Etiquetado: equilibrio

Ola de calor (y V): Una postdata

Autor: Vaya, yo creía que habíamos acabado…

Lector: Es que buscando en internet me ha surgido una duda… ¿Le importa que le pregunta mientras se acaba el granizado?

A.: Claro que no, pero con este calor el granizado se derrite corriendo. ¿Será breve, no?

L.: Muy breve. Busqué la ley de Stefan-Boltzmann en la Wikipedia y me encontré que la fórmula del post anterior, esta:

J=\sigma T^4

sólo es válida para un “cuerpo negro” que por lo visto es un objeto que absorbe toda la radiación que le llega. Pero en general hay que usar esta ecuación:

J= \epsilon \sigma T^4

que está modificada por un factor \epsilon que se llama emisividad y está entre cero y uno. Así que repasando lo que hacíamos ayer veo que hemos ignorado esa emisividad, que es lo mismo que hacer que valga uno. ¿Pero por qué va a tener que valer uno la emisividad de la chapa?

A.: Ya veo. Es que en realidad, la temperatura que nos sale no depende de la emisividad. Si, por ejemplo, \epsilon=0,2, se emite el 20% de lo que se emitiría si fuera \epsilon=1. Pero también se absorbe el 20% de lo que se absorbería si fuera \epsilon=1, porque resulta que la fracción de la radiación incidente que se absorbe ¡es justamente \epsilon! Esa fracción suele llamarse absortancia, \alpha, pero resulta que la absortancia es igual que la emitancia: \alpha = \epsilon.

L.: O sea que la ecuación que usábamos se convertiría en:

\epsilon \sigma T_p^4 = \alpha 697 \,\, W/m^2

pero como \alpha = \epsilon, se simplifica y queda

\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2

que es lo que poníamos, ¿no?

A.: Eso es, y lo mismo pasa con las demás ecuaciones en las que íbamos teniendo en cuenta más términos, todas las aportaciones a la radiación incidente van multiplicadas por \alpha.

L.: ¡Pues ya es casualidad que sea \alpha = \epsilon! ¿no?

A.: En realidad es una consecuencia de las leyes de la termodinámica. Imagine que metemos un objeto dentro de un horno que está a una temperatura fija, por ejemplo 300ºC. Al cabo del tiempo, dice la termodinámica, ese objeto alcanzará el equilibrio térmico con las paredes del horno y se pondrá a 300ºC también, ¿no?.

L.: Claro.

A.: Y eso no dependerá de que la emisividad del objeto sea grande o pequeña, la termodinámica dice que pasará para cualquier objeto. Si lo piensa, eso sólo es posible si \alpha = \epsilon. Imagine que metemos dos objetos en el horno, uno con \alpha=0.9 y otro con \alpha=0.1 (por cierto, el primero lo veríamos de un color muy oscuro porque absorbería toda la radiación que le llega, y el segundo lo veríamos de un color muy claro). Los objetos no están en contacto con las paredes, se calientan sólo por radiación (si quiere, quitamos el aire del horno para asegurarnos que no hay convección ni conducción). El objeto oscuro absorbe de la radiación nueve veces más potencia que el claro. Se calentará, por lo menos al principio, nueve veces más deprisa, y para conseguir que las pérdidas fueran iguales que las ganancias tendría que ponerse a más temperatura que el objeto claro. Su temperatura de equilibrio sería mayor… ¡en contradicción con la termodinámica, que dice que los dos objetos acabarán a la temperatura de las paredes!

La única manera de que, ganando 9 veces más energía, alcance el equilibrio térmico a la misma temperatura, es que sus perdidas sean 9 veces mayores: las pérdidas tienen que estar en la misma proporción que las ganancias, por eso tiene que ser \alpha = \epsilon. Esto se llama ley de Kirchhoff.

L.: ¿Pero no era la ley de los circuitos eléctricos?

A.: Bueno, esta es la ley de Kirchhoff de la radiación… ¡no está prohibido hacer descubrientos en varios campos!

