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¿Realmente se ve Gibraltar desde el Pico Veleta?

En el post anterior decíamos que en una Tierra plana nuestra visión sólo estaría limitada por las condiciones meteorológicas: si fueran ideales, llegaríamos a ver el fin de la Tierra, independientemente de nuestra altura sobre el  suelo. Pero la Tierra es una esfera, y por eso, a medida que nos alejamos, el suelo se va hundiendo respecto de nuestro nivel: los objetos lejanos que están allí van dejando de verse. Ese límite de nuestro campo visual es el horizonte.

Lo que no hemos explicado es cómo depende ese horizonte de nuestra altura. Es fácil de entender con ayuda de un dibujo:

Calculo_horizonte

Si estamos subidos a la montaña, trazamos desde ahí la línea l tangente a la circunferencia. En el punto de tangencia es dónde se acaba nuestro campo de visión: los puntos más alejados quedan por debajo del horizonte. Está claro que si la montaña es más alta, el horizonte queda más lejos (líneas rojas finas).

La distancia de ese horizonte se puede calcular fácilmente usando el teorema de Pitágoras: la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir,

(r+h)^2 = r^2 + l^2

Lo que nos permite despejar la distancia l:

l = \sqrt{2 r h + h^2} \approx \sqrt{2 r h}

(la ecuación aproximada se basa en que h<< r).

¿Será cierto entonces que desde el Pico Veleta, como dice la Wikipedia, se puede divisar Gibraltar? La distancia en línea recta son 204 km (lo he medido en Google Maps con la opción “medir la distancia”, que aparece con el botón derecho del ratón). El radio de la Tierra lo podemos aproximar por r=6400 \, km y la altura del Veleta por h=3.4 \, km. Obtenemos entonces l=208,61 \, km con la fórmula aproximada y l=208,64 \, km con la exacta: ¡sí se puede ver Gibraltar desde el Veleta! (y comprobamos de paso que la aproximación es muy buena…)

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Distancia en línea recta del Pico Veleta a Gibraltar

Un par de observaciones:

  • Este resultado proporciona un método insospechado pero muy sencillo para medir la altura de una montaña: simplemente, encontrar a qué distancia está el punto más lejano que podemos divisar y despejar de la fórmula h en vez de l. Tiene un inconveniente obvio: ese punto tiene que estar a nivel del mar (o al menos tenemos que saber su altura…)
  • Un detalle para los puristas: hemos calculado la distancia en línea recta, l, pero lo que viene en los mapas y debiéramos calcular es s, la distancia medida a lo largo de la superficie de la Tierra. Está claro que mientras h sea pequeña deben ser muy parecidas, pero ¿cómo se podría encontrar s en general? Lo dejo para el lector, que no voy a hacer yo todo el trabajo…
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El mirador y la forma de la Tierra

Hay lugares desde los que se divisa un panorama privilegiado, miradores que atraen a los turistas y que incluso se señalan en los mapas con un símbolo propio. Aquí tienen, por ejemplo, el mapa Michelin de los alrededores de Granada:

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Mapa de Sierra Nevada (sacado de http://www.viamichelin.es/)

Ahí están esas rayitas azules que salen del Pico Veleta, y también de un punto unos km antes en la carretera. A veces lo que hace que la vista sea especial es el paisaje del entorno, pero más a menudo es la lejanía de los horizontes lo que nos atrae. Así, leemos en la Wikipedia sobre el mirador del Veleta que “la vastísima panorámica que ofrece es realmente impresionante (…) Si las condiciones meteorológicas acompañan puede contemplarse gran parte de la provincia de Jaén y sus sierras Mágina, Cazorla y hasta Sierra Morena (…) e incluso el Peñón de Gibraltar” Estos miradores tienen siempre una cosa en común: son lugares altos (el Pico Veleta está a 3395 m sobre el nivel del mar). Una obviedad, pensará el lector: ¡Pues claro que vemos más lejos si nos subimos más alto! No tan deprisa. ¿Realmente es obvio que desde más alto tenemos que ver más lejos? Durante casi toda la historia de la humanidad se ha pensado que la Tierra es plana: eso sí que es evidente. Y sin embargo, en una Tierra plana ¡se vería igual de lejos desde el balcón de un primer piso que desde lo alto del Pico Veleta! En realidad, “si las condiciones meteorológicas acompañan”, claro, como bien dice la Wikipedia… ¡se vería hasta el fin de la Tierra!

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

En una Tierra plana, nuestro campo de visión llega hasta el borde de la Tierra, independientemente de nuestra altura.

Se dice a menudo que una prueba de la esfericidad de la Tierra es que cuando un barco se aleja en el mar, desaparece primero el casco, luego el mástil, y al final la bandera, según se va hundiendo en el horizonte. Es cierto, pero en lo que no se suele caer es en que la cosa es más sencilla: la misma existencia del horizonte (es decir, de una línea en la que se acaba nuestro campo visual) es una demostración de que la superficie de la Tierra se curva. Y el hecho de que ese horizonte esté a la misma distancia en todas direcciones (siempre que el suelo sea plano, como pasa en al mar), demuestra que la curvatura es la misma en todas direcciones: vivimos en una esfera. Recuérdenlo cada vez que vean esas rayitas azules en los mapas de Michelin…