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Homer Simpson que estás en los cielos…

(Noticia encontrada el periódico Αλεξανδρια Τοδαψ del siglo II d.C.)

Última hora: Resuelto un enigma astronómico – El modelo estándar, una vez más confirmado

Recientemente dábamos cuenta en este diario  del descubrimiento, por científicos del observatorio de Alejandría, de un planeta con una órbita insólita, que amenazaba con tirar por tierra todo lo que sabemos de astronomía. Recordemos que según el Modelo Estándar, actualmente aceptado, y cuyos principios básicos fueron establecidos por el ilustre Platón de Atenas, los movimientos de todos los cuerpos celestes son perfectos, es decir, circulares y uniformes. La órbita descubierta, sin embargo, no parecía presentar ninguna regularidad de ese tipo, lo que provocó una conmoción en todos los ámbitos científicos.

El rompecabezas ha sido finalmente resuelto por un joven astrónomo llamado Claudio Ptolomeo, empleando una técnica de vanguardia denominada de epiciclos y deferentes. En un tour de force matemático, Ptolomeo, que ya suena para los Premios de la Academia de Astronomía, ha demostrado que esa órbita, pese a su extraña forma, no es más que una combinación de movimientos perfectos. De este modo se ha confirmado una vez más el Modelo Estándar, que después de este éxito sale reforzado como la indiscutible explicación de los movimientos astronómicos.

(¿A qué viene esto? A que decía en el post anterior que una figura como la de Astérix se podía dibujar usando epiciclos como los que tanto gustaban a Ptolomeo, pero me temo que, incluso entendiendo la idea de las ecuaciones paramétricas, no quedaba claro que esas ecuaciones equivalieran a un montón de epiciclos montados unos sobre otros… Aunque lo he intentado explicar en los comentarios, creo que una imagen –perdón, video- como esta de Homer Simpson vale más que mil palabras…)

Ah: mi reconocimiento a Christian Carman y Ramiro Serra, que realizaron el video.

La ecuación de Astérix

Lector: ¿Pero tiene Astérix una ecuación?

Autor: Sí la tiene, o más bien tiene dos. Son éstas:

EcuacionAsterixL.: ¡Menudo lío de fórmulas! ¿No será así el libro?

A.: Noooo… y además no hace falta entender los detalles de las ecuaciones para entender la idea. En realidad, las he truncado dejando sólo los primeros términos (por eso hay unos puntos suspensivos); las ecuaciones completas son tan largas que las he puesto en otro archivo para quien quiera curiosear.

L.: Puff…ya veo. Pero ¿qué significa este maremágnum de números y letras?

A.: Bueno, llamamos x a la posición de un punto según el eje horizontal e y a la posición según el eje vertical. En las ecuaciones, la letra t puede sustituirse por el valor que queramos (por eso se llama “variable”, o “parámetro“), y una vez sustituida, si hacemos todas las cuentas que nos dice la ecuación, obtenemos un valor de x y otro de y. Como los valores dependen de t, decimos que son función de t, y por eso escribimos x(t), y(t). Si vamos variando t de manera continua, x e y van variando de manera continua; es decir, el punto correspondiente va dibujando una línea. Con las ecuaciones de Astérix esa línea es ésta:

Asterix

L.: ¡Por Tutatis!¡Están locos estos matemáticos!¿Cómo puede ocurrírsele esto a alguien?¿De dónde lo ha sacado?

A.: He encontrado estas ecuaciones en Wolfram Alpha, una web que yo diría que es es el nuevo oráculo de Delfos (pero al revés: es ella la que se esfuerza en interpretarte a ti). Pero no sólo Astérix tiene ecuación. Aquí pongo otras cuantas celebridades convertidas en ecuaciones paramétricas:

VariosPersonajes

L.: O sea, que cada una de estas figuras tiene sus ecuaciones, más o menos como las de Astérix.

A.: Eso es, pero no las pongo porque son larguísimas.

L.: Mejor… pero me está dando la impresión de que cualquier figura va a tener su ecuación… ¿es así?

A.: Efectivamente, casi cualquier figura lineal (con ciertas matizaciones que sólo interesan a los matemáticos) tiene unas ecuaciones con un aspecto no muy diferente a las de Astérix .

L.: ¿Y cómo se pueden obtener esas ecuaciones?

A.: Podemos entenderlo en dos pasos:

1)      Imaginemos que dibujamos la línea trazándola con un lápiz. La punta del lápiz es un punto que se va moviendo en el plano a lo largo del tiempo. Ese punto tendrá dos coordenadas, x e y, que son ambas funciones del tiempo.

2)      Tomemos la función x(t). Pues bien, los matemáticos han demostrado que sea cual sea esa función (salvo casos raros que no aparecen en física) podemos escribirla como una combinación de funciones sinusoidales (senos y/o cosenos). Eso es lo que se llama desarrollo en serie de Fourier. Y por eso las ecuaciones de Astérix están llenas de términos con “sin” (seno en inglés). Lo mismo pasa con la ecuación de la y(t), claro. Hay técnicas matemáticas estándar (básicamente, se trata de hacer integrales) para calcular los números que aparecen en las ecuaciones.

L.: Pues es muy curioso, pero ¿qué tiene que ver con el tema de este libro?

A.: Vamos a ello. Imagine que la punta del lápiz es un planeta, y el origen de coordenadas es la Tierra. El movimiento del planeta visto desde la Tierra puede ser muy complicado, pero sea cual sea puede hacerse el desarrollo en serie de Fourier para sus componentes x e y. Y si se eligen adecuadamente los términos, la combinación de la sinusoide para x y la sinusoide para y da un movimiento circular.  Así que la ecuación que nos proporciona el desarrollo en serie de Fourier puede verse como círculos y más círculos, montándose unos sobre otros. ¿No le recuerda esto a los epiciclos de Ptolomeo?

L.: Ya me acuerdo, en el libro me resultó algo lioso, pero se refiere a lo de este vídeo, ¿no?

A.: Eso es, sólo que ahí cuentan nada más el caso más sencillo, pero Ptolomeo usó epiciclos montados encima de otros epiciclos; matemáticamente eso equivale a ecuaciones como la de Astérix con varios sumandos sinusoidales.

L.: O sea que entonces, Ptolomeo no era tan tonto como lo pintan…¿Lo de los círculos no era un prejuicio absurdo sino una técnica matemática de vanguardia?

A.: Y tan de vanguardia: Fourier no la descubrió hasta 1700 años después… No tenía un pelo de tonto, don Claudio. A los expertos les recomiendo que miren este enlace de la wikipedia: Mathematical formalism of deferent and epicycle

L.: Pues voy a mirarlo, no vaya a ser que sea un experto sin saberlo…