Etiquetado: óptica

El interferómetro de Michelson: de la Relatividad Especial al escándalo Volkswagen

¿Tiene algo que ver la teoría de la Relatividad Especial de Einstein con el reciente escándalo de las emisiones contaminantes de los vehículos Volkswagen?

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En la ciencia y la técnica todo está relacionado, pero en este caso el vínculo es más próximo de lo que pudiera pensarse. Se trata de un curioso y sencillo dispositivo: el interferómetro de Michelson. Su historia es un interesante ejemplo de las imprevisibles relaciones entre ciencia y tecnología. La cuento aquí, en un artículo en el último número de la revista e-medida, publicada por el Centro Nacional de Metrología.

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El cocodrilo reconsiderado

Terminamos el post anterior diciendo que el problema del cocodrilo, bien entendido, tiene también su interés desde el punto de vista físico. Vamos a ello.

Como vimos, en el enunciado nos dicen que el tiempo para ir de C (cocodrilo) a Z (cebra) por el camino marcado es:

t(x) = 5 \sqrt{36 + x^2} + 4(20-x)

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¿De dónde sale esta fórmula? Nos la dan gentilmente, así que para resolver el problema no hace falta preguntárselo: la aceptamos y punto. Pero la actitud científica consiste precisamente en no limitarse a aceptar las cosas y punto. Así que, ¿de dónde sale la fórmula?

Si el cocodrilo va a velocidad constante v_A por el agua y v_T por tierra, y las distancias respectivas que recorre son d_A y  d_T, el tiempo que tardará será:

t=\frac{d_A}{v_A} + \frac{d_T}{v_T}

Pero a la vista del dibujo, y usando el teorema de Pitágoras para calcular d_A, tenemos que el tiempo, en función de la distancia x, es:

t(x)=\frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v_A} + \frac{20-x}{v_T}

Y basta con comparar con la ecuación del enunciado para ver que y=6, v_A=1/5, v_T=1/4. Las unidades de la distancia son metros y las de las velocidades, metros por décima de segundo, así que tenemos que v_A= 2 m/s y v_T = 2,5 m/s.

Ahora empezamos a entender dónde está la gracia del problema. Si el cocodrilo fuera más rápido por agua que por tierra, estaría muy claro lo que tiene que hacer: ir en línea recta. Pero como va más rápido por tierra, puede interesarle dar un pequeño rodeo, recorriendo parte del trayecto por la orilla opuesta: la longitud total recorrida será mayor, pero  puede que el tiempo sea menor. Y ahora no es nada evidente cómo tiene que dar el rodeo: tenemos un problema de optimización.

Lo mismo ocurriría en el caso más general de que la cebra no estuviera a la orilla sino más hacia el interior. Este caso es completamente análogo al del clásico problema del socorrista que ve desde la playa que un bañista se está ahogando.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible.

El socorrista (S) quiere alcanzar al bañista que se ahoga (B) en el menor tiempo posible. Los ángulos los necesitaremos luego. De momento, llamamos con el subíndice 1 a todo lo que está a la derecha y con 2 a todo lo que está a la izquierda.

¿Qué tiene que hacer para llegar lo antes posible? Teniendo en cuenta que el socorrista, como el cocodrilo, corre más deprisa que nada, la mejor estrategia no será ir en línea recta. Conviene correr por tierra el todo lo posible… o quizá no: si corremos hasta p’, enfrente del bañista, probablemente estemos alargando demasiado nuestro recorrido, alejándonos demasiado de la recta. Seguramente lo mejor será un compromiso entre velocidad rápida y recorrido corto, un punto como p, que dependerá de la proporción entre las velocidades del socorrista cuando corre y cuando nada.

Cuál es ese compromiso no es nada evidente, pero aquí entra en juego la magia del cálculo diferencial, que nos dice que el tiempo mínimo se consigue cuando la derivada de ese tiempo es cero. Con más precisión: tenemos que escribir una fórmula que nos de t en función de la posición de p (es decir, en función de x1), y el valor de  x1 que haga que la derivada sea cero será el valor para el que t es mínimo.

¡Manos a la obra! A la vista del esquema está claro que:

t=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}{v_2}=\frac{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(h-x_1)^2 + y_2^2}}{v_2}

ya que x_2 = h-x_1. Derivando e igualando a cero:

\frac{d t}{d x_1} = \frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} - \frac{h- x_1}{v_2 \sqrt{(h-x_1)^2 +y_2^2}} =0

y sustituyendo ahora h-x_1=x_2,

\frac{x_1}{v_1 \sqrt{x_1^2 +y_1^2}} = \frac{x_2}{v_2 \sqrt{x_2^2 +y_2^2}}

Pero
\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2 +y_1^2}}= sen \theta_1 y \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2 +y_2^2}}= sen \theta_2

así que la condición que cumple el punto p podemos ponerla de esta manera:

\frac{sen \theta_1}{v_1} = \frac{sen \theta_2}{v_2}

¡Un resultado realmente sencillo! Pero lo mejor de todo es que es un resultado muy conocido: ¡es justamente la ley de Snell de la refracción de la luz! El camino que debería recorrer el socorrista es el camino que recorre la luz cuando atraviesa la intercara entre dos medios en los que se propaga a diferente velocidad.