L.: Claro, claro. Pero una cosa: ¿entonces para qué sirve la \alpha o la \epsilon, si al final se llega a la misma temperatura?

A.: Es que aunque el estado de equilibrio sea el mismo, el transitorio es diferente. Si la absortancia (igual a la emisividad) es más pequeña, se absorberá menos radiación, y se tardará más en alcanzar el equilibrio. Un cuerpo con \alpha=1, que es lo que se llama un cuerpo negro (¡el más oscuro de todos!) sería el que más rápido se calentaría (a igualdad del resto de las condiciones, como la radiación incidente, el área, la masa y la capacidad calorífica). Aquí he modificado la gráfica que pusimos el otro día, para tener esto en cuenta:

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de 1 cal/cm2·s de radiación.

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de radiación de 1 caloría por cm2 y minuto.

L.: Ya veo. Y por cierto, el cuerpo negro también será el que más rápido se enfría, ¿no? Precisamente porque \alpha= \epsilon=1 y ese es el máximo valor que puede tener.

A.: Justo. Así que para una temperatura determinada, el cuerpo que más energía radía es el cuerpo negro.

L.: ¡Curioso, siendo negro!

A.: Curioso, sí, pero no olvide que sólo lo veríamos como negro si estuviera frío. Si su temperatura sube mucho, según la ley de Stefan-Boltzmann, su emisión sube muchísimo (¡fíjese que la temperatura va elevada nada menos que a la cuarta potencia!). Y le aseguro que, dados dos objetos a la misma temperatura, suficientemente elevada para que los veamos brillar, el cuerpo negro brilla más. Por cierto, este Sol que nos está achicharrando estos días es, con muy buena aproximación, un cuerpo negro. Pero hace tiempo que se me acabó el granizado, ya tenemos que acabar.

L.: Vale. No pase demasiado calor estos días.

A.: Igualmente.

Ola de calor (IV): Calculando

Lector.: Íbamos por que podíamos calcular la temperatura a la que se pone la chapa del techo de un coche cuando está al sol…

Autor.: Bueno, le recuerdo que es una estimación, pero nos servirá para hacernos una idea. Necesitamos una ecuación sencilla pero muy importante, la ley de Stefan-Boltzman. Si llamamos J a la energía por unidad de tiempo y área que emite un cuerpo en forma de radiación, esta ley nos dice que:
J=\sigma T^4
Es decir, que las pérdidas son proporcionales a la cuarta potencia de la temperatura, pero, muy importante, la temperatura tiene que ir en grados Kelvin. La constante de proporcionalidad vale \sigma=5.67 \cdot 10^{-8} W/m^2 K^4

L.: ¿Y esas unidades?

A.: Fíjese que la temperatura va en grados Kelvin, así que al hacer el producto \sigma T^4 las unidades que quedan para J son W/m^2. Como un Watio es un Julio por segundo, al final nos salen Julios por segundo y metro cuadrado, o sea, energía (perdida) por unidad de área y de tiempo, como debe ser.

L.: Pero antes lo medimos en calorías por cm2 y por minuto…

A.: Sí, porque era más cómodo, pero el cambio de unidades es sencillo. No me entretengo en hacer las cuentas, pero sale que la caloría por cm2 y minuto que recibimos del sol son 697 W/m2.

L.: Bueno, ¿y cómo calculamos la temperatura de la chapa?

A.: Pues como hemos quedado en que se estabiliza cuando las pérdidas son iguales a las ganancias, basta escribir esta condición. Si la temperatura final de la placa es Tp,
\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, T_p = \sqrt[4]{697/\sigma} = 333 K

L.: Pues sí es fácil… ¡pero esa temperatura es demasiado baja! 333 K son 60ºC y la chapa se ponía a un poco más de 100ºC!

A.: Efectivamente. Es que nos hemos olvidado de un detalle importante. ¿Qué temperatura nos habría salido para la chapa si no estuviera al sol?

L.: Si no estuviera al sol… en vez de 697 W/m2 habría que haber puesto cero…¡saldría que la chapa estaría al cero absoluto!¿Absurdo, no?

A.: Justo: esto que acabamos de hacer es una de las costumbres del buen científico, comprobar qué pasa en casos extremos, y aquí vemos enseguida que algo falla. Afortunadamente es fácil detectar el error: se nos estaba olvidando que la chapa no sólo recibe radiación directa del sol, sino del ambiente. Por suerte, ésta la podemos calcular también con la ley de Stefan-Boltzmann. Si el ambiente está a 30ºC, es decir, a 303 K, la placa está recibiendo del ambiente \sigma 303^4 = 478 \, W/m^2. Esto hay que añadirlo a los Watios recibidos del sol, así que queda:
\sigma T_p^4 = (697 + 478) = 1175 \,\, W/m^2 \,\,\, \Rightarrow\,\,\, T_p = \sqrt[4]{1175/ \sigma}= 379 K = 106^{\circ}C

L.: Ah, pues eso ya es casi exactamente lo que salía en el artículo del periódico, el “termómetro laser” medía 102.6ºC

A.: No me lo llame “termómetro láser”… el nombre correcto es pirómetro, y no usa el láser nada más que para apuntar…pero perdone, eso no importa en realidad. Como ve, no tiene nada de raro que una chapa de un coche se ponga a esas temperaturas tan altas. Pero no olvide que en nuestro cálculo hemos ignorado las pérdidas por convección y conducción.

L.: A ver, que lo piense… si las tuviéramos en cuenta, la temperatura sería más baja, ¿no?

A.: Claro, porque la chapa ahora pierde calor con más facilidad y conseguiría equilibrar las pérdidas con las ganancias sin tener que calentarse tanto.

L.: O sea que nos hemos pasado, hemos calculado una temperatura demasiado alta.

A.: Sí, pero por otra parte hemos puesto que recibimos del sol 1 caloría por minuto y cm2 y en realidad es algo más (recuerde que dividimos por 2 el valor de la constante solar, por hacer la cuenta más fácil y redondear a 1). Así que más o menos va lo uno por lo otro. Pero hay otra aproximación que he hecho sin avisar… ¿sabe cuál?

L.: Uf, sé tan poco de la radiación y todos eso que no tengo ni idea de qué puede ser.

A.: En realidad es tan obvio que pasa desapercibido: una chapa tiene dos caras, pero hemos hecho la cuenta como si tuviera una.

L.: Pero es que la cara de dentro no recibe radiación solar

A.: Pero ahí está precisamente: sólo recibe radiación solar por una cara pero pierde por las dos.

L.: Ya veo. O sea, que la temperatura es más fría, ¿no?

A.: Pero no mucho, porque no se olvide que lo que sí recibe la chapa por la cara de dentro es radiación del ambiente, que dentro del coche está muy caliente. Supongamos que está a 60ºC, es decir, a 333 K. Si el área es A, la chapa recibe por el interior \sigma 333^4 A = 697 A \,\, W/m^2

L.: Ese número me suena, 697 W/m2 es lo que recibía del sol. ¿Por qué son los mismos Watios?

A.: ¡Pura coincidencia! Esas cosas pasan a veces. Lo que importa es que podemos hacer la cuenta. Tenemos cuidado de poner que el área por el que está perdiendo energía es 2A y lo que queda es:
\sigma T_p^4 2 A =(697 {+} 478 {+} 697) A = 1872 \, W/m^2 \, \Rightarrow \, T_p {=} \sqrt[4]{1872/ 2 \sigma} {=} 358 K {=}85^{\circ}C
Como ve, no cambia mucho. Y si tenemos en cuenta que la chapa está aislada por dentro, y por tanto no pierde tanto calor por dentro como por fuera, los 106ºC que nos salieron al principio, con la cuenta más sencilla, son un resultado muy razonable.¿Qué le parece?

L.: Me parece impresionante que con una cuenta tan sencilla calculemos tan bien la temperatura. Pero por otra parte, todo esto de las aproximaciones que me ha contado me ha hecho sospechar. Yo me había creído el primer cálculo que hizo, pero ahora veo que había dejado de lado muchas cosas que no se me habían ocurrido, pero cuando las tiene en cuenta me muestra que al final casi no importan… No sé, podría estar haciéndome trampa y no me daría cuenta. Esto de las aproximaciones es un poco escurridizo, y nunca me lo habían contado así.

A.: Porque en los libros de texto suelen barrerse todas las cuestiones un poco incómodas debajo de la alfombra… Pero uno sólo sabe física de verdad hasta que sabe hacer aproximaciones, así que debería de irse enseñando poco a poco este “arte del buen aproximar”, porque es una parte esencial del “oficio” del científico y del ingeniero. No es fácil, hay que tener una idea del orden de magnitud de los distintos efectos que intervienen para poder hacer un “modelo” aproximado que recoja lo esencial, y esto es algo que sólo se aprende con los años. Pero si siempre se barre debajo de la alfombra el asunto, no se aprende nunca.

L.: Bueno, en resumen, que es normal que la chapa esté a más de 100ºC. Oiga, pero ¿por qué el interior del coche está tan caliente? ¿Es por lo mismo, sólo que se calienta a través de las ventanillas y por eso no se pone a 100ºC sino “sólo” a 60ºC?

A.: En parte sí, pero intervienen más cosas. Porque curiosamente el aire en el interior del coche también está muy caliente, y si recuerda habíamos dicho que la atmósfera se calentaba muy poco porque es transparente a la radiación solar. .. ¿Ha oído hablar del efecto invernadero?

L.: Hombre, claro.

A.: Pues tiene mucho que ver con que el interior del coche puesto al sol se convierta en un horno. Pero ya es hora de dejarlo, ¿no? ¡Que llevamos cuatro posts sobre la ola de calor, estoy deshidratado!

L.: Vaaale, vamos a por un granizado. Pero se lo volveré a preguntar.

Ola de calor (III): Un termostato en cada chapa

Lector: Creo que ya sé lo que faltaba en su cálculo.

Autor: Adelante.

L.: Como usted mismo dijo, cuando hay una diferencia de calor entre dos objetos, pasa calor del caliente al frío. Entonces, en cuanto la chapa se calienta por encima de la temperatura ambiente, pasará calor de la chapa al ambiente, y la chapa se enfriará.

A.: ¿Seguro que se enfriará?

L.: Bueno, por lo menos la ganancia neta de calor será menor, porque a la caloría por cm2 y por minuto que recibe del sol habrá que restarle lo que pierda al ambiente. Supongo que es posible que las pérdidas fueran muy grandes y que la placa se llegara a enfriar… pero realidad no tengo ni idea de cuánto valen esas pérdidas. ¿Podríamos calcularlas?

A.: Hacer un cálculo exacto es difícil porque hay tres procesos diferentes por los que se pierde calor: convección, conducción y radiación, y ocurren a la vez. Los dos primeros no son fáciles de calcular, pero del último sí nos podemos hacer una idea bastante aproximada. De todos modos, hay una cosa que sí que sabemos: en todos los procesos, las pérdidas de calor dependen de la diferencia de temperatura con el ambiente. A mayor diferencia de temperatura, más calorías por cm2 y por minuto pasarán de la chapa al ambiente.

L.: Parece lógico. Pero entonces, cuanto más caliente está la chapa, más calor pierde. ¿No llegará un momento en el que pierda más calor que gana?

A.: Espere, que nos estamos acercando a una conclusión muy importante. Piense esto: por una parte, cada cm2 de chapa recibe del sol una potencia constante (la potencia es el calor por unidad te tiempo, las calorías por minuto). Pero según va calentándose, y aumentando por tanto su diferencia de temperatura con el ambiente, las pérdidas crecen cada vez más. Así que si por una parte recibe una energía del a un ritmo constante, y por otra parte la pierde al ambiente a un ritmo creciente, ¿qué va a pasar?

L.: Pues lo que yo decía: que a la fuerza llegará un momento en el que las pérdidas (que siempre crecen) superen a las ganancias (que se mantienen constantes). Y entonces la chapa se enfriará.

A.: Pero está omitiendo un detalle importante: antes de que las pérdidas superen a las ganancias habrá un momento en que las igualen, ¿no?

L.: Claro

A.: Pero en ese momento, como las pérdidas de energía son iguales a las ganancias, la temperatura ya no variará, ¿no?

L.: No, claro, el efecto neto es que la chapa ni gana ni pierde energía y entonces la temperatura se mantendrá constante.

A.: ¡Entonces la temperatura se estabiliza en ese valor y no sube más! Las pérdidas nunca llegan a superar a las ganancias. Pero si se deja el tiempo suficiente, ¡siempre las acaban alcanzando! Esa es justo la conclusión importante. Es la idea de equilibrio dinámico, y aparece en muchos problemas de la física y de la química. Lo mejor es que se llega a ese equilibrio automáticamente, con tal de que uno espere lo suficiente…

Placa al sol

La temperatura de la placa sube muy rápido al principio (aquí, a razón de 10ºC por minuto) pero al calentarse aumentan las pérdidas y disminuye el ritmo de calentamiento, hasta estabilizarse en un valor (en este caso, 100ºC) para el que las pérdidas igualan a las ganancias.

L.: Ya veo, mientras la temperatura aumenta las pérdidas aumentan, pero cuando lleguen a alcanzar a las ganancias la temperatura se estabiliza en el valor que tenga en ese momento… Pero ese valor puede ser mucho más alto que el de la temperatura ambiente, ¿no?

A.: Si el objeto está recibiendo radiación solar, seguramente lo será. Además, el valor al que se estabilice la temperatura dependerá de cómo sean las pérdidas de calor. Si por ejemplo la chapa del coche está muy bien aislada por la parte del interior y sólo pierde calor por el exterior, tendrá que ponerse a una temperatura más alta para que, aun perdiendo sólo por el lado de fuera, las pérdidas iguales a las ganancias. Vamos, que se pondrá más caliente que si pierde calor por las dos caras.

L.: Y si ponemos un ventilador…

A.: Aumentamos las pérdidas por convección, y no hará falta que la chapa se ponga a una temperatura tan alta para que igualen a las ganancias. Por eso la chapa se enfría.

L.: O sea que es como si la chapa buscara el equilibrio… pero la chapa no sabe lo que hace, y se comporta como lo supiera, como si tuviera voluntad, ¿no? Es un poco raro…

A.: Esto es lo que quería que viera: efectivamente, hay una tendencia al equilibrio, todo ocurre como si la chapa lo buscara, pero obviamente la chapa ni siente ni padece. Ese comportamiento es una consecuencia del hecho de que la transmisión de calor sea proporcional a la diferencia de temperatura (bueno, para la radiación no es exactamente proporcional, pero como si lo fuera). Es lo que hemos estado discutiendo, y si lo piensa, sólo lo hemos explicado cuando la chapa empieza estando más fría que su temperatura de equilibrio, pero ocurre lo mismo si partiera de una temperatura más alta, se iría enfriando hasta alcanzarla. Es una especie de mecanismo de realimentación.

L.: Como si tuviera un termostato…

A.: Pues sí, solo que el termostato está fijado a una temperatura que no sabemos a priori, y que depende de cuanta radiación solar reciba la placa y de si pierde poco o mucho calor… de cuál sea su grado de aislamiento térmico, podríamos decir.
L.: Pero ¿no se puede calcular cual va a ser esa temperatura de equilibrio?

A.: Bueno, ya le dije que normalmente no conocemos bien las pérdidas de calor por conducción y por convección. Pero podemos hacer la cuenta si sólo consideramos las pérdidas por radiación. Nos saldrá un valor de la temperatura de equilibrio un poco más alto de la cuenta (porque estamos poniendo menos pérdidas de las reales) pero de todos modos es una cota superior que tampoco está muy equivocada… Si quiere lo hacemos, es fácil.

L.: Vale, pero ya sabe lo que le voy a decir

A.: Que en el próximo post, ¿verdad? Vale, ya estaba empezando a sudar…