Categoría: Matemáticas

Contando manifestantes (o la posverdad numérica)

Desde que el Diccionario Oxford la proclamó como “palabra del año” y The Economist le dedicó una portada, no hay día que no oigamos hablar de la posverdad.

Y lo cierto es que necesitábamos la palabra, que no es sinónimo de “mentira”, como dicen algunos críticos de oído poco fino. Posverdad no se refiere a tal o cual noticia falsa, sino a un estado de ánimo: la actitud de quien valora, por encima de la verdad fáctica de las cosas, su particular “verdad” sentimental. Eso tan cursi de “mi verdad”, que hace años sonaba a parla de folclóricas, y que hace aún más años hizo decir certeramente a don Antonio Machado:

¿Tu verdad?  No, la Verdad,
y ven conmigo a buscarla.
La tuya, guárdatela.

La posverdad está hoy por todas partes, y no se detiene ni ante las matemáticas. El President de la Generalitat y el Delegado del Gobierno en Cataluña seguramente coincidirán en que una mano tiene cinco dedos, pero si esa elemental operación de contar la extienden a los manifestantes de la Diada, sus resultados pueden diferir en un orden de magnitud.

Lo más grave es que a nadie parece importarle. Las partes esgrimen sus verdades, los medios las publicitan, y nosotros nos quedamos con la que más nos gusta. Aunque en general, el número que prevalece es al más abultado. Toda manifestación que se precie alcanzará el millón de asistentes, según sus convocantes. Ese es un número que les encanta a los medios (sensacionalismo en acción) y que, repetido una y otra vez, se convierte en canónico, y acaba siendo admitido sin discusión, como algo “que todo el mundo sabe”.

¿Es que es imposible contar manifestantes? Contarlos, quizá, sí; al menos, sin helicópteros, cámaras,  y herramientas de análisis de imagen. Pero ¿quién necesita contarlos? Basta estimarlos con una aproximación razonable, y eso es facilísimo: el número de manifestantes es, en primera aproximación, el número de metros cuadrados que ocupó la manifestación. Y ni siquiera es necesario medir el área con precisión, ya que la estimación de un manifestante por metro cuadrado tampoco es demasiado precisa…

Naturalmente, quien no sabe de números enseguida criticará este desprecio por la precisión, pero se equivoca. La idea importante es que, por burdo que sea el cálculo, es una estimación razonable e imparcial del orden de magnitud: no nos podrá decir si había 82.000 o 97.000 manifestantes, pero sí que no había diez mil ni un millón, digan lo que digan los convocantes.

Para estimar el área de una manifestación basta enviar a cuatro o cinco periodistas que inspeccionen hasta dónde llega la gente, y luego mirarlo en Google Maps. Un periódico que hiciera esto en cada protesta multitudinaria prestaría un impagable servicio a la democracia. Sospecho que si no se hace no es tanto por pereza como por analfabetismo numérico.  La idea de que casi nunca necesitamos una medida exacta, sino una estimación razonable, y que esa estimación puede ser muy fácil de obtener, no forma parte de nuestra cultura. Nadie nos lo enseña en el colegio; al contrario, salimos con la idea de que las matemáticas son cuentas (primer error) y que las cuentas sólo valen si son exactas (segundo error).

Y como no podemos conocer la verdad absoluta (el número exacto de asistentes), nos tragamos impávidos la posverdad, teniendo a nuestro alcance una verdad aproximada… que es la única que necesitamos.

*

NOTA: Este artículo está inspirado por este otro, de Álex Grijelmo: Nunca hubo un millón. Les recomiendo encarecidamente su lectura. A ver si entre todos vamos desmontando el mito del millón de manifestantes (sea cual sea la convocatoria…).

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This is the way to explain it

Eso es lo que dice hacia  el final del vídeo Burkard Polster, un profesor de matemáticas australiano, más conocido en Youtube como Mathologer, y creo que tiene razón. Su explicación de la identidad de Euler (por qué e^{i \pi}=-1) es un prodigio: el mejor vídeo de matemáticas que he visto nunca.

(está en inglés, pero pueden activarse subtítulos en español)

¡Mas problemas difíciles!

La historia se repite, y en estos tiempos acelerados de internet se repite con tanta rapidez que se convierte en un presente continuo. Si hace unos días hablábamos del dificilísimo problema del cocodrilo que cayó en la “selectividad” escocesa, ahora tenemos a la prensa informando sobre otro caso análogo, pero en Australia (ver por ejemplo The Independent y The Telegraph).

De nuevo están los estudiantes clamando en twitter contra un problema dificilísimo: el de la moneda de 50 centavos. Aquí está el enunciado:

VCEMaths

¿Cuál es el ángulo \chi cuando las dos monedas están colocadas así?

La cosa tiene su gracia porque, como ven, es una pregunta tipo test, con un dibujo hecho a escala… y a ojo debería verse que el ángulo es más de 45º, mientras que 72º seguramente parece mucho. En fin, que sólo sabiendo qué pinta tienen los ángulos ya se podría responder bien.

Pero naturalmente puede demostrarse. Aquí dan esta explicación:

En una moneda de 50 céntimos hay 12 lados, así que cada ángulo exterior es 360/12 = 30 grados. El ángulo en cuestión es la suma de dos ángulos exteriores (uno por cada moneda) así que es 2 x 30 = 60 grados.

Correcto, pero no me gusta porque usa el concepto de “ángulo exterior” y ¿quién recuerda eso del colegio? En realidad basta con cosas más sencillas:

50cents1

  • El polígono regular de 12 lados está formado por 12 triángulo unidos por el vértice, como el del la figura, así que el ángulo de ese vértice es \alpha=360/12=30^{\circ}
  • Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el otro ángulo es \beta=(180-30)/2=75^{\circ}
  • Y ahora no hay más que mirar al dibujo para ver que dos \beta de una moneda más otros dos \beta de la otra moneda, más nuestro ángulo incógnita \chi suman 360º. Y si 4\beta+\chi=360^{\circ}, tiene que ser \chi=60^{\circ}

50cents2

La verdad es que protestar por este problema tiene menos excusa (aún) que protestar por el del cocodrilo. Pero toda esta plaga de indignación estudiantil, y el eco que se hacen los periódicos de ella, nos dice muchas cosas interesantes sobre cómo se enseñan las ciencias en el colegio. Por si alguien todavía creía que se enseña a los alumnos a pensar

(Gracias a Celeste, que me pasó la noticia)

El cocodrilo reconsiderado

Terminamos el post anterior diciendo que el problema del cocodrilo, bien entendido, tiene también su interés desde el punto de vista físico. Vamos a ello.

Como vimos, en el enunciado nos dicen que el tiempo para ir de C (cocodrilo) a Z (cebra) por el camino marcado es:

t(x) = 5 \sqrt{36 + x^2} + 4(20-x)

Cocodrilo_1

¿De dónde sale esta fórmula? Nos la dan gentilmente, así que para resolver el problema no hace falta preguntárselo: la aceptamos y punto. Pero la actitud científica consiste precisamente en no limitarse a aceptar las cosas y punto. Así que, ¿de dónde sale la fórmula?

Si el cocodrilo va a velocidad constante v_A por el agua y v_T por tierra, y las distancias respectivas que recorre son d_A y  d_T, el tiempo que tardará será:

t=\frac{d_A}{v_A} + \frac{d_T}{v_T}

Pero a la vista del dibujo, y usando el teorema de Pitágoras para calcular d_A, tenemos que el tiempo, en función de la distancia x, es:

t(x)=\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v_A} + \frac{20-x}{v_T}

Y basta con comparar con la ecuación del enunciado para ver que y=6, v_A=1/5, v_T=1/4. Las unidades de la distancia son metros y las de las velocidades, metros por décima de segundo, así que tenemos que v_A= 2 m/s y v_T = 2,5 m/s.

Ahora empezamos a entender dónde está la gracia del problema. Si el cocodrilo fuera más rápido por agua que por tierra, estaría muy claro lo que tiene que hacer: ir en línea recta. Pero como va más rápido por tierra, puede interesarle dar un pequeño rodeo, recorriendo parte del trayecto por la orilla opuesta: la longitud total recorrida será mayor, pero  puede que el tiempo sea menor. Y ahora no es nada evidente cómo tiene que dar el rodeo: tenemos un problema de optimización.

Lo mismo ocurriría en el caso más general de que la cebra no estuviera a la orilla sino más hacia el interior. Este caso es completamente análogo al del clásico problema del socorrista que ve desde la playa que un bañista se está ahogando.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible. Los ángulos los necesitaremos luego. De momento, llamamos con el subíndice 1 a todo lo que está a la derecha y con 2 a todo lo que está a la izquierda.

¿Qué tiene que hacer para llegar lo antes posible? Teniendo en cuenta que el socorrista, como el cocodrilo, corre más deprisa que nada, la mejor estrategia no será ir en línea recta. Conviene correr por tierra el todo lo posible… o quizá no: si corremos hasta p’, enfrente del bañista, probablemente estemos alargando demasiado nuestro recorrido, alejándonos demasiado de la recta. Seguramente lo mejor será un compromiso entre velocidad rápida y recorrido corto, un punto como p, que dependerá de la proporción entre las velocidades del socorrista cuando corre y cuando nada.

Cuál es ese compromiso no es nada evidente, pero aquí entra en juego la magia del cálculo diferencial, que nos dice que el tiempo mínimo se consigue cuando la derivada de ese tiempo es cero. Con más precisión: tenemos que escribir una fórmula que nos de t en función de la posición de p (es decir, en función de x1), y el valor de  x1 que haga que la derivada sea cero será el valor para el que t es mínimo.

¡Manos a la obra! A la vista del esquema está claro que:

t=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}{v_2}=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(h-x_1)^2 + y_2^2}}{v_2}

ya que x_2 = h-x_1. Derivando e igualando a cero:

\frac{d t}{d x_1} = \frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} - \frac{h- x_1}{v_2 \sqrt{(h-x_1)^2 +y_2^2}} =0

y sustituyendo ahora h-x_1=x_2,

\frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} = \frac{x_2}{v_2 \sqrt{x_2^2 +y_2^2}}

Pero
\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 +y_1^2}}= sen \theta_1 y \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2 +y_2^2}}= sen \theta_2

así que la condición que cumple el punto p podemos ponerla de esta manera:

\frac{sen \theta_1}{v_1} = \frac{sen \theta_2}{v_2}

¡Un resultado realmente sencillo! Pero lo mejor de todo es que es un resultado muy conocido: ¡es justamente la ley de Snell de la refracción de la luz! El camino que debería recorrer el socorrista es el camino que recorre la luz cuando atraviesa la intercara entre dos medios en los que se propaga a diferente velocidad.

Fue el genial Pierre de Fermat (el del último teorema) quien estableció que…”El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo“. Una idea de una suprema elegancia, de la que habría mucho que hablar… pero ya basta por hoy: no dirán que no nos ha llevado lejos el cocodrilo, ¿no?

*

Propina: El lector que no se haya aburrido todavía puede comprobar por sí mismo que el caso del cocodrilo (que está situado justo en la orilla, es decir, en la intercara entre los dos medios) se corresponde justamente con lo que en óptica se llama reflexión total, en concreto al caso de ángulo crítico. Curioso que la caza de cebras, o el rescate de bañistas, resulten ser análogos a la óptica de los prismas, ¿verdad?

El dificilísimo problema del cocodrilo

Me acabo de enterar por el ABC del “Complicado problema matemático que hizo llorar a los alumnos escoceses”. Resulta que “un problema matemático dirigido a estudiantes de Escocia que se presentaban a la Scottish Qualifications Authority (SQA), un equivalente a selectividad en España, terminó causando lágrimas de rabia (…) Según informa la BBC, la complejidad de este problema matemático provocó que la nota mínima se tuviera que reducir hasta un 34% en la prueba de mayo, en comparación con el 45% del año anterior. Así, los estudiantes de 16 y 18 años lanzaron sus quejas en redes sociales y se unieron para firmar dos peticiones como protesta contra la excesiva dificultad del problema”.

¿Cuál era el dificilísimo problema? Aquí está:

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En resumen: como el cocodrilo no va igual de rápido por agua que por tierra, el tiempo que tarda en alcanzar a la cebra depende del punto x en el que sale del río (el dibujo muestra que va en línea recta en cada tramo), y nos dan la ecuación que proporciona el tiempo en función de x.
Pregunta (a): ¿Cuánto tarda el cocodrilo si va sólo por agua?¿Y si nada lo menos posible?
Pregunta (b): ¿Para qué valor de x es el tiempo mínimo?

Estoy seguro de que el lector resolverá el apartado (a) en cosa de un minuto. Y el apartado (b) le llevará, si sabe derivar, cinco como mucho.

¿Cómo es posible entonces que esta trivialidad causara “shock y devastación” en palabras de Logan Fraser, un profesor de academia entrevistado por la BBC? Para ser justos, parece que las quejas se referían a la dificultad global del examen, pero lo cierto es que este problema concreto es que se ha convertido en “viral”, como se dice ahora.

Toda la vida los malos estudiantes se han quejado de que los exámenes son difíciles, y han buscado el apoyo del grupo (mucho más reconfortante y barato que reconocer que uno no sabe)…pero ahora tienen twitter, firman peticiones online, y su caso llega a la BBC.

No pasa nada mientras no les empecemos a hacer caso. Pero, ya que estas tormentas de ignorancia desbordan ahora el vaso de agua, y se desparraman por los medios, ¿podemos aprender algo de ellas?

Que este problema resulte difícil es revelador de muchas cosas. Por un lado, del déficit de comprensión oral. Nuestro Mr Fraser se quejaba de que: “las preguntas fueran tan prolijas, que hubiera que leerlas varias veces para entender exactamente lo que quería decir, sin importar qué fórmula hubiera que utilizar o cómo solucionarlo”. Mi experiencia es que los alumnos españoles llegan a primero de carrera con graves dificultades para entender un texto que sea mínimamente complicado, como el del enunciado del problema (no digamos si el texto va más allá de la mera función enunciativa y tiene matices poéticos o irónicos…, pero vamos a quedarnos en las matemáticas)

Nuestra enseñanza de las ciencias no hace nada por mejorar esta comprensión: al contrario, agrava el problema. Año tras año, los alumnos se entrenan en resolver “problemas tipo” que no exigen pensar. Los enunciados son previsibles, variaciones sobre un mismo tema que siempre apuntan a una fórmula del libro, que lo resuelve todo. El problema de este enunciado es que no es estándar, no es lo que los alumnos esperaban. Y por eso están indignados: llevan años jugando al mismo juego y cuando les examinan ¡les preguntan por un cocodrilo y sale una fórmula rara que no viene en ningún libro!

Por mi parte, el problema me parece muy bien. Y yo le añadiría dos preguntas más:

  • ¿Qué velocidad tiene el cocodrilo cuando va por el agua?¿Y cuando va por tierra?
  • ¿Qué anchura tiene el río?

¿Se animan a responderlas?

Con esto habría quedado un problema más redondo… pero las quejas a lo mejor llegaban ya no sólo hasta la BBC y el ABC, sino hasta la CBS y la NBC…

Potencias de diez

Posiblemente el mejor vídeo científico de la historia: “Potencias de diez”. Aquí lo tienen:

[Actualización: aquí está en español. Hay un pequeño desfase entre el audio y la imagen, pero se sigue bien]

Como todas las obras maestras, esta no se creó por casualidad. Tuvieron que confluir un gran físico, Philip Morrison, y dos magos del diseño, Ray y Charles Eames, para crear este clásico que, por poner sólo un dato, tiene artículo en la Wikipedia en diez idiomas. Desde 1977 se ha inventado casi todo en materia de efectos especiales, pero no creo que se pueda superar la elegancia intemporal de estos 9 minutos.

Durante mucho tiempo Potencias de Diez no se podía encontrar en Youtube, por problemas de copyright. Quizá ahora se hayan solucionado, porque (gracias a un comentario de Jorge Redondo, aquí) he descubierto un canal con películas de los Eames, muchas de divulgación científica. Toda una experiencia.

Nota: Hay también un libro magnífico, de Philip Morrison, basado en el vídeo. Por desgracia está descatalogado en español y sólo se encuentra (caro) de segunda mano. En inglés sí puede conseguirse fácilmente.

 

El sorteo del Gordo de Navidad visto por un físico

El físico soy yo, pero obviamente no siempre lo fui. De pequeño era un niño al que le gustaba el sorteo del Gordo, tanto que pensaba que el día 22 de diciembre era una de las fiestas de la Navidad. No tan importante como Nochebuena o Nochevieja (y no digamos Reyes); quizá como el día de los Inocentes, pero una fiesta con todas las de la ley. La prueba era que tenía su liturgia propia: la cantinela de los niños de San Ildefonso, que sonaba toda la mañana en casa, en las tiendas, por la calle…

Todos los años, cuando mi madre veía las imágenes del sorteo en la tele, me decía: fíjate qué grande es el bombo de los números y qué pequeño el de los premios.

¿Cuántas veces es más grande el bombo de los números que el de los premios?

¿Cuántas veces es más grande el bombo de los números que el de los premios?

Claro que es mucho más grande, así que la gran mayoría de los números se quedan sin premio, que era lo que me quería decir mi madre. Pero ¿cuál es la proporción? Hoy no se tarda nada en buscarlo en internet: hay trece premios del primero al 5º y 1.794 premios de la pedrea: un total de 1.807. Los números son 100.000, así que la proporción es de algo más de 50 a 1: exactamente, 55’3 (naturalmente hay muchos más premios especiales por terminaciones, centenas, aproximaciones, etc, pero vamos a dejar estos de lado).

Pero ¿podríamos averiguar esto sólo a partir de la foto? Podría pensarse que no, porque no sabemos el tamaño de las bolas ni el de los bombos; sólo podemos hacernos una idea aproximada por comparación con las personas que salen. Pero eso no importa, porque lo que buscamos es la proporción entre los dos bombos y en la foto eso se aprecia con bastante exactitud.

Antes de seguir leyendo: ¿Cuál diría el lector que es esa proporción?¿Dos, cuatro, ocho veces más grande el bombo de los números? En la imagen, he medido los diámetros en píxeles: 76 el de los premios y 162 el de los números: un poco más del doble. Pero el volumen es proporcional al cubo del diámetro (o del radio: al cubo de cualquier dimensión lineal, lo que cambia en cada caso es el factor de proporcionalidad). Esto significa que el volumen del bombo de los números es más de ocho veces el de los premios. En realidad, (162/76)^3 \approx 9.7 ¡casi diez veces más!

Casi nadie calcula bien esto, por cierto: nuestras estimaciones intuitivas suelen estar más cerca del factor 4 porque instintivamente comparamos áreas  y no volúmenes (y aún así, solemos subestimar la proporción entre áreas…)

Así que debería haber 10 veces más números que premios… ¡pero sabemos que el factor es 50! ¿De dónde sale el factor 5 adicional? Si miramos la foto con atención, vemos que el bombo de los premios está menos lleno que el de los números. Puede que eso sea porque la foto se tomó bien avanzado el sorteo, pero mi impresión es cuando empieza el sorteo la fracción que está llena no es muy diferente a la que se ve en la foto.  Así que vamos a suponer que la proporción de la foto es la del principio y veremos qué obtenemos.

Ahora para comprar tenemos que ser más refinados. Antes no necesitamos saber la fórmula del volumen de la esfera, pero ahora sí vamos a necesitar la de la figura geométrica que ocupan las bolas, y que se llama casquete esférico. La razón es que los dos casquetes no son semejantes: uno no es una versión a escala del otro, precisamente porque un bombo está más lleno que el otro.

La fórmula en cuestión resulta ser (Wikipedia dixit):V=\frac{\pi h^2 }{3}(3r-h)

250px-Spherical_Cap.svg

Midiendo de nuevo en la foto, encontramos estas dimensiones en píxeles (letras mayúsculas para el bombo grande, minúsculas para el pequeño):

R=81, H=51, r=28, h=9

(en realidad, en la foto se mide bastante mal, pero ahí está la gracia: ver si con unos valores bastante mal medidos conseguimos un resultado aceptable). Aplicando nuestra fórmula, los volúmenes son V=499.392 y v=8.505 (las unidades serían píxeles cúbicos 🙂 ). Y la proporción es V/v=58’7 ¡casi exacto: el valor correcto era 55’3! (que conste que no he hecho trampa, hice las medidas de píxeles sin saber lo que iba a salir).

Animados por este éxito, ¿podríamos dar un paso más? ¿Sería posible estimar el número de bolas en un bombo? Algo podemos hacer, pero no podemos esperar mucha precisión porque la resolución de la foto no permite ver bien las bolas. Da la impresión de una bola tendría un diámetro de entre 1.5 y 2 píxeles. En el primer caso, su volumen sería del orden de 1.53=3’4 píxeles cúbicos y en el segundo, de 8 (no nos preocupa que sean esferas en vez de cubos, siendo tan malas nuestras medidas sólo podemos aspirar a estimar un orden de magnitud).  Dividiendo el volumen V=499.392 entre estos números, obtenemos en el primer caso 148.000 bolas y en el segundo 62.000… no está mal: si hay casi 100.000, hemos acotado muy bien el orden de magnitud.

¿Tienen algún interés estos cálculos de juguete? Por supuesto: así es como piensan los físicos. Simplemente mirando a nuestro alrededor y haciendo un pequeño esfuerzo para cuantificar podemos estimar muchas magnitudes con una exactitud bastante aceptable. Lo suficiente, en este caso, para tener una idea muy aproximada de las probabilidades de que un número salga cantado mañana en el sorteo del Gordo de Navidad: del orden de 1 entre 50, sólo con ver la foto y hacer un par de cuentas.

Mucha suerte a todos.

Seguimos midiendo distancias… ahora como profesionales

En el post anterior demostrábamos que se puede medir la distancia a un objeto, ya sea mi dedo pulgar o una estrella, observándolo desde dos posiciones diferentes y registrando su cambio de posición aparente contra el fondo.

Pero quedaba un cabo suelto: necesitábamos medir el ángulo que correspondía a ese cambio de posición, y lo único que podíamos medir directamente en las fotos que utilizábamos era el número de píxeles. ¿Cómo hacemos la traducción de pixeles a ángulo?

En realidad es muy sencillo, y en el caso del pulgar ni siquiera tuve que hacer una medida adicional. Sé que mi dedo tiene d=2 cm de ancho, y tuve que medir su distancia para comprobar que el método funcionaba (estaba a R=53 cm)

Ángulo subtendido por el dedo

Obteniendo el ángulo subtendido por el dedo

Así que el ángulo con el que la cámara veía mi pulgar (el nombre técnico es el “ángulo subtendido por el pulgar”), según la figura, cumple que su tangente es

\tan \frac{\theta}{2} = \frac{d/2}{R} = \frac{1}{53}=0.0188

lo que significa que, según dice mi calculadora,

\theta = 2.2^{\circ}

Pero mi dedo abarcaba 100 píxeles en la foto, así que cada píxel son \theta_{pixel}=0.022^{\circ}, tal como dijimos en el post anterior.

*

¿Sencillo, verdad? Pues en realidad es más sencillo aún, porque no hace falta usar la tangente, ni siquiera conocer su definición. Nuestras cuentas se complican innecesariamente por usar una unidad arcaica: el grado. Vamos a ver cómo lo hacen los profesionales.

El grado es una unidad arbitraria: ¿por qué dividir la circunferencia en 360 partes y no en 100, por ejemplo? (¡Buena pregunta! Algún día tendremos que contestarla aquí). Una unidad “natural” sería la que se basara en dividir la circunferencia en un número natural de partes. Y dado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 \pi r, la opción más natural es… dividir la circunferencia en 2 \pi partes.

Vamos a verlo más despacio. Si tenemos un ángulo \alpha

Un ángulo

Un ángulo. Hemos dibujado una circunferencia que tiene su vértice por centro, y hemos llamado al arco S y al radio R.

…una regla de tres nos dice que la proporción del arco S con el arco total 2 \pi R es la proporción del ángulo \alpha con el ángulo total:

\frac{S}{2 \pi R}= \frac{\alpha}{\mbox{\'angulo total}}

Si, arbitrariamente, decimos que el ángulo total tiene 360º, despejando \alpha tenemos que

\alpha= \frac{S \cdot 360}{2 \pi R}  (grados)

Pero, si de manera natural, decimos que ángulo total son 2 \pi unidades, que vamos a llamar radianes, resulta que

\alpha= \frac{S }{ R}  (radianes)

¡Mucho más fácil!: el ángulo es el arco partido por el radio, simplemente. Medido en radianes, claro: la unidad de los profesionales.

*

Pero todavía no hemos visto como los radianes simplifican nuestro problema. Para determinar \theta obteníamos del dibujo \tan \frac{\theta}{2} y luego usábamos una tabla de razones trigonométricas (seguramente, la que tiene memorizada la calculadora) para obtener el ángulo. Pero esto es un rodeo muy poco elegante. En realidad, \theta, como todos los ángulos, es el arco partido por el radio, y al ser un angulo muy pequeño, el arco es muy similar a la anchura del dedo (no hay más que ver la figura):

Comparando el arco y el diámetro d

Comparando el arco (en azul) y el diámetro d

Así que sacar el ángulo es así de sencillo:

\theta \approx \frac{d }{ R} = 0.038

…medido en radianes, como debe ser (ahora, si queremos, podemos convertirlo a grados, y naturalmente obtenemos \theta = 2.2^{\circ}… pero no hace ninguna falta).

En definitiva, una de las (muchas) ventajas de usar los radianes, es que para ángulos pequeños la tangente coincide con buena aproximación con el valor del ángulo, y (seguro que el lector lo ve enseguida) lo mismo ocurre con el seno:

\mbox{Para \'angulos peque\~nos, } \, \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

*

Pero todavía tenemos que seguir hablando de ángulos. Esto era una digresión antes de volver a las estrellas…

Homer Simpson que estás en los cielos…

(Noticia encontrada el periódico Αλεξανδρια Τοδαψ del siglo II d.C.)

Última hora: Resuelto un enigma astronómico – El modelo estándar, una vez más confirmado

Recientemente dábamos cuenta en este diario  del descubrimiento, por científicos del observatorio de Alejandría, de un planeta con una órbita insólita, que amenazaba con tirar por tierra todo lo que sabemos de astronomía. Recordemos que según el Modelo Estándar, actualmente aceptado, y cuyos principios básicos fueron establecidos por el ilustre Platón de Atenas, los movimientos de todos los cuerpos celestes son perfectos, es decir, circulares y uniformes. La órbita descubierta, sin embargo, no parecía presentar ninguna regularidad de ese tipo, lo que provocó una conmoción en todos los ámbitos científicos.

El rompecabezas ha sido finalmente resuelto por un joven astrónomo llamado Claudio Ptolomeo, empleando una técnica de vanguardia denominada de epiciclos y deferentes. En un tour de force matemático, Ptolomeo, que ya suena para los Premios de la Academia de Astronomía, ha demostrado que esa órbita, pese a su extraña forma, no es más que una combinación de movimientos perfectos. De este modo se ha confirmado una vez más el Modelo Estándar, que después de este éxito sale reforzado como la indiscutible explicación de los movimientos astronómicos.

(¿A qué viene esto? A que decía en el post anterior que una figura como la de Astérix se podía dibujar usando epiciclos como los que tanto gustaban a Ptolomeo, pero me temo que, incluso entendiendo la idea de las ecuaciones paramétricas, no quedaba claro que esas ecuaciones equivalieran a un montón de epiciclos montados unos sobre otros… Aunque lo he intentado explicar en los comentarios, creo que una imagen –perdón, video- como esta de Homer Simpson vale más que mil palabras…)

Ah: mi reconocimiento a Christian Carman y Ramiro Serra, que realizaron el video.

La ecuación de Astérix

Lector: ¿Pero tiene Astérix una ecuación?

Autor: Sí la tiene, o más bien tiene dos. Son éstas:

EcuacionAsterixL.: ¡Menudo lío de fórmulas! ¿No será así el libro?

A.: Noooo… y además no hace falta entender los detalles de las ecuaciones para entender la idea. En realidad, las he truncado dejando sólo los primeros términos (por eso hay unos puntos suspensivos); las ecuaciones completas son tan largas que las he puesto en otro archivo para quien quiera curiosear.

L.: Puff…ya veo. Pero ¿qué significa este maremágnum de números y letras?

A.: Bueno, llamamos x a la posición de un punto según el eje horizontal e y a la posición según el eje vertical. En las ecuaciones, la letra t puede sustituirse por el valor que queramos (por eso se llama “variable”, o “parámetro“), y una vez sustituida, si hacemos todas las cuentas que nos dice la ecuación, obtenemos un valor de x y otro de y. Como los valores dependen de t, decimos que son función de t, y por eso escribimos x(t), y(t). Si vamos variando t de manera continua, x e y van variando de manera continua; es decir, el punto correspondiente va dibujando una línea. Con las ecuaciones de Astérix esa línea es ésta:

Asterix

L.: ¡Por Tutatis!¡Están locos estos matemáticos!¿Cómo puede ocurrírsele esto a alguien?¿De dónde lo ha sacado?

A.: He encontrado estas ecuaciones en Wolfram Alpha, una web que yo diría que es es el nuevo oráculo de Delfos (pero al revés: es ella la que se esfuerza en interpretarte a ti). Pero no sólo Astérix tiene ecuación. Aquí pongo otras cuantas celebridades convertidas en ecuaciones paramétricas:

VariosPersonajes

L.: O sea, que cada una de estas figuras tiene sus ecuaciones, más o menos como las de Astérix.

A.: Eso es, pero no las pongo porque son larguísimas.

L.: Mejor… pero me está dando la impresión de que cualquier figura va a tener su ecuación… ¿es así?

A.: Efectivamente, casi cualquier figura lineal (con ciertas matizaciones que sólo interesan a los matemáticos) tiene unas ecuaciones con un aspecto no muy diferente a las de Astérix .

L.: ¿Y cómo se pueden obtener esas ecuaciones?

A.: Podemos entenderlo en dos pasos:

1)      Imaginemos que dibujamos la línea trazándola con un lápiz. La punta del lápiz es un punto que se va moviendo en el plano a lo largo del tiempo. Ese punto tendrá dos coordenadas, x e y, que son ambas funciones del tiempo.

2)      Tomemos la función x(t). Pues bien, los matemáticos han demostrado que sea cual sea esa función (salvo casos raros que no aparecen en física) podemos escribirla como una combinación de funciones sinusoidales (senos y/o cosenos). Eso es lo que se llama desarrollo en serie de Fourier. Y por eso las ecuaciones de Astérix están llenas de términos con “sin” (seno en inglés). Lo mismo pasa con la ecuación de la y(t), claro. Hay técnicas matemáticas estándar (básicamente, se trata de hacer integrales) para calcular los números que aparecen en las ecuaciones.

L.: Pues es muy curioso, pero ¿qué tiene que ver con el tema de este libro?

A.: Vamos a ello. Imagine que la punta del lápiz es un planeta, y el origen de coordenadas es la Tierra. El movimiento del planeta visto desde la Tierra puede ser muy complicado, pero sea cual sea puede hacerse el desarrollo en serie de Fourier para sus componentes x e y. Y si se eligen adecuadamente los términos, la combinación de la sinusoide para x y la sinusoide para y da un movimiento circular.  Así que la ecuación que nos proporciona el desarrollo en serie de Fourier puede verse como círculos y más círculos, montándose unos sobre otros. ¿No le recuerda esto a los epiciclos de Ptolomeo?

L.: Ya me acuerdo, en el libro me resultó algo lioso, pero se refiere a lo de este vídeo, ¿no?

A.: Eso es, sólo que ahí cuentan nada más el caso más sencillo, pero Ptolomeo usó epiciclos montados encima de otros epiciclos; matemáticamente eso equivale a ecuaciones como la de Astérix con varios sumandos sinusoidales.

L.: O sea que entonces, Ptolomeo no era tan tonto como lo pintan…¿Lo de los círculos no era un prejuicio absurdo sino una técnica matemática de vanguardia?

A.: Y tan de vanguardia: Fourier no la descubrió hasta 1700 años después… No tenía un pelo de tonto, don Claudio. A los expertos les recomiendo que miren este enlace de la wikipedia: Mathematical formalism of deferent and epicycle

L.: Pues voy a mirarlo, no vaya a ser que sea un experto sin saberlo…