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Imprevisible

Hay cosas imprevisibles desde cualquier punto de vista, incluso científico. Lo dice nuestra ministra de defensa en esta entrevista en El Mundo. ¿Es posible tal grado de imprevisibilidad? Veánlo ustedes mismos:

Postdata: una sugerencia de lectura para esta cuarentena:

La peste

Post anteriores:
Coronavirus: lo que los datos dicen a un físico
El coste exponencial de la inacción

Coronavirus: lo que los datos dicen a un físico

Una de las afirmaciones que más se repiten en esta crisis sanitaria que vivimos es que el análisis epidemiológico es muy complicado y que no se pueden hacer predicciones porque la situación es “dinámica” (expresión muy del gusto del gobierno últimamente), de modo que hay que ir actuando en función de los datos de cada día (y, como corolario, se deduce que nadie habría podido ver venir esto antes del 10 o el 12 de marzo… pero mejor no insistamos).

Todo esto puede que sea cierto si queremos predicciones exactas. Y suele creerse que la ciencia sirve precisamente para eso (otra expresión favorita de los portavoces del gobierno es que “hay que escuchar a los científicos”). Pero es un error muy común, y, lo estamos viendo, muy peligroso. La ciencia sirve, antes que nada, para hacer estimaciones de orden de magnitud. Y, por supuesto, que un fenómeno sea “dinámico” no significa para nada que no se pueda hacer tal cosa. Sólo hay que conocer cómo es esa dinámica. Y basta con conocerla de modo aproximado si sólo buscamos un orden de magnitud.

Esto se hace todos los días y a todas horas en física: nunca hagas un cálculo complicado  si no sabes lo que (más o menos) tiene que salir. Es una actitud tan enraizada en la profesión que el legendario John Archibald Wheeler la llamó “primer principio moral“. Esos complicados modelos epidemiológicos están muy bien, pero primero hay que saber más o menos lo que tiene que salir, y eso nos lo dice una estimación de orden de magnitud.

En el caso de una epidemia es de sobra conocido que la dinámica es aproximadamente exponencial. Y de este simple conocimiento se derivan consecuencias dramáticas. En este post voy a analizar los datos como lo haría un físico, si en lugar de una epidemia se tratara de cualquier otro fenómeno que crece exponencialmente. Me lo exige el principio moral de Wheeler. 

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Decíamos hace ya una semana que las medidas que tomó el gobierno parecía que se estaban empezando a notar, y ahora se confirma sin ningún género de dudas. Con los datos de la última semana, los contagios se duplican cada 4,1 días y los fallecimientos cada 2,8 días. Antes del estado de alarma, los periodos de duplicación eran de 2,0 y 1,4 días, respectivamente: el ritmo de crecimiento de la epidemia se ha reducido a la mitad.

Es una buena noticia, pero ¿qué significa en concreto? Que los (redondeando) 42.000 contagiados y 3.000 muertos de hoy se convertirán dentro de una semana en unos 137.000 contagiados y 17.000 muertos [1].  Si eso le parece una barbaridad, piense que con las tendencias anteriores al estado de alarma tendríamos dentro de una semana 475.000 casos y 96.000 muertos (y ahora, si la cabeza no le da vueltas, puede calcular como ejercicio los miles de muertos que nos habríamos ahorrado si se hubieran tomado las medidas a la vez que Italia, el 8 de marzo en vez del 14…).

Todo esto lo podemos ver en la gráfica siguiente[2]:

ContagiosyMuertes_dia24_tendencia2

Se han dibujado las tendencias obtenidas con los 7 días anteriores al estado de alarma (“tendencia hasta el 13/03/2020”) y los 7 posteriores (“tendencia desde el 14/03/2020”). Una gráfica logarítmica como esta permite ver a ojo el tiempo en el que los contagios o muertes se multiplican por 10. Con la tendencia actual, por ejemplo, vemos en la gráfica que las muertes tardan unos 9 días en multiplicarse por 10. Ahora, para encontrar el periodo de duplicación basta dividir por 3,32[3]. Así, 9/3,32=2,7 (aproximadamente 2,8 días, como habíamos dicho).

Un detalle importante para que estas gráficas sean significativas es elegir bien el origen de tiempos. Ante todo, no conviene representar los datos en la etapa temprana de la epidemia, porque los números son muy pequeños y la escala logarítmica los magnifica (lo lo olviden: ¡entre 1 y 10 hay la misma distancia en vertical que entre 1.000 y 10.000!). Como siempre hay fluctuaciones que no son significativas, este pequeño “ruido”, nada importante,  se amplifica mucho. Por eso hemos tomado el origen de la gráfica de contagios en 100 y el origen de la gráfica de muertes en 10.

Por otra parte, hay que poner para cada país el origen de tiempos en una fecha equivalente: por ejemplo, el día en el que se alcanzaron los 100 contagios o los 10 fallecimientos. Un detalle sutil pero importante: el retraso no es el mismo si se mide por los contagios que si se mide por los muertos. En los post anteriores (por ejemplo aquí) las dos gráficas tenían el mismo origen de tiempo (el día del contagio nº100), y Alemania resultaba un caso anómalo entre los países europeos porque tenía un número excepcionalmente bajo de fallecimientos (sobre ese “misterio alemán” se había especulado mucho últimamente). Al medir el tiempo desde el fallecimiento nº10, Alemania deja de ser una excepción y está en la misma línea que Italia y Francia.

¿Qué significa esto? Que la epidemia está más atrasada en Alemania de lo que sugería el número de contagios, seguramente porque han hecho muchos más tests que el resto de países europeos (más sobre esto un poco más adelante).

[Un inciso: para interpretar las gráficas puede ser útil el dato de los retrasos: tomando Italia como referencia, los retrasos en la gráfica de contagios son:
España=8,5 días, Alemania=7,5 días, Francia=7 días; Corea está adelantada 2 días a Italia.
Y los retrasos en la gráfica de fallecimientos son:
España:=11 días, Alemania=18 días, Francia=10 días; Corea=0 días]

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Ahora la cuestión es: ¿cuándo lograremos “frenar la curva”? La mejor manera de verlo es representar los casos nuevos en función del tiempo:

CasosNuevosDiarios

[Nota: no hay que preocuparse porque las gráficas sean más “ruidosas” que las anteriores ni porque falten datos en Corea, es normal -pero sería un poco largo de explicar-]

Las dos gráficas anteriores muestran que Italia llegó a un máximo hace tres días, tanto en casos nuevos como en fallecidos diarios, y pese al repunte del último dato, es lógico esperar que recupere la tendencia descendente. Tenemos tendencias similares a Italia (la tendencia se ve en la pendiente de la gráfica) así que podemos estimar que alcanzaremos el pico de casos nuevos dentro de 5 o 6 días y el pico de fallecidos diarios dentro de 8 (ya que nuestro retraso es, respectivamente, de 8,5 y 11 días).

¿Cuál será la altura de esos picos? Una manera burda de estimarla es suponer que las curvas de Italia y España se van a mantener paralelas, como han venido haciendo a grandes rasgos. En la gráfica de contagios la distancia es, muy grosso modo, un factor 2, y en la de muertes algo más. Seamos optimistas y dejémoslo en 2 para ambos datos. Como el pico en  Italia ha sido de 6.550 casos nuevos y 793 fallecidos en un día, redondeamos a 6.500 y 800 y multiplicamos por 2 para obtener esta estimación: el pico de casos nuevos diarios será de unos 13.000 y se alcanzará el 30 o 31 de marzo; el pico de fallecimientos diarios será de unos 1.600 y se alcanzará en torno al 2 de abril[4].

Son órdenes de magnitud, y ojalá me equivoque (¡por exceso!). Pero eso es lo que me dicen los datos, y me atengo al primer principio moral de Wheeler.

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Antes he dicho que la evolución de los fallecimientos en Alemania está bastante más retrasada que la evolución del número de casos, y que una explicación verosímil es que allí se han realizado muchos más tests, de modo que se vio venir la epidemia antes.

Eso implicaría que su número de contagios reportados sería más cercano al real que el de España e Italia, que estarían subestimando este dato. Una manera de intentar confirmar esta hipótesis es representar la fracción que representan los fallecidos respecto de los contagiados. Si subestimamos el número de contagiados, esta mortalidad aparente será mayor. Digo “aparente” porque los fallecimientos se producen con cierto retraso sobre los contagios, y no siempre es el mismo para todos los pacientes.

He hecho dos estimaciones burdas, una con números totales, dividiendo el número de muertos por el número de contagiados cinco días antes (gráfica siguiente, a la izquierda); otra, dividiendo los muertos de cada día por los contagiados cinco días antes (gráfica siguiente, a la derecha). La segunda estimación es en teoría algo más correcta que la primera pero tiene más ruido porque los datos diarios fluctúan más que los acumulados. Aquí tienen las gráficas:

MortalidadEstimada

En los dos casos los resultados son similares: la mortalidad se situaría en torno al 15% para España e Italia, al 8 o 10% para Francia, y al 1% para Alemania y Corea (no hagan caso a los últimos datos de la gráfica de la derecha para Corea: tienen mucho ruido porque los números de fallecimientos y contagios son ya muy pequeños).

Suponiendo que los sistemas sanitarios español e italiano no son mucho peores que el alemán o el coreano (de modo que la mortalidad real debería ser similar), y suponiendo que en esos países se detecta el 100% de los casos (un poco optimista, pero es lo más sencillo), resultaría que el número de casos real en España e Italia sería unas 15 veces mayor que el oficial.

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Repito: todo esto son estimaciones de orden de magnitud. Los fenómenos no son impredecibles por ser dinámicos y los datos hablan. Al tratarse de exponenciales puede haber un error importante, pero no creo que sea de más de un factor 2 más o menos un 50%, o de un par de días más o menos.  Ojalá me equivoque, repito, y que sea por exceso.

NOTAS:

[1] Hay que multiplicar los datos actuales por 2^(7/4,1) y por 2^(7/2,8)]

[2] Quizá sería más correcto representar los datos normalizados a la población (muertes por millón de habitantes) pero lo único que cambiaría es que las curvas se desplazarían ligeramente en vertical, pero también en horizontal, porque el origen de tiempos sería un poco distinto. Ambos desplazamientos casi se cancelan, así que no merece la pena.

[3] 3,32 es el logaritmo en base 2 de 10.

[4] El número total de contagiados y de fallecidos seguirá aumentando después de ese día, claro, pero más despacio. Cuándo empezarán a disminuir los contagiados y cuándo dejará de haber fallecimientos es más difícil de saber: para eso sí necesitamos un modelo epidemiológico.

[Actualización, 06/04/20] ¿Se cumplieron mis predicciones? Estas son las gráficas actualizadas para contagios y muertos diarios:

ResultadoPrediccionesTasasEl famoso “pico” no es  muy picudo (habría que haberlo advertido), pero las fechas son casi exactas en los dos casos. Afortunadamente, me equivoqué por exceso en los valores: en vez de 13.000 contagios diarios (el 30 ó 31 de marzo), hemos alcanzado 8.195 (el 1 de abril) y en vez de 1.600 muertos diarios (el 2 de abril) hemos llegado a 961 (justamente el 2 de abril). Como se aprecia en la figura, hasta la fecha de la predicción las tendencias eran muy parecidas a las de Italia; a partir de ese día, nuestras curvas se “aplanaron” respecto a las suyas: esa es la causa del (bendito) error en los valores absolutos de mis predicciones.

Hay que advertir sin embargo, que no hay motivo para el triunfalismo: haber superado el “pico” en las gráficas de casos diarios no se traduce en ningún cambio llamativo en los casos acumulados. Siguen creciendo, cada vez más lentamente, pero falta mucho para que nos parezcamos a Corea, y lo hemos hecho rematadamente mal en comparación con ellos:ResultadoPrediccionesAbs

 

El coste exponencial de la inacción

Sólo tres días después de su implantación, las medidas que tomó el gobierno parece que se están empezando a notar, para bien. Con la tendencia hasta el 13 de marzo, los contagios se duplicaban cada 2 días y las muertes cada 1,4 días. Con la tendencia desde el 14 de marzo el ritmo es menor: los contagios se duplican cada 3,3 días y las muertes cada 2,5 días.

O de otra manera equivalente:

  • antes, en 6,8 días los contagios se multiplicaran por 10; ahora hacen falta 10,8 días
  • antes, en 4,8 días las muertes se multiplicaban por 10; ahora hacen falta 8,3 días.

Esto se puede apreciar muy bien en las siguientes gráficas:

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia1

Hay que tener cierto cuidado con el lenguaje: uno está tentado de decir que se está “frenando la epidemia”, pero no es así: las muertes siguen aumentando, y por ahora a un ritmo vertiginoso, sólo que no tan vertiginoso como antes. Las medidas funcionan, pero un crecimiento exponencial no se para de un día para otro.

Ahora bien, ¿qué efecto habría tenido tomar medidas antes? El 8 de marzo se decretaba el aislamiento de la Lombardía y otras 14 provincias italianas, mientras en España el gobierno alentaba a participar en la manifestación del 8M¿Qué hubiera ocurrido si, mirándonos en el espejo de Italia, hubiéramos decretado la cuarentena a la vez que ellos? Aquí tienen las gráficas: 

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia2

La línea verde de trazos es la proyección de los datos si la evolución que ha comenzado el 14 de marzo hubiera empezado el día 8. ¿Cuántas víctimas nos habríamos ahorrado? Vamos a verlo.

La siguiente tabla muestra, en la primera fila, los contagios y fallecimientos esperables si se hubiera mantenido la tendencia seguida hasta el 13 de marzo. La segunda fila muestra los datos reales de ayer: el total de contagios es un 82% del esperable y el de muertes el 53%. Es una mejora muy grande, sí, y es una buena noticia, pero si se hubiera actuado a la vez que Italia estaríamos mucho mejor: los números serían del 31% y el 25%.

TablaPredicciones

 

En resumen, mirando ahora a los números absolutos:  llevamos 9.942 contagiados y podríamos llevar 3.702; llevamos 342 muertos y podríamos llevar 158. Seis días de inacción nos han costado a día de hoy unos  6.240 contagiados y 184 muertos. 

Pero la cosa es bastante peor en realidad, por dos razones.

Primero, hemos hablado del coste hoy, pero el coste crece cada día… exponencialmente. En efecto, la distancia entre las líneas de trazos azul y verde es la estimación de lo que hemos perdido por el retraso. Se mantienen paralelas, pero eso es porque la escala es logarítmica: en realidad esa distancia constante representa un coste cada vez mayor: si en la gráfica de muertes corresponde hoy a unas 180, dentro de 8,3 días, cuando se prevé que las muertes se hayan multiplicado por 10, corresponderá a 1.800: mil ochocientas vidas perdidas. Y así sucesivamente: cuando el crecimiento es exponencial, el coste de la inacción crece exponencialmente con el tiempo.

Segundo, hemos supuesto que la tendencia inaugurada estos tres días se mantiene. Pero lo esperable, a la luz de la experiencia de Italia, es que con estas medidas restrictivas la pendiente vaya disminuyendo gradualmente (al fin y al cabo, para eso las tomamos: hasta que la gráfica no sea horizontal no habremos parado la epidemia). Si prolongamos nuestra tendencia hasta el 8 de marzo con la tendencia que adquirió Italia a partir de ese día, lo que obtenemos es la línea continua con puntos en verde:

ContagiosyMuertes_dia17_tendencia3

No llega hasta el último día porque Italia no nos lleva tanto adelanto, pero pueden ustedes estimar a ojo los contagios y los muertos que tenemos y no deberíamos tener (son bastantes más que los que da el cálculo anterior). Yo casi prefiero no hacerlo.

[Actualización, 19/03/20] Dos días después se confirman que los datos siguen muy de cerca la nueva tendencia inaugurada el 14 de marzo:

ContagiosyMuertes_dia18_tendencia2bis

Como las gráficas logarítmicas no son muy intuitivas para el que no está acostumbrado a manejarlas, he marcado los números sobre la gráfica. Ya expliqué que cada día que pasa el precio en contagios y muertes que hemos pagado por no actuar a tiempo va creciendo. Aquí tienen la tabla actualizada:

TablaPredicciones_dia18Seis días de inacción nos han costado a día de hoy (en realidad, a día de ayer) unos  9100 contagiados y unos 363 muertos. (las diferencias entre la segunda y la tercera filas). Son cotas inferiores, como expliqué al final del post… pero una vez más mejor no pensarlo.

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Más sobre el coronavirus en este blog:
* El coronavirus exponencial [12/03/20]
* “No cabe descartar” dijo el presidente [14/03/20]

“No cabe descartar”, dijo el presidente

El presidente del Gobierno decía ayer “No cabe descartar que en la próxima semana alcancemos los más de 10.000 afectados”.

No cabe descartar, dijo el presidente. Veamos lo que dicen los datos.

La siguiente gráfica representa los casos declarados hasta ayer en España y otros cuatro países, contando el tiempo desde el día en el que se alcanzó el caso número 100. Estas gráficas comparativas se han popularizado en los medios, pero la nuestra tiene una diferencia importante: es logarítmica (como explicaba en el post anterior, eso significa que la distancia en el eje vertical entre 1 y 10 es la misma que entre 10 y 100, entre 100 y 1000, etc.)

Contagios_log_prediccion

Este tipo de gráfica tiene varias ventajas importantes:

  • Nos permite comprobar de un vistazo si el crecimiento es realmente exponencial (la gráfica es entonces una recta). Y efectivamente lo es en los cuatro países europeos, aunque Italia está consiguiendo disminuir ligeramente la pendiente (Corea lo hizo de manera espectacular muy pronto).
  • Podemos apreciar de un vistazo el tiempo que tarda en multiplicarse por 10 el número de casos. En España, aproximadamente cada siete días.
  • Eso nos permite hacer predicciones: si ahora tenemos 5.000 casos, dentro de una semana tendremos previsiblemente 50.000

¿Cómo de fiable es esa predicción? Si tenemos en cuenta que la tendencia desde que se declaró el caso 100 ha permanecido invariable (si acaso, la pendiente ha aumentado últimamente), y si tenemos en cuenta también que Italia, que nos lleva ocho días de adelanto, no ha conseguido apenas ralentizarla, yo diría que muy fiable.

Esto es lo esencial y lo puede entender cualquiera viendo la gráfica. Pero para que la cosa quede más científica, he ajustado una línea de tendencia, que aparece dibujada como una recta de puntos (la ecuación aparece en la figura). Resulta que el coeficiente de determinación R2 es de 0,99: el ajuste es muy bueno (el valor máximo de R2 es de 1). Con la ecuación de la figura y una calculadora pueden estimar con más precisión cuando se alcanzarán los 10.000 casos que “no cabe descartar” según nuestro presidente: para t=13,9 días. Como en estas gráficas t=0 está fijado el día 1 de marzo a mediodía, la predicción es que tendremos 10.000 casos para el día 13,9+1,5=15,4: mañana a mediodía.

[Aclaración (15/03/20): los datos cada día se conocen el día siguiente de madrugada;  la predicción es entonces que en los datos de la madrugada del 16 no habremos llegado a 10.000 y en los del día siguiente los habremos superado]

Hasta aquí hemos hablado de casos, es decir, de personas contagiadas. Pero lo realmente grave son los fallecidos. He aquí la gráfica:

Muertes_log_prediccion

Tenemos, con diferencia, la peor evolución. Hemos alcanzado a Italia, pero lo dramático no es eso, sino la pendiente. Las muertes se multiplican por 10 cada 4,8 días. ¿La predicción? 1.000 muertos el 17 de marzo, y 10.000 para el 21 o 22.

[Aclaración (15/03/20): esto significa que conoceremos esos datos el 18 y el 22 o 23]

Todo esto, claro, si no tomamos medidas realmente drásticas, como las de Corea. Aunque ni siquiera así se puede disminuir la pendiente de un día para otro.

[Actualización 16/03/20] Estas son las gráficas actualizadas. La predicción se realizó usando sólo los datos hasta el 13 de marzo. Parece que empiezan a reducirse las pendientes, sobre todo en la curva de fallecimientos. Ojalá se confirme los próximos días…

ContagiosyMuertes_dia16

(por cierto, las gráficas logarítmicas ya se están imponiendo en los medios más prestigiosos: aquí el Financial Times parece que me las hubiera copiado…)

[Actualización 17/03/20] Se va confirmando que desde el estado de alarma (en realidad, desde desde la víspera, día 13, cuando el presidente del gobierno lo anunció sin activarlo aún) cambia la tendencia. De hecho, ahora tenemos la misma pendiente que Italia, lo cual es bastante razonable porque hemos adoptado por fin unas medias parecidas. Ayer, además, el número de fallecimientos quedó bastante por debajo de la predicción: buenas noticias. Aquí están las gráficas:

ContagiosyMuertes_dia17

En el post hacía una predicción concreta, basándome en la tendencia hasta el 13 de marzo: que “si no tomamos medidas realmente drásticas (…) en los datos de la madrugada del 16 no habremos llegado a 10.000 contagios y en los del día siguiente los habremos superado“. ¿Qué ha ocurrido finalmente? Que ayer teníamos 7.844 y hoy 9.942: no hemos superado los 10.000 por muy poco, a pesar de que por fin se han tomado medidas drásticas. El crecimiento exponencial no se para así como así.

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(Más sobre el coronavirus en el siguiente post y en el anterior)

El coronavirus exponencial

Uno de los problemas que estamos padeciendo en esta crisis del coronavirus es la desinformación. No es el más agudo, claro está, pero es importante, porque una sociedad bien informada toma decisiones más racionales, y eso, que siempre es conveniente, se convierte en esencial en una epidemia.

Es verdad que las radios, televisiones y periódicos no hablan de otra cosa, pero sus noticias son a menudo anecdóticas (tal o cual famoso infectado), irrelevantes (¡esas entrevistas a las señoras a la salida del Mercadona!), o, peor aún, buscan la rentabilidad política (y eso que ya hemos visto que el virus no distingue entre partidos: Irene Montero se contagia igual que Ortega Smith).

Incluso cuando los medios elaboran un especial informativo con las “claves para entender el coronavirus de Wuhan”, esa información exhaustiva no nos sirve en realidad para hacernos una idea clara de lo que ocurre. No sirve sobre todo por una razón: aunque pretenden informarnos sobre la evolución de la epidemia, no lo hacen. Lo que hacen es dar los números actualizados de muertos y contagiados. Y con eso no se entiende la evolución.

Entender la evolución de la epidemia es clave porque es lo que nos permite prever, al menos hasta cierto punto, lo que va a ocurrir, y por tanto tomar medidas adecuadas. Pero la evolución de una epidemia es sumamente antiintuitiva. Supongamos que cada infectado contagia a dos personas al día siguiente de ser contagiado y que ya no contagia a nadie más: una suposición muy optimista, que seguro que infravalora el caso del coronavirus. El primer día tenemos un infectado, el segundo dos más, el tercero cuatro más, el cuarto ocho más, y así sucesivamente. ¿Cuántos infectados tendremos al cabo de un mes?

La respuesta es que el día 31 tenemos 2^{31} -1=2.147.483.647: ¡más de dos mil millones! En un par de días más, toda la población mundial habría contraído el virus.

El problema es completamente análogo a la célebre leyenda del inventor del ajedrez, que pidió al brahman la modesta recompensa de un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, etc. No parecía mucho, pero al hacer la cuenta resulta que harían falta las cosechas de trigo del mundo entero durante más de mil años para pagarle (aquí lo explica la Wikipedia, además de demostrar la fórmula que he utilizado).

Quizá lo más interesante de esta historia es que seguramente usted la conoce, pero, a pesar de ello, probablemente ha infravalorado el número de contagios. Si no se toman medidas para evitar el contagio, el crecimiento de una epidemia es exponencial. Y nuestra intuición falla completamente ante un crecimiento exponencial. Incluso aunque estemos avisados, lo subestimamos sistemáticamente. Por eso dar el número de contagiados cada día no sirve. Sólo podemos hacernos una idea de su evolución si nos dan la gráfica. Por ejemplo, esto:

La gráfica la he elaborado yo con datos de esta extraordinaria página, que permite descargar en formato Excel los números actualizados de pacientes contagiados, fallecidos y curados para todos los países del mundo. Para cada país he desplazado el eje horizontal de manera que el día cero sea el día en el que se alcanzó o supero el número de 100 contagiados (he copiado la idea a Mark Handley que viene publicando este tipo de gráficas en su cuenta de Twitter).

Todos los países, salvo Corea a partir del día 7º u 8º, tienen un crecimiento aproximadamente exponencial. Y ya vemos aquí lo antiintuitivo que resulta: a la vista de la evolución de los 5 primeros días, no da la impresión de que se vaya a disparar el crecimiento como ocurre en Italia.

Hay, sin embargo, una manera mucho mejor de representar estos datos, un tipo de gráfica en la que “se les ve venir”. Se trata de poner la escala vertical de manera que las distancias no sean proporcionales a los valores sino a sus logaritmos: es decir, que la distancia entre 1 y 10 sea la misma que entre 10 y 100, entre 100 y 1000, etc. En esta escala logarítmica la gráfica de una exponencial es una recta. Y esto es lo que obtenemos con los datos del coronavirus:

Cualquier recta aquí es una exponencial, y su pendiente indica el tiempo que tarda en multiplicarse por 10 el número de contagiados.

Corea empezó muy rápido (al ritmo inicial, en dos días y medio se habrían multiplicado por 10 los contagios), pero ha conseguido vencer a la exponencial, y en el último tramo va camino de que se deje de aumentar el número de contagiados.

En contraste, los países europeos lo estamos haciendo mucho peor. Italia apenas ha conseguido disminuir la pendiente 18 días después de superar los 100 contagios, mientras que Francia y Alemania muestran una recta casi perfecta: cada 7 días y medio se multiplica por 10 el número de contagiados. El caso de España es el peor: ¡nuestra pendiente tiende a aumentar!

Esto es realmente dramático. Con los últimos datos, el número de casos en España se multiplica por 10 aproximadamente cada 6 días. En esta gráfica, actualizada a ayer, había 2.277 contagiados. Hagan la cuenta: a este ritmo, en 6 días habría 22.770, en 12 días 222.770, en 18 días 2.227.700…

Naturalmente, el crecimiento no puede seguir a ese ritmo: en un mes habría 222 millones y sólo hay 47 millones de españoles. Cuando casi todo el mundo está contagiado, el número diario de nuevos contagios tiene que disminuir a la fuerza. Pero no hace falta decir que esto no es ningún consuelo.

Para terminar, una gráfica que da que pensar: la del número de fallecimientos:

España no lo está haciendo nada bien: llevamos una tendencia peor aún que Italia. ¿Qué han hecho en Corea del Sur, qué hacen en Alemania? Deberíamos copiarlo urgentemente.

Actualización (13/03/2020): Añado gráficas con los datos de ayer; a sugerencia de un lector, ahora represento contagios y fallecimientos por cada millón de habitantes, lo que hace más correcto compararlos… y más evidente que somos el país que tiene una evolución peor (fíjense sobre todo el la pendiente de los últimos días, que es lo realmente crítico)

Contagios_log_dia13

Muertes_log_dia13

[Actualización 16/03/20] Estoy actualizando las gráficas en el siguiente post. El enlace que había utilizado para obtener los datos (este), muy bueno porque permite descargarse un excel con el histórico, no se actualiza desde el viernes, así que los datos nuevos los he obtenido, día a día, del panel informativo de la universidad Johns Hopkins.

España en 1486, según la Geografía de Ptolomeo

Claudio Ptolomeo, que vivió en Alejandría en el siglo II d.C, tiene el mérito de haber escrito tres de los libros más influyentes de la historia: el Almagesto, el Tetrabiblos y la Geografía. El primero es quizá el más conocido: es el tratado que compilaba todo el saber astronómico de la antigüedad, y que los árabes llamaron “el más grande” (eso significa su nombre). El segundo fue la biblia de los astrólogos durante más de mil años. El tercero fue el primer atlas.

Todos hemos tenido entre las manos un atlas y puede parecer que algo tan común es un logro mucho más modesto que los otros dos volúmenes, de nombres esotéricos e imponentes. Creo que es justo al contrario: el hecho de que un atlas nos resulte tan familiar dos mil años después de que Ptolomeo lo inventase demuestra precisamente su  genialidad.

El atlas de Ptolomeo contenía un mapamundi y un conjunto de mapas regionales, cada uno a la escala más apropiada. Pero era mucho más. Empezaba con un tratado cartográfico que explicaba científicamente la determinación de la latitud y longitud, así como una solución (la primera) al difícil problema de representar una superficie esférica sobre el plano. Y la mayor parte del libro la ocupaba una lista con las latitudes y longitudes de todas las ciudades y accidentes geográficos representados.

La Geografía marcó un estándar que fue seguido por todos los atlas durante siglos, hasta la actualidad: es asombroso ver que el índice de los que se publican hoy sigue siendo muy similar al de Ptolomeo, con el mismo listado y las mismas explicaciones cartográficas.

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Mapamundi de la Geographia de Ptolomeo, traducida por Jacopo d’Angelo y publicada en 1467 en el monasterio de Reichenbach [Fuente: Wikipedia commons]

Los mapas originales no sobrevivieron durante la Edad Media, pero el listado de lugares y las descripciones de las proyecciones cartográficas sí se conservaron, y permitieron reconstruirlos a los estudiosos bizantinos. La Geografía fue traducida al latín a principios del siglo XV por Jacopo d’Angelo, uno de los primeros humanistas italianos, que había aprendido griego con el embajador bizantino Manuel Chrysoloras, y viajado con él a Constantinopla en 1395. La Europa medieval no conocía nada parecido, y la traducción, aunque fue criticada por sus imprecisiones (d’Angelo no era matemático ni astrónomo) fue un best seller, en una época en la que todavía los libros se copiaban manuscritos.

Una de las primeras ediciones impresas de la Geografía fue la publicada en Ulm por Johannes Reger en 1486. Aquí tenemos el mapa de la Península Ibérica:

(observen las escalas vertical y horizontal que indican, respectivamente las latitudes y las longitudes… aunque, obviamente, estas últimas no se medían respecto al meridiano de Greenwich).

La Biblioteca de Castilla-La Mancha en Toledo posee un ejemplar de este libro, y podemos hojearlo en la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, en concreto, en este enlace. Curioseando por sus páginas he encontrado (en la 243) este mismo mapa, un poco más sucio pero a una escala excepcionalmente detallada, tanto que permite leer los nombres de las ciudades (haciendo click para verlo con una resolución muchísimo mayor):El lector curioso puede entretenerse buscando sitios conocidos, aunque no lo facilita que estén en latín… Pero curiosamente, en esta edición los mapas están duplicados, y tres páginas después tenemos esta versión “política” de la península, con los nombres contemporáneos (de nuevo click para verlo en detalle):

Aquí ya no aparecen latitudes y longitudes, el contorno no es precisamente igual al anterior y las montañas, que siguen pareciendo pegotes de plastilina, son muchas más y no están en los mismos sitios…

Intrigado por estas discrepancias, me he preguntado hasta qué punto eran exactas las coordenadas del atlas, y hasta qué punto las siguió Johannes Reger. Pero no les voy a decir mis conclusiones. En lugar de eso, para que puedan sacarlas ustedes mismos, aquí tienen una tabla de longitudes (el primer número) y latitudes (el segundo), sacadas de las tablas del libro (están entre las páginas 118 y 125 del libro, pueden consultarse en este enlace), para algunos lugares reconocibles:

Corduba (Córdoba): 9º 1/3, 38º 1/3
Italica (Sevilla): 7º, 38º
Sacrum Promontorium (Cabo de San Vicente): 2º 1/2, 38º 1/4
Salmantica (Salamanca): 8º 1/2, 41º 1/3
Cartago Nova (Cartagena): 13º, 37º 1/3
Emporie (Ampurias): 18º 1/2, 42º 1/3
Lucus Augusta (Lugo): 7º 1/3, 43º 1/3
Complutum (Alcalá de Henares): 10º 1/2, 41º 1/2
Toletum (Toledo): 10º, 41º
Palma (Palma de Mallorca): 17º 1/6, 39º 1/4

… por si alguien tiene la paciencia que me ha faltado a mi 😉

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P.S.: Gracias a mis alumnos del curso Las ideas de la ciencia, cuyos comentarios me han inspirado este post.

No es esto, no es esto

José Ortega y Gasset fue un activo impulsor de la República, en la que veía la solución para muchos de los males endémicos de España. Por fin en abril de 1931 cayó la monarquía y se instauró el nuevo régimen. Pero resultó ser muy distinto de la República que quería Ortega. Ya en septiembre de 1931, publicó un artículo que se hizo célebre, y que se cerraba con estas palabras: “no es esto, no es esto”.

Pues bien: salvando las (enormes) distancias, donde pone Ortega pónganme a mí, y donde pone República pongan Divulgación Científica. Y ahora vean esta actuación que ha recibido el premio Famelab de monólogos científicos, entregado nada menos que por la Princesa de Asturias:

No es esto, no es esto.

Lo único que me consuela es que, por muy mal que esté la divulgación científica, no puede acabar tan mal como la 2ª República.

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Actualización: Como era de esperar, esta es la divulgación que encanta a los medios: “Un biólogo con gracia que hace reír a Letizia”, dice El Mundo