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Receta para fotografiar una Superluna, cualquier día del año

Decíamos ayer que la “superluna” sólo es ligeramente más grande que la Luna normal de todas las noches, pero ¿cómo medimos su tamaño aparente? Desde luego no en centímetros…

Recuerdo, de pequeño, oír decir a mi padre que “la Luna es como un queso”. Se refería a su tamaño, y siendo yo mayor, recuerdo también quererle convencer de que eso no tiene sentido: un queso parece más grande o más pequeño según lo veamos más cerca o más lejos (sin embargo, parece que es una tradición campesina decir que ese es el tamaño de la Luna). De hecho, para que un queso de 20 cm de diámetro pareciera “igual de grande que la Luna” tendríamos que verlo desde unos 23 metros: a esa distancia, el ángulo que determina el queso con nuestro ojo es el mismo que la Luna; aproximadamente, medio grado.

En efecto, la única manera que tiene sentido de medir el tamaño aparente de la Luna es como un ángulo. Es un ángulo, por cierto, bastante pequeño: como el arco completo del cielo tiene 360º, cabrían 720 lunas llenas puestas una al lado de la otra; o 720 soles porque, casualmente (como se ve de manera espectacular en los eclipses de Sol) el tamaño angular de la Luna y el Sol es el mismo.

Unos prismáticos, o un teleobjetivo, aumentan el tamaño angular con el que vemos los objetos, y por eso parecen estar más cerca. Y esa es la manera también de obtener fotos como ésta:

superlunacompostela

Vemos la Luna enorme no porque sea enorme sino porque hemos usado un potente teleobjetivo. Pero, ¿por qué no vemos la catedral enorme? En realidad sí la vemos: el truco está en que la foto está hecha desde muy lejos.

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Lo más interesante es que podemos calcular desde qué distancia está hecha la foto. Sólo necesitamos saber el tamaño real del objeto, en este caso, la distancia entre las dos agujas de la Catedral de Santiago de Compostela. Lo buscamos en Google Maps y, usando la utilidad de medir distancias, encontramos que son 33 metros. Y ahora razonamos de la siguiente manera:

  1. El tamaño angular de la Luna (¡y el de la superluna!) es, redondeando, de medio grado.
  2. El diámetro en píxeles de la Luna de la foto es de 196.
  3. Entre las agujas de la catedral hay 295 píxeles.
  4. Si 196 píxeles son medio grado, una regla de tres nos dice que 295 son 0.75 grados
  5. Sólo falta calcular a qué distancia hay que ponerse para que los 33 metros de distancia entre las agujas de la catedral se vean como 0.75 grados.

Este último problema es trivial si conocemos el concepto de radián (lo conté en este post), pero tampoco es necesario. Basta darse cuenta de que si un círculo centrado en nosotros y con radio r tiene una longitud  2 \pi r, la longitud que corresponde a un ángulo que en vez de 360º sea sólo de \alpha es L = 2 \pi r \frac{\alpha}{360} . Y por tanto, la distancia r a la que hay que situarse para que una longitud L abarque \alpha grados es

r=\frac{L 360}{2 \pi \alpha} .

Con nuestros datos (\alpha = 0.75, \, L=33 \, m) obtenemos que r=2520 m: ¡el fotógrafo estaba situado a 2 kilómetros y medio!

En resumen: si quiere sacar fotos en las que se vea una Luna enorme contra la Catedral de Santiago de Compostela, la Acrópolis o la Torre Eiffel, la receta es: cómprese un teleobjetivo muy potente y váyase a un par de kilómetros o tres del monumento en cuestión. Y no espere a que sea el día de la Superluna: lo más que va a conseguir es que el diámetro sea un 9% mayor que en un día normal.

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Ejercicio 1 (matemático): Ahora seguro que puede usted calcular a qué distancia se ha tomado esta foto:

superlunaplazaespana

Pista: estamos hablando de órdenes de magnitud, así que aunque Google Maps no nos diga el tamaño de esos balcones y ventanas (que, por cierto, son los de la Torre de Madrid) podemos tomar la figura humana como referencia de tamaños. Las distancias en píxeles se obtienen abriendo la foto con cualquier editor (hasta el Paint de windows vale). Ah, y para que se animen a hacer la cuenta: a mí me salen unos 2 km.

Ejercicio 2 (filosófico): Para pensar: ¿qué nos dice el caso de la Superluna y sus superfotos sobre los medios de comunicación, la visión del mundo que podemos sacar de ellos, la comunicación de la ciencia, la ética periodística y otras grandes palabras similares?

Seguimos midiendo distancias… ahora como profesionales

En el post anterior demostrábamos que se puede medir la distancia a un objeto, ya sea mi dedo pulgar o una estrella, observándolo desde dos posiciones diferentes y registrando su cambio de posición aparente contra el fondo.

Pero quedaba un cabo suelto: necesitábamos medir el ángulo que correspondía a ese cambio de posición, y lo único que podíamos medir directamente en las fotos que utilizábamos era el número de píxeles. ¿Cómo hacemos la traducción de pixeles a ángulo?

En realidad es muy sencillo, y en el caso del pulgar ni siquiera tuve que hacer una medida adicional. Sé que mi dedo tiene d=2 cm de ancho, y tuve que medir su distancia para comprobar que el método funcionaba (estaba a R=53 cm)

Ángulo subtendido por el dedo

Obteniendo el ángulo subtendido por el dedo

Así que el ángulo con el que la cámara veía mi pulgar (el nombre técnico es el “ángulo subtendido por el pulgar”), según la figura, cumple que su tangente es

\tan \frac{\theta}{2} = \frac{d/2}{R} = \frac{1}{53}=0.0188

lo que significa que, según dice mi calculadora,

\theta = 2.2^{\circ}

Pero mi dedo abarcaba 100 píxeles en la foto, así que cada píxel son \theta_{pixel}=0.022^{\circ}, tal como dijimos en el post anterior.

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¿Sencillo, verdad? Pues en realidad es más sencillo aún, porque no hace falta usar la tangente, ni siquiera conocer su definición. Nuestras cuentas se complican innecesariamente por usar una unidad arcaica: el grado. Vamos a ver cómo lo hacen los profesionales.

El grado es una unidad arbitraria: ¿por qué dividir la circunferencia en 360 partes y no en 100, por ejemplo? (¡Buena pregunta! Algún día tendremos que contestarla aquí). Una unidad “natural” sería la que se basara en dividir la circunferencia en un número natural de partes. Y dado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 \pi r, la opción más natural es… dividir la circunferencia en 2 \pi partes.

Vamos a verlo más despacio. Si tenemos un ángulo \alpha

Un ángulo

Un ángulo. Hemos dibujado una circunferencia que tiene su vértice por centro, y hemos llamado al arco S y al radio R.

…una regla de tres nos dice que la proporción del arco S con el arco total 2 \pi R es la proporción del ángulo \alpha con el ángulo total:

\frac{S}{2 \pi R}= \frac{\alpha}{\mbox{\'angulo total}}

Si, arbitrariamente, decimos que el ángulo total tiene 360º, despejando \alpha tenemos que

\alpha= \frac{S \cdot 360}{2 \pi R}  (grados)

Pero, si de manera natural, decimos que ángulo total son 2 \pi unidades, que vamos a llamar radianes, resulta que

\alpha= \frac{S }{ R}  (radianes)

¡Mucho más fácil!: el ángulo es el arco partido por el radio, simplemente. Medido en radianes, claro: la unidad de los profesionales.

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Pero todavía no hemos visto como los radianes simplifican nuestro problema. Para determinar \theta obteníamos del dibujo \tan \frac{\theta}{2} y luego usábamos una tabla de razones trigonométricas (seguramente, la que tiene memorizada la calculadora) para obtener el ángulo. Pero esto es un rodeo muy poco elegante. En realidad, \theta, como todos los ángulos, es el arco partido por el radio, y al ser un angulo muy pequeño, el arco es muy similar a la anchura del dedo (no hay más que ver la figura):

Comparando el arco y el diámetro d

Comparando el arco (en azul) y el diámetro d

Así que sacar el ángulo es así de sencillo:

\theta \approx \frac{d }{ R} = 0.038

…medido en radianes, como debe ser (ahora, si queremos, podemos convertirlo a grados, y naturalmente obtenemos \theta = 2.2^{\circ}… pero no hace ninguna falta).

En definitiva, una de las (muchas) ventajas de usar los radianes, es que para ángulos pequeños la tangente coincide con buena aproximación con el valor del ángulo, y (seguro que el lector lo ve enseguida) lo mismo ocurre con el seno:

\mbox{Para \'angulos peque\~nos, } \, \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta

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Pero todavía tenemos que seguir hablando de ángulos. Esto era una digresión antes de volver a las estrellas…