Categoría: La Tierra

Del mapa al calendario

Lector: Quería preguntarle una cosa

Autor: Hombre, lector, hacía tiempo que no se pasaba por aquí. ¿De qué se trata?

L.: Verá, un amigo mío me ha pasado esta imagen y me ha preguntado si sería capaz de decir a que día del año corresponde y qué hora es en Madrid. Y tengo alguna idea, pero me parece que no se puede saber con tanta precisión como él dice.

A.: ¿Con qué precisión dice?

L.: Por lo visto se lo han preguntado en un examen, y le pedían el mes y la hora aproximada.

A.: Sí, eso es fácil. Saber el día exacto no, pero para saber el mes no hay problema. Y la hora, si es aproximada, también. En realidad, la hora se puede saber con bastante precisión.

L.: Pues ya me explicará cómo. Yo con esta imagen lo único que puedo decir es que es invierno y que es más o menos a media tarde…

A.: ¿Cómo lo sabe?

L.: Es invierno… bueno, voy a ser más preciso: es invierno en el hemisferio norte porque en el Polo Norte es noche perpetua. Y es más o menos a media tarde porque veo que ya es de noche en Turquía, así que en dos o tres horas se hará de noche en España.

A.: No está mal. Mucha gente no se habría dado cuenta de lo de la noche perpetua en el Polo…

L.: Eso es fácil, porque las distintas longitudes (es decir más o menos a la izquierda o la derecha en el mapa) corresponden a horas distintas, y aquí se ve que para todas las posiciones el Polo Norte está en oscuridad.

A.: Pero con eso que ha dicho ya puede precisar más: la extensión completa del mapa en horizontal son 24 horas, así que podemos ver cuantos píxeles corresponden a una hora. El tamaño de la imagen es 605×301, así que si 24 horas son 605 píxeles, 1 hora son 25,2 píxeles.

L.: Ya veo. Eso me sirve para saber diferencias de horas: por ejemplo, voy a mirar cuantos píxeles hay entre Estambul y Madrid… unos 54… dividiendo entre 25,2, sale 2,14: eso serían dos horas y diez minutos de diferencia. Yo había dicho a ojo dos o tres horas, así que no estaba mal, pero veo que se puede hacer con mucha más precisión. Lo que pasa es que esto me sirve para calcular diferencias de hora entre dos lugares, no la hora que es en un sitio concreto.

A.: No se crea: hay una manera de saberlo. Le doy una pista: ¿En qué sitio sería mediodía?

L.: Pues en el punto medio de la zona en la que es de día, claro. En el mapa quedaría más o menos en el Atlántico… bueno, podríamos decir que en el extremo este de Venezuela.

A.:¡Pues con eso ya puede calcular la hora!

L.:¡Claro: ahí son las doce del mediodía! Voy a ver la distancia en píxeles… Me salen justo 100, o sea que la distancia en horas sería 100/25,2, casi cuatro: en Madrid son las 4 de la tarde, hora solar.

A.:¿Y en Estambul?

L.: Hombre, pues unas dos horas más, hemos dicho: las 6 de la tarde, más o menos.

A.: Fíjese que ahí se está poniendo el Sol… Como son horas solares, si se pone a las 6 de la tarde significa que salió a las 6 de la mañana, así que el día ha durado 12 horas.

L.: Bueno, eso no tiene nada de raro, ¿no?

A.: No digo que sea raro, pero fíjese que si el día es igual de largo que la noche, es que estamos en el equinoccio, y usted me dijo que era invierno, ¿no?

L.: Ya estamos buscando problemas… Espere que lo piense. En el equinoccio, la noche y el día son igual de largos en todo el planeta, eso seguro. Pero aquí se ve que las noches son un poco más largas que los días en el hemisferio norte, así que no hay duda de que todavía no es el equinoccio. O para ser más precisos, que estamos en un día entre el solsticio de invierno y el equinoccio. Pero hay dos equinoccios, más o menos el 20 de marzo y el 20 de septiembre. O sea que estamos antes del 20 de marzo y después del 20 de septiembre. Vale, rectifico: puede que no sea invierno, también podría ser otoño.