Fue el genial Pierre de Fermat (el del último teorema) quien estableció que…”El trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es un mínimo“. Una idea de una suprema elegancia, de la que habría mucho que hablar… pero ya basta por hoy: no dirán que no nos ha llevado lejos el cocodrilo, ¿no?

*

Propina: El lector que no se haya aburrido todavía puede comprobar por sí mismo que el caso del cocodrilo (que está situado justo en la orilla, es decir, en la intercara entre los dos medios) se corresponde justamente con lo que en óptica se llama reflexión total, en concreto al caso de ángulo crítico. Curioso que la caza de cebras, o el rescate de bañistas, resulten ser análogos a la óptica de los prismas, ¿verdad?

Charles Townes y la injusticia de la fama

Si la fama es siempre injusta, con los científicos lo es mucho más. Pregunten a los españoles y les dirán a lo sumo dos nombres: Stephen Hawking (cuya fama se debe sobre todo a padecer ELA y a sus declaraciones de teología-ficción) y Eduard Punset (que no es científico sino economista, pero que lleva los pelos a lo Einstein).

Pregunten a cualquiera por Charles Townes, por ejemplo, y su interlocutor, como mucho, les responderá ¿Charles qué? Y sin embargo, es muy probable que esa persona, ese mismo día, haya usado el invento de Townes: quizá en la oficina ha impreso unos folios, en casa ha visto un DVD o escuchado un CD, o ha enviado un whatsapp que, en algún momento, ha sido un pulso de luz láser en una fibra óptica. ¡Hasta yo hice mi tesis sobre el invento de Townes!

En efecto: Charles Townes fue el padre del láser, hazaña por la que recibió el Nobel de Física en 1964. Hay que matizar que no fue el único inventor: los pioneros rusos Nikolai Basov y Aleksandr Prokhorov compartieron el premio, y debemos añadir a su colaborador Arthur Schawlow y a Theodore H. Maiman, el primero en fabricar un láser operativo. Pero el papel decisivo lo jugó Townes, y así lo ha reconocido la comunidad científica.

La historia acaba poniendo a cada uno en su lugar, y yo confío en que dentro de 100 años Townes será por fin más reconocido que Belén Esteban. Mientras tanto, les dejo mi granito de arena: la necrológica que me encargó el ABC y que salió publicada el pasado viernes. El texto de la web lo he copiado a continuación, y la versión en papel está en este pdf.

Descanse en paz uno de los grandes del siglo XX.

*

Adiós al físico que consiguió disciplinar la luz con su invento del láser

Día 30/01/2015 – 11.32h

Los fotones de la «luz coherente» del láser son como una tropa de soldados marchando en formación, listos para abordar cualquier misión: leer un DVD o cortar una plancha de acero

El libro de los Proverbios dice de la sabiduría: «Larga vida hay en su mano derecha, en su mano izquierda, riquezas y honra». Seguro que Charles Townes, que fue toda su vida un devoto cristiano, conocía bien un versículo que parecía escrito para él. Vivió (casi) cien años, fue uno de los físicos más respetados del siglo XX, y aunque no consiguió grandes riquezas para sí mismo, su invento, el láser, mueve hoy cada año cerca de 20 mil millones de dólares.

Cuando en 1958 publicó su artículo «Infrared and optical masers», Townes no tenía en mente los CDs, las impresoras láser, las comunicaciones por fibra óptica, las armas de la «guerra de las galaxias» (la del cine y la de Ronald Reagan) o la cirugía ocular. Y mucho menos el último gran éxito: la depilación láser.

Townes había pasado la guerra desarrollando sistemas de radar, lo que le había convertido en un experto en microondas, y su objetivo era usar esta radiación para estudiar moléculas en lugar de detectar aviones enemigos. Pero tenía un problema: necesitaba una fuente de radiación intensa y pura, algo que parecía imposible de conseguir. Una mañana, de viaje en Washington, se despertó antes de tiempo, y se sentó en un parque, esperando que se hiciera la hora del desayuno en el hotel. Allí, en un momento de inspiración, vio de repente la solución. Apuntó la idea en un trozo de papel y de vuelta a la Universidad de Columbia se puso a trabajar. Dos años después había creado, con sus colaboradores, el primer máser de amoníaco. Cinco años más tarde, con su cuñado Arthur L. Schawlow, consiguió el mismