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La EvAU en el mundo real: el desenlace

¿Qué fue de Diego, el alumno que conocimos en el post anterior queriendo entrar en Medicina? Hoy ya conocemos el desenlace. De todos los mundos posibles considerados por la estadística, el que se materializó fue este:

AjusteNotasCorte2018

Esta gráfica es la misma que vimos en el post anterior, con la única diferencia de que aparece un punto más, el de la nota de corte de 2018. Y está justo sobre la recta, es decir, que nuestra extrapolación se ha cumplido casi con toda exactitud: Diego ha podido matricularse en Medicina, en la Universidad de Alcalá.

Ahora podríamos decir triunfantes: ¡así funciona la ciencia! Pero no sería honrado. Las extrapolaciones lineales no siempre aciertan, y en este punto conviene ver cómo ha sido la evolución de las otras universidades de Madrid:

EvolucionNotasCorte2018

A la vista de la gráfica, tenemos que abandonar el triunfalismo, y nos vemos incluso tentados a pasar al extremo opuesto: parece que, en realidad, la única universidad en la que la extrapolación lineal ha acertado es la de Alcalá… Pero una vez más, no sería una buena conclusión. Decir que la extrapolación “ha acertado” es una simplificación, un titular periodístico que traiciona su esencia, que es estadística. El valor que nos proporciona la recta de ajuste en 2018 sólo es el valor más probable de acuerdo con nuestro modelo lineal. Pero no siempre el valor más probable es el que ocurre (ya vimos en el post anterior que había una distribución en torno a ese valor, y que podíamos trazar unos márgenes que acotaban su probabilidad) y no siempre las cosas son lineales.

La suposición de una variación lineal es la más sencilla, y por eso es razonable cuando los datos no nos sugieren lo contrario, como ocurría aquí. Pero incluso con estos datos había alguna razón para sospechar posibles desviaciones de la linealidad, al menos en dos casos.

Un caso es el de la Universidad Autónoma: dado que la nota máxima posible es 14 y ya el año pasado su nota de corte se estaba aproximando a ese valor, era previsible que el crecimiento se ralentizara, tal como ha ocurrido. Y otro es el de la Universidad Rey Juan Carlos… por motivos bien diferentes, que están en la mente de todos: por mucho que los recientes escándalos no hayan afectado a la facultad de Medicina, era previsible cierto efecto de contagio.

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La EvAU, la nota de corte y los mundos posibles

Estos días, miles de alumnos que hace poco conocieron la nota de la EvAU (antes llamada Selectividad) se enfrentan a una decisión que va a marcar su futuro: elegir carrera.

La cuestión no es aprobar (lo consiguen más del 90% de los presentados) sino sacar una nota suficientemente alta para ser admitido, algo que sólo resulta difícil en unas cuantas titulaciones, las más demandadas.

Así que si un estudiante madrileño (llamémosle Diego) quiere ser ingeniero de caminos, puede respirar tranquilo porque la nota de corte en la Politécnica de Madrid es un 5. Sin embargo, si su sueño es ser médico, el panorama es muy distinto: en la Autónoma necesitará un astronómico 13,11 (recordemos que la máxima nota posible es un 14) y en la Universidad de Alcalá, la que tiene nota de corte más baja en la Comunidad de Madrid, un 12,747, que no es precisamente fácil de alcanzar. Pero nuestro Diego es un excelente estudiante y ha sacado un 12,854. ¿Puede respirar tranquilo entonces?

No está tan claro. La nota de corte que ha encontrado en la web es la del último alumno que se matriculó el año pasado, en 2017, y lo que importa es la nota del 2018. No la puede saber, claro, pero puede preverla basándose en la evolución de los últimos años. Con un rato de googleo encuentra estos datos:

2012: 12,229       2013: 12,396       2014: 12,422       2015: 12,543       2016: 12,575       2017: 12,747

Malas noticias: la nota del corte está subiendo como la espuma; en cinco años, un poco más de 5 décimas. Si sube a una décima por año, se pondría en 12,877 en el 2018 y ¡se quedaría sin entrar!

Pero no hay que alarmarse todavía. Podemos hacer una predicción mejor, si sabemos cómo procesar mejor estos datos… como lo haría por ejemplo un físico. A Diego no se lo han enseñado en el bachillerato, así que vamos a hacer el trabajo por él.

Lo primero es recabar más datos. No cuesta mucho tener los de todas las universidades madrileñas, y lo mejor es ponerlos en un gráfico:

EvolucionNotasCorte

Se confirma que la tendencia ascendente es universal, y muy acentuada: hace sólo 2 años, en 2016, Diego habría entrado en cualquier universidad de Madrid; en 2017, sólo en la Rey Juan Carlos y la de Alcalá. En 2018… es lo que hay que ver.

En lugar de mirar al pasado, tenemos que mirar al futuro y extrapolar. Centrémonos en el caso más favorable, el de Alcalá. En lugar de unir los puntos como antes, vamos a dibujar una línea de tendencia (hay una manera matemáticamente rigurosa de hacerlo, que se llama regresión lineal, pero sale casi igual de bien a ojo, con una regla). Voilá:

AjusteNotasCorte

Esta es una gráfica más profesional… y más tranquilizadora: vemos que la extrapolación de la nota de corte en medicina en la universidad de Alcalá para el 2018 queda por debajo de la nota de Diego. Es fácil ver por qué antes teníamos una predicción distinta: fijarnos en el incremento total de la nota de corte en estos años es cómo trazar una línea sólo con los puntos primero y último, que tiene más pendiente que la recta de ajuste correcta.

Ahora bien, ¿cómo de tranquilos podemos estar? Sería arriesgado decir con estos datos que Diego va a entrar: en realidad, lo que nos dice nuestra gráfica es que es lo más probable es que entre. ¿Podríamos cuantificar esta probabilidad?

Pues sí: pensando en la tranquilidad de Diego (y de sus padres), hace tiempo que los matemáticos dieron con una forma de hacerlo… que además se basa en algo que Diego sí ha estudiado: la distribución normal de probabilidad, la famosa campana de Gauss, esa de la que le han dado una tabla en el examen de la EvAU…

Pero ¿cómo es que podemos hablar de probabilidades? Cada año, la nota de corte es la que es ¡no hay ninguna “distribución de probabilidades”! Es cierto, pero no subestimemos el ingenio de los matemáticos. Podemos dar un giro a nuestra manera de ver el asunto.

Supongamos que nuestro mundo es sólo uno de los muchos mundos posibles. Supongamos que en cada mundo hay una nota de corte, que están distribuidas según una distribución normal (porque ¿de qué otra manera iban a estarlo?), y que la bonita variación lineal que hemos llamado “ajuste” es el promedio de las notas de corte en todos los mundos posibles. Entonces, las notas de corte que hemos observado de hecho en nuestro mundo (los puntos de la gráfica) se desviarán de esa recta como cabe esperar que se desvíen de la media las muestras extraídas de una distribución normal.

Lo interesante es que esta idea nos permite averiguar cómo es esa distribución: como le han explicado a Diego en el bachillerato, una distribución normal  tiene una anchura dada por el parámetro σ (sigma: la desviación típica), de modo que el 68% de los valores está comprendido en un intervalo de ± σ en torno a la media. Así que podemos saber la σ de la distribución de notas (en todos los mundos posibles) trazando el intervalo en torno a la línea de medias (la recta de ajuste) que contiene el 68% de las observaciones, es decir, 4 de 6. Aquí está:

AjusteConIntervalo

En la banda definida por las dos líneas grises hay cuatro datos: el 68% de los 6 que tenemos. La anchura de esa banda es pues  σ, y sólo tenemos que ver a cuánta distancia está Diego de la línea de ajuste, medida en unidades de σ. Se ve en la gráfica que está a un poco más de una sigma; si lo medimos bien, resulta ser 1,37 sigmas. Y ahora, con una tabla como la del examen de la EvAU, podemos ver que la probabilidad de que un valor esté a una distancia de la media menor o igual que 1,37·σ es del 91%.  Eso significa que en el 91% de los universos posibles, el valor de la nota de corte en 2018 está por debajo de la de Diego: puede respirar tranquilo.

O para ser precisos, un 91% tranquilo…

*

Nota: Los lectores con buena vista habrán observado que las dos líneas grises no son exactamente paralelas, sino que se abren al alejarnos del centro de la gráfica. Y los lectores expertos en estadística sabrán por qué. Pero el post es demasiado largo ya para explicarlo, y lo mejor del asunto es que ese tecnicismo no tiene mucha importancia en realidad…