A.: Pero ¿entonces no estamos en el equinoccio?¿Y por qué en Estambul el día dura doce horas entonces?

L.: Y dale… A ver, esto es un poco aproximado… quizá he medido los píxeles un poco mal. Y, mire, la línea que separa la noche el día es casi vertical salvo cerca del Polo. Eso significa que en casi todas las latitudes la duración del día y la noche es muy parecida, pero desde luego no lo es cerca de los Polos, y desde luego en el Polo Norte es noche perpetua. Supongo que lo que pasa es que no estamos en el equinoccio pero falta muy poco…

A.: Bueno, veo que al final me va a decir el día y la hora exacta…

L.: Pues sí, me voy a atrever. Apuesto a que el mapa corresponde más o menos al 10 de marzo o el 1 de octubre, y que son las cuatro de la tarde, hora solar. ¿Acierto?

A.: Bueno, lo mejor es que lo mire usted mismo en esta web: http://www.skyviewcafe.com. Busque la pestaña “map” y juegue con ella… pero no olvide que que el horario oficial en España va adelantado una hora o dos respecto del solar (según estemos en el “horario de invierno” o en el “horario de verano”, respectivamente).

L.: Ya me podía dar la respuesta directamente… y encima tengo que actualizar el java para que funcione. En fin, que le vamos a hacer.

 

La paradoja del cambio de fecha (y III): Por fin entendemos qué le pasó a Phileas Fogg

A.: ¿Ya tiene una solución para la paradoja del cambio de fecha?

L.: ¡Creo que sí!

A.: Pues adelante…

L.: A ver, le explico. Hay una cosa clara, y es que se produce un cambio de fecha en el punto en el que sea la medianoche, la línea horizontal de trazos de los posts anteriores. Pero también está claro que hace falta otra línea, porque hay que dividir el globo en dos partes (dos fechas) y con una sola línea no lo dividimos. Mi primera idea era poner esa otra línea justo en el extremo opuesto de la medianoche, pero el resultado era un desastre: ¡los días tenían 12 horas y el calendario oscilaba entre dos fechas, sin avanzar nunca!

Pensando sobre el asunto me di cuenta de que el problema es inevitable si la segunda línea de cambio de fecha la ponemos fija en el espacio. Pero desaparece si hacemos que esa línea se mueva con la Tierra.

A.: No suena mal, pero lo tendrá que explicar mejor.

L.: Claro, pero es que me ha interrumpido… sigo. Mi idea entonces es: uso el mismo dibujo del post anterior….

TierraRelojSolucionM

… pero ahora el límite entre las dos fechas que hay a la izquierda en vez de estar fijo debe moverse con la Tierra. Es decir, que siempre estará en el meridiano de 180º de longitud. Para explicarle mejor lo que pasaría he hecho este esquema:

TierraRelojSolucionOK

¿Qué le parece? Como siempre, empezamos por arriba a la izquierda, pero cuando llegamos a la cuarta figura ya ha empezado el 2 de enero, y la siguiente ya no sería igual que la primera, por eso no he puesto la flecha azul de arriba. O mejor dicho, la siguiente sería igual que la primera salvo que las fechas serían un día posteriores. ¡Así consigo que los días duren 24 horas y vayan progresando!¿Qué le parece?

A.: Magnífico: ha descubierto usted la línea internacional de cambio de fecha.  Es la única solución razonable a la paradoja del cambio de fecha. Pero se habrá dado cuenta de que la solución sigue siendo un tanto paradójica, porque desplazarse unos kilómetros cruzando la línea no cambia apenas la hora solar pero cambia un día completo la fecha… y eso a cualquier hora del día: al este de la línea siempre es un día menos que al oeste.

L.: Eso que dice, espere a ver… por ejemplo, si salimos de Londres y viajamos siempre hacia el este (sería movernos en sentido contrario a las agujas del reloj en la figura anterior)…  cuando cruzamos la línea estamos “más al este todavía”… y sí, pasamos del 1 de enero al 31 de diciembre.  Ahora que lo pienso… ¡esto es lo que la pasaba a Phileas Fogg en La vuelta al mundo en 80 días! Ganaba un día al viajar hacia el este y por eso ganaba la apuesta… ¿Sabe que en el fondo nunca lo había entendido hasta ahora?

A.: No me extraña, a mí me pasó lo mismo muchos años. Es de esas cosas que se pueden explicar en una frase y parece que hay que entenderlo enseguida porque si no uno queda como un tonto… pero me gustaría saber cuánta gente que dice “sí, claro” lo entiende de verdad. Por cierto, que la paradoja del cambio de fecha tiene su historia, si quiere puede leerla aquí. Uno de los primeros que lo advirtió fue el genial Nicolás de Oresme, en el siglo XIV, pero se le había adelantado, espere que lo mire… Isma‘il ibn ‘Ali ibn Mahmud ibn Muhammad ibn Taqi ad-Din ‘Umar ibn Shahanshah ibn Ayyub al Malik al Mu’ayyad ‘Imad ad-Din Abu ’l-Fida (1273-1331)

L.: ¡Casi ná! 🙂 Pero oiga, me surge una duda. Ha dicho que el día del año es un convenio (a diferencia de la hora del día), y la propia línea de cambio de fecha es un convenio. Si damos la vuelta al mundo viajando hacia el este ¿ganamos de verdad u día o es una consecuencia del convenio de la línea de cambio de fecha?

A.: Pues… como ya es un poco tarde no se lo voy a contestar, seguro que da con ello en cuanto lo piense un poco. Una pista: el primero que hizo eso fue Juan Sebastián Elcano ¿qué le pasó a él)

La paradoja del cambio de fecha (II): ¿Qué día es en las islas Fiyi?

Lector.: A ver, dónde está esa paradoja que me decía ayer…

Autor.: Pues ahora que he explicado lo que llamé “el reloj terrestre” es sencillo. Fíjese en este dibujo: está claro que por encima de la línea de trazos estamos en una fecha y por debajo en otra. Supongamos que es Nochevieja. La situación sería ésta:

TierraRelojCambioFecha

L.: Está clarísimo: acabamos de comer la uvas en España, en el este de Europa hace un rato que ya están en el 1 de enero y en Canarias falta poco para que llegue el Año Nuevo.

A.: Sí, pero ¿qué pasa si nos alejamos de esa línea? Supongamos que congelamos el tiempo nada más dar las campanadas y nos movemos por el mapa, partiendo desde España y yendo cada vez más al este. Iremos pasando por Italia, Grecia, Rusia…, y cada vez será más tarde: la 1 de la madrugada del uno de enero, las 2, las tres… Cuando estemos en el pacífico, serán ya las 10 de la mañana, las 11… y cuando alcancemos las islas Fiyi, a 180º de longitud, serán las 12 del mediodía. Pero ahora hagamos el recorrido desde la península hacia el este: Canarias, el Atlántico, América… serán sucesivamente las 11 de la noche del 31 de diciembre, las 10, las 9… cuando lleguemos al Pacífico, serán las 2 de la tarde, la una… y cuando alcancemos las islas Fiyi serán las 12 del mediodía.

L.: Bueno, como debe ser, ¿no?: la misma hora que cuando llegamos por el otro lado.

A.: ¡La misma hora pero no el mismo día! Cuando llegamos viajando hacia el este, era siempre el uno de enero (y cada vez más tarde), y cuando viajamos hacia el oeste era siempre el 31 de diciembre (y cada vez más temprano). No sabemos qué fecha es, por eso he puesto un interrogante.

L.: Vaya… ya veo que hay una paradoja. Dos viajeros que hubieran salido a la vez, cada uno en sentido contrario, estarían de acuerdo en la hora pero no en el día…

A.: Eso es, y es que la hora es algo objetivo, determinado por el Sol, pero el día del año es un convenio.

L.: Pues vaya problema… de todos modos, espere, creo que tengo una solución. Como ha puesto en el dibujo, justo encima de la línea de las 0 horas es sin duda 1 de enero. Y justo debajo es sin duda 31 de diciembre. Según nos vamos alejando de ahí, por arriba o por debajo, al principio no hay duda de que sigue siendo el mismo día. En realidad, el problema sólo se plantea en el punto opuesto a las 12 de la noche. ¿Por qué no dividir la Tierra en dos mitades, y hacer que en “la de arriba” sea 1 de enero y en “la de abajo” 31 de diciembre? Una cosa así:
TierraRelojSolucionM

¡Se trataría tan sólo de prolongar la línea de trazos, que marcaba el cambio de fecha, hacia la izquierda! En el punto dónde había puesto el interrogante simplemente lo que pasa es que se cambia de fecha, y ya está arreglado.

A.: Pero piense esto: Imagínese que está en Londres. En el dibujo es medianoche y justo empieza el 1 de enero. Doce horas después, a las 12 del mediodía, la Tierra habría girado 180º y nuestro triangulito cortaría de nuevo la línea de cambio de hora, pero ahora por la izquierda: ¡pasaríamos del 1 de enero al 31 de diciembre! Así que con su propuesta, tendríamos días de 12 horas, y a las doce del mediodía la fecha cambiaría hacia atrás. Estaríamos siempre oscilando entre el 31 de diciembre y el 1 de enero.

L.: ¡Pues sí que la he hecho buena! Debe haber otra solución…

A.: ¿Se la cuento?

L.: ¡No, no me lo estropee!¡Deje que lo piense y se lo cuento en el próximo post!

A.: De acuerdo. Pero no lo busque en internet…

L.: Claro que no: esto es como las películas, odio los spoilers

La paradoja del cambio de fecha (I): La Tierra como reloj

Lector.: El fin de semana que cambiaron la hora me acordé de usted. Pensé que quizá contaría algo en el blog, pero ya vi que no. ¿Y ahora esto del “cambio de fecha”, qué es?

Autor: Pues algo más interesante que el cambio de hora, que al fin y al cabo no es más que un incordio y una cuestión política… Verá, le voy a hacer una pregunta: ¿Cuándo cambia la fecha?

L.: ¿Quiere decir cuándo pasamos de un día a otro?¿Por ejemplo, de martes a miércoles?

A.: Sí, es eso tan sencillo.

L.: Pues hombre, a las doce de la noche, todo el mundo lo sabe.

A.: Pero eso significa que no se cambia de fecha a la vez en todo el mundo, ¿no?

L.: Claro, pero no tiene nada de particular. Por ejemplo, como en Canarias es una hora menos que en la península, cambian de día una hora más tarde. Y de año también: en Nochevieja suelen conectar con Canarias, una hora más tarde de dar las campanadas de la Puerta del Sol en la tele. Lo habrá visto, ¿no?

A.: Sí, claro. Pero lo que me interesa es la regla general: dado un punto, por ejemplo la Puerta del Sol de Madrid, más al oeste siempre es más temprano (como en Canarias) y más al este siempre es más tarde. Por eso el Sol sale antes en Grecia que en España, y a las regiones que están al este se las llama “Levante”, porque es por dónde el Sol se levanta por la mañana…

L.: Hombre, eso último no se me había ocurrido, pero lo que me está diciendo no es ninguna novedad… Lo que todavía no me ha explicado es qué quiere decir con eso de la paradoja del cambio de fecha.

A.: Enseguida llegamos. Antes quería ponerle un dibujo que resume lo que estamos diciendo:

TierraReloj1

Nos podemos imaginar la Tierra como el disco de un reloj, pero que gira en sentido antihorario. La hora en un lugar es la que indican las letras negras: por ejemplo, en Londres, a 0º de longitud, donde hemos puesto el triángulo, sería en este momento justo la medianoche. En Bangladesh, a 90º de longitud este, serían las 6 de la mañana, en las islas Fiyi, con longitud 180º, las 12 del mediodía, y finalmente, en Chicago,  a 90º de latitud oeste, serían las 6 de la tarde, es decir, las 18 horas.

L.: A ver, si entiendo bien el reloj, los rectángulos y el triángulo granates, con las marcas de longitud, giran con la Tierra, y la letras negras están siempre fijas ¿no?

A.: Exacto. Ahora voy a dibujar cómo va cambiando la situación según va pasando el tiempo, cada seis horas. El primer dibujo es el de antes y lo he puesto arriba a la izquierda, luego hay que seguir las flechas:

TierraReloj4

La línea de trazos horizontal en la que pone “24h=0h” es la que marca el cambio de fecha. Está fija en el espacio, y cada vez que un punto de la tierra pasa por ella, cambia el día.

L.: Bonito dibujo, pero eso ya lo sabía. ¿Para esto me está entreteniendo? No hay ninguna paradoja.

A.: Es que es ahora justo cuando llegamos. Pero me va a disculpar, tengo que irme ahora…

L.: Vaya… ¿Pero lo contará en el próximo post, no?

A.: ¡Claro!

Umberto Eco y la Tierra plana

Aquí ya lo hemos dicho más de una vez, pero no está de más insistir porque es uno de los mitos más persistentes sobre la historia de la ciencia: la Tierra nunca ha sido plana.

Bueno, maticemos: este es el titular que puso Umberto Eco a un artículo en La Repubblica. Por supuesto, el planeta Tierra fue esférico desde que se formó, y a lo que se refiere Eco es a nuestras ideas sobre él. Todavía hoy suele pensarse que en la Edad Media todos creían que la Tierra era plana, es más, que la Iglesia lo imponía como dogma de fe, y que por eso Colón tuvo dificultades para que se financiara su viaje.

umberto-eco

No es cierto. Los antiguos griegos habían establecido sin lugar a dudas que la Tierra era esférica, e incluso habían medido su tamaño. Era sobre ese tamaño sobre lo que discrepaban los expertos convocados por los reyes de Portugal y España: para muchos, la Tierra era demasiado grande para que fuera posible un viaje a las Indias por el oeste.

En la Edad Media se perdió mucho del saber clásico, pero nunca se olvidó cuál era la forma de la Tierra. La Iglesia no se opuso a que fuera una esfera, aunque algunos cristianos como Lactancio encontraran la idea absurda. Como nos recuerda Umberto Eco, en el siglo VII San Isidoro de Sevilla, daba un valor para la longitud del Ecuador… y sólo las esferas tienen Ecuador.

Con el redescubrimiento de Aristóteles en el siglo XII ninguna persona instruida podía albergar dudas de que la Tierra era esférica. Otro problema era que toda ella estuviera habitada, y se discutía por eso la existencia de los antípodas (los habitantes de las antípodas), como contamos aquí.

Ningún historiador discute esto, y lo asombroso es que el mito de la Tierra plana siga tan vigente en la cultura popular, hasta el punto de que un periódico como el ABC diga en un gran titular hace unos meses que “Umberto Eco derriba el mito medieval de la Tierra plana”. ¡Todavía esto es noticia!

Esperemos que pronto se traduzca el libro de Eco en el que habla de estas cosas (“La filosofía y sus historias. La Antigüedad y el Medievo”) y los medios nos vuelvan a recordar en España que la Tierra nunca fue plana

[Gracias a Carlos Figueroa, que me pasó el artículo del ABC]

¿Pero no era evidente que la Tierra gira?

(viene del post anterior) ¿Qué es lo que falla en el razonamiento de Aristóteles y de Ptolomeo, que es también el del vilipendiado clérigo saudí?

Cuando un avión vuela, el suelo que tiene debajo se mueve hacia el este a gran velocidad (ya vimos que a 1.666 km/h, si volara sobre el ecuador). A pesar de eso, al avión puede adelantar a la Tierra y volar por ejemplo de Arabia a China, porque cuando estaba en el aeropuerto compartía la velocidad del suelo, que le arrastraba… y cuando despega, a pesar de que pierde el contacto con él, no pierde la velocidad. Así que cuando sus motores aceleran al avión hasta, pongamos, 800 km/h, lo que hacen es añadir 800 km/h a los 1666 que ya tenía (si despegaba del ecuador, a la latitud de Arabia serían unos 1500 km/h).

Que el avión “lleve consigo” su velocidad inicial cuando está en el aire, a pesar de que nadie le arrastra ya, no es precisamente una idea intuitiva. Estamos diciendo que un objeto de 300 toneladas se mueve a 1500 km/h ¡sin necesidad de que nadie lo empuje! (¿Cuántos tuiteros que se mofan del clérigo estarían de acuerdo con esto si lo planteamos así? Me imagino los sarcasmos: “claro, por eso no llevan motores los aviones”)saudi-arabian-airlines-airbus-A380-800

La idea de que esto es precisamente lo que ocurre se llama Principio de Inercia: mientras la velocidad sea constante, no hace falta hacer ninguna fuerza para mantenerla. El principal mérito de su formulación se debe a Galileo, y no es raro que tardara tanto en comprenderse, porque va contra muchas evidencias cotidianas: en esencia, dice que las cosas se mueven solas. Y sin embargo, todos sabemos que un avión, para mantener su velocidad de crucero constante, tiene que tener todo el rato encendidos los motores, y consumir grandes cantidades de keroseno (producido quizás en esa Arabia Saudí que no cree que la Tierra gire).

Explicar estas aparentes contradicciones no es tan sencillo y no lo voy a hacer aquí. Al fin y al cabo, si el lector es de los que cree que la Tierra gira, seguro que puede hacerlo por sí mismo ¿no?

*

Así que en resumen: es la inercia la que invalida el argumento de Sheikh Bandar al-Khaibari contra el movimiento de la Tierra (¡ya era hora de que llamáramos al clérigo por su nombre) ..

Pero es que hay más argumentos.

Por ejemplo: si sabemos un poquito de física, entendemos que no es la velocidad la que se nota, sino la aceleración. El AVE va muy deprisa pero sólo notamos que no estamos en reposo cuando acelera, frena o traquetea (casos todos de aceleración distinta de cero). Pero en una tierra que gira, estamos sometidos a aceleración, porque aunque siempre vayamos a 1500 km/h si estamos en Arabia, la dirección de esa velocidad cambia constantemente (¡no es un movimiento rectilíneo, sino circular!) Es una aceleración apreciable ¿Por qué no la notamos?

O dicho de una manera más dramática: si damos vueltas cada vez más deprisa a un cubo lleno casi hasta el borde de agua, el agua pronto rebosa y salpica. ¿Cómo no rebosa y salpica el Golfo Pérsico si se mueve nada menos que a 1500 km/h?

Quizá ahora el lector se canse, saque a colación de nuevo a Galileo y responda que en cualquier caso, el genio de Pisa demostró con el telescopio que la Tierra se mueve.

Pues no: todo lo que Galileo vio se explicaba igual de bien con la teoría de Tycho Brahe, el probablemente el mayor astrónomo del siglo XVI, que defendía una Tierra estática en torno a la cual giraba el Sol, y alrededor del cual, a su vez, giraban los planetas.

El sistema de Tycho Brahe. Predice exactamente los mismos movimientos para los planetas que Copérnico, con la ventaja de que la Tierra no se mueve.

El sistema de Tycho Brahe. Predice exactamente los mismos movimientos para los planetas que Copérnico, con la ventaja de que la Tierra no se mueve.

¿Cuándo se demostró que la Tierra gira, entonces? Bueno, no lo voy a contar yo todo… no tuiteen tanto, lean buenos libros (si no se atreven con La Revolución Copérnicana de Kuhn, siempre tienen De Tales a Newton 😉 ) y se enterarán.

El bochornoso caso del clérigo saudí

¿Se han enterado ustedes del caso del clérigo saudí que niega el movimiento de la Tierra? Veánlo aquí:

Las redes sociales se han puesto al rojo con las burlas y los sarcasmos. Mientras escribo esto, hay ya varios miles de tuits con el hashtag #cleric_rejects_rotation_of_Earth. Realmente bochornoso: un caso lamentable de necedad y fanatismo.

Pero no me refiero al pobre clérigo. Hablo de los tuiteros. 😉

Reírse de la ignorancia ajena nunca es un gesto elegante. Y menos cuando lo que se hace es poner al descubierto la propia. El clérigo argumentaba, los tuiteros se burlan o insultan.

¿Qué pruebas tenemos de que la Tierra se mueve? La inmensa mayoría no sabrían responder. Lo sé porque he hecho la pregunta a mucha gente.

*

Pero vayamos por partes. Podemos reducir el razonamiento del clérigo a esto: yo puedo ir de Arabia a China en un avión, viajando hacia el este. Pero si la Tierra girase en torno a su eje, el suelo se movería muy deprisa hacia el este bajo el avión, y éste nunca daría alcance a China.

No es un argumento en absoluto despreciable:

  1. Para empezar, el saudí sabe que la Tierra es redonda, sabe que si se moviera giraría hacia el este (muchos de mis alumnos no tienen claro esto) y sabe que lo haría a más velocidad que un avión. En efecto, los 40.000 km del ecuador divididos entre 24 horas dan 1666 km/h.
  2. Números aparte, este argumento fue planteado por algunos de los más grandes sabios de la historia. Aristóteles y Ptolomeo dijeron algo parecido, aunque lógicamente hablaban de pájaros y no de aviones:

Si la Tierra efectuara su colosal revolución en tan corto periodo de tiempo, los cuerpos que no estuvieran apoyados sobre su superficie parecerían tener el mismo movimiento pero en sentido contrario, con lo que ni las nubes, ni ningún animal volador o cuerpo arrojado al aire daría la sensación de dirigirse hacia el este, pues la Tierra siempre les precedería en tal dirección.

Son palabras de Ptolomeo citadas por T.S. Kuhn en su estupendo libro La revolución copernicana (que recomiendo a todos los tuiteros)

Llegados a este punto, ¿sabría el lector explicar qué falla en el argumento? Como aquí no estamos en Twitter, quiero hacerle pensar, así que dejo la respuesta para el próximo post

¿Realmente se ve Gibraltar desde el Pico Veleta?

En el post anterior decíamos que en una Tierra plana nuestra visión sólo estaría limitada por las condiciones meteorológicas: si fueran ideales, llegaríamos a ver el fin de la Tierra, independientemente de nuestra altura sobre el  suelo. Pero la Tierra es una esfera, y por eso, a medida que nos alejamos, el suelo se va hundiendo respecto de nuestro nivel: los objetos lejanos que están allí van dejando de verse. Ese límite de nuestro campo visual es el horizonte.

Lo que no hemos explicado es cómo depende ese horizonte de nuestra altura. Es fácil de entender con ayuda de un dibujo:

Calculo_horizonte

Si estamos subidos a la montaña, trazamos desde ahí la línea l tangente a la circunferencia. En el punto de tangencia es dónde se acaba nuestro campo de visión: los puntos más alejados quedan por debajo del horizonte. Está claro que si la montaña es más alta, el horizonte queda más lejos (líneas rojas finas).

La distancia de ese horizonte se puede calcular fácilmente usando el teorema de Pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir,

(r+h)^2 = r^2 + l^2

Lo que nos permite despejar la distancia l:

l = \sqrt{2 r h + h^2} \approx \sqrt{2 r h}

(la ecuación aproximada se basa en que h<< r).

¿Será cierto entonces que desde el Pico Veleta, como dice la Wikipedia, se puede divisar Gibraltar? La distancia en línea recta son 204 km (lo he medido en Google Maps con la opción “medir la distancia”, que aparece con el botón derecho del ratón). El radio de la Tierra lo podemos aproximar por r=6400 \, km y la altura del Veleta por h=3.4 \, km. Obtenemos entonces l=208,61 \, km con la fórmula aproximada y l=208,64 \, km con la exacta: ¡sí se puede ver Gibraltar desde el Veleta! (y comprobamos de paso que la aproximación es muy buena…)

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Un par de observaciones:

  • Este resultado proporciona un método insospechado pero muy sencillo para medir la altura de una montaña: simplemente, encontrar a qué distancia está el punto más lejano que podemos divisar y despejar de la fórmula h en vez de l. Tiene un inconveniente obvio: ese punto tiene que estar a nivel del mar (o al menos tenemos que saber su altura…)
  • Un detalle para los puristas: hemos calculado la distancia en línea recta, l, pero lo que viene en los mapas y debiéramos calcular es s, la distancia medida a lo largo de la superficie de la Tierra. Está claro que mientras h sea pequeña deben ser muy parecidas, pero ¿cómo se podría encontrar s en general? Lo dejo para el lector, que no voy a hacer yo todo el trabajo…

El mirador y la forma de la Tierra

Hay lugares desde los que se divisa un panorama privilegiado, miradores que atraen a los turistas y que incluso se señalan en los mapas con un símbolo propio. Aquí tienen, por ejemplo, el mapa Michelin de los alrededores de Granada:

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Ahí están esas rayitas azules que salen del Pico Veleta, y también de un punto unos km antes en la carretera. A veces lo que hace que la vista sea especial es el paisaje del entorno, pero más a menudo es la lejanía de los horizontes lo que nos atrae. Así, leemos en la Wikipedia sobre el mirador del Veleta que “la vastísima panorámica que ofrece es realmente impresionante (…) Si las condiciones meteorológicas acompañan puede contemplarse gran parte de la provincia de Jaén y sus sierras Mágina, Cazorla y hasta Sierra Morena (…) e incluso el Peñón de Gibraltar” Estos miradores tienen siempre una cosa en común: son lugares altos (el Pico Veleta está a 3395 m sobre el nivel del mar). Una obviedad, pensará el lector: ¡Pues claro que vemos más lejos si nos subimos más alto! No tan deprisa. ¿Realmente es obvio que desde más alto tenemos que ver más lejos? Durante casi toda la historia de la humanidad se ha pensado que la Tierra es plana: eso sí que es evidente. Y sin embargo, en una Tierra plana ¡se vería igual de lejos desde el balcón de un primer piso que desde lo alto del Pico Veleta! En realidad, “si las condiciones meteorológicas acompañan”, claro, como bien dice la Wikipedia… ¡se vería hasta el fin de la Tierra!

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

Se dice a menudo que una prueba de la esfericidad de la Tierra es que cuando un barco se aleja en el mar, desaparece primero el casco, luego el mástil, y al final la bandera, según se va hundiendo en el horizonte. Es cierto, pero en lo que no se suele caer es en que la cosa es más sencilla: la misma existencia del horizonte (es decir, de una línea en la que se acaba nuestro campo visual) es una demostración de que la superficie de la Tierra se curva. Y el hecho de que ese horizonte esté a la misma distancia en todas direcciones (siempre que el suelo sea plano, como pasa en al mar), demuestra que la curvatura es la misma en todas direcciones: vivimos en una esfera. Recuérdenlo cada vez que vean esas rayitas azules en los mapas de Michelin…