender dónde está la gracia del problema. Si el cocodrilo fuera más rápido por agua que por tierra, estaría muy claro lo que tiene que hacer: ir en línea recta. Pero como va más rápido por tierra, puede interesarle dar un pequeño rodeo, recorriendo parte del trayecto por la orilla opuesta: la longitud total recorrida será mayor, pero  puede que el tiempo sea menor. Y ahora no es nada evidente cómo tiene que dar el rodeo: tenemos un problema de optimización.

Lo mismo ocurriría en el caso más general de que la cebra no estuviera a la orilla sino más hacia el interior. Este caso es completamente análogo al del clásico problema del socorrista que ve desde la playa que un bañista se está ahogando.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible. Los ángulos los necesitaremos luego. De momento, llamamos con el subíndice 1 a todo lo que está a la derecha y con 2 a todo lo que está a la izquierda.

¿Qué tiene que hacer para llegar lo antes posible? Teniendo en cuenta que el socorrista, como el cocodrilo, corre más deprisa que nada, la mejor estrategia no será ir en línea recta. Conviene correr por tierra el todo lo posible… o quizá no: si corremos hasta p’, enfrente del bañista, probablemente estemos alargando demasiado nuestro recorrido, alejándonos demasiado de la recta. Seguramente lo mejor será un compromiso entre velocidad rápida y recorrido corto, un punto como p, que dependerá de la proporción entre las velocidades del socorrista cuando corre y cuando nada.

Cuál es ese compromiso no es nada evidente, pero aquí entra en juego la magia del cálculo diferencial, que nos dice que el tiempo mínimo se consigue cuando la derivada de ese tiempo es cero. Con más precisión: tenemos que escribir una fórmula que nos de t en función de la posición de p (es decir, en función de x1), y el valor de  x1 que haga que la derivada sea cero será el valor para el que t es mínimo.

¡Manos a la obra! A la vista del esquema está claro que:

t=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}{v_2}=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(h-x_1)^2 + y_2^2}}{v_2}

ya que x_2 = h-x_1. Derivando e igualando a cero:

\frac{d t}{d x_1} = \frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} - \frac{h- x_1}{v_2 \sqrt{(h-x_1)^2 +y_2^2}} =0

y sustituyendo ahora h-x_1=x_2,

\frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} = \frac{x_2}{v_2 \sqrt{x_2^2 +y_2^2}}

Pero
\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 +y_1^2}}= sen \theta_1 y \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2 +y_2^2}}= sen \theta_2

así que la condición que cumple el punto p podemos ponerla de esta manera:

\frac{sen \theta_1}{v_1} = \frac{sen \theta_2}{v_2}

¡Un resultado realmente sencillo! Pero lo mejor de todo es que es un resultado muy conocido: ¡es justamente la ley de Snell de la refracción de la luz! El camino que debería recorrer el socorrista es el camino que recorre la luz cuando atraviesa la intercara entre dos medios en los que se propaga a diferente velocidad.

Fue el genial Pierre de Fermat (el del último teorema) quien estableció que…”El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo“. Una idea de una suprema elegancia, de la que habría mucho que hablar… pero ya basta por hoy: no dirán que no nos ha llevado lejos el cocodrilo, ¿no?

*

Propina: El lector que no se haya aburrido todavía puede comprobar por sí mismo que el caso del cocodrilo (que está situado justo en la orilla, es decir, en la intercara entre los dos medios) se corresponde justamente con lo que en óptica se llama reflexión total, en concreto al caso de ángulo crítico. Curioso que la caza de cebras, o el rescate de bañistas, resulten ser análogos a la óptica de los prismas, ¿verdad?

¿De verdad es trivial el problema del cocodrilo?

En el post anterior despaché el problema del cocodrilo diciendo que era “una trivialidad” y eso no es del todo justo, por dos razones bien diferentes.

Cocodrilo_enunciado1

La primera es que hay dos cosas en el enunciado que pueden dar lugar a confusión. Una, que el dibujo no está del todo claro: puede entenderse que las distancias se miden desde el cocodrilo, en vez de desde el punto que está enfrente, en la orilla opuesta. Habría sido mejor un esquema más simplificado, como éste:

Cocodrilo_1

Esquema simplificado para el problema del cocodrilo (C) y la cebra (Z). Hemos llamado “y” a la anchura del río.

Otra pega del enunciado es que empieza llamando x a la distancia para la que se minimiza el tiempo…

Cocodrilo_enunciado2

…y a continuación se da una fórmula para el tiempo en la que x es un punto genérico:Cocodrilo_enunciado3

Esto puede inducir a confusión, pero ¿es suficiente para disculpar a los alumnos que encontraron el problema “devastador”? Sólo en parte, porque cualquiera que esté acostumbrado a hacer problemas interpretará estos puntos dudosos de la manera correcta sin dudarlo.

Llegamos aquí a una cuestión importante que suele ignorarse: entender un enunciado no es tan simple como pudiera parecer. Siempre hay muchos convenios implícitos que son obvios para el experto pero no para el novicio. El recién llegado a la física es como Paco Martínez Soria cuando llega a Madrid en “La ciudad no es para mí”. Viene de una cultura diferente y tiene que aprender un montón de cosas que son transparentes para los lugareños, hasta el punto de que éstos no se dan cuenta de que haya nada que aprender y es fácil que lo tomen por tonto.

A la hora de poner un problema, el profesor que sea consciente de esta dificultad “cultural” puede querer explicitar todo al máximo para que no haya malentendidos. Pero entonces el enunciado será demasiado farragoso y algunos no lo entenderán precisamente por eso. El dilema no se puede resolver, pero se debería disolver con el tiempo, según el alumno vaya haciendo suyos los usos y costumbres de la física. Mientras, todo lo que cabe hacer es estar alerta y cuidar al máximo la claridad, pensando y repasando una y otra vez los enunciados, puliéndolos como el poeta pule sus versos.

Siendo como soy consciente de lo difícil que es escribir un buen enunciado, puedo disculpar a los redactores del problema del cocodrilo… pero tengo que reconocer que pudieron hacerlo mejor.

Hay otro sentido en el que el problema del cocodrilo no es trivial, un sentido que tiene más interés desde el punto de vista puramente físico. Pero lo vamos a dejar para el siguiente post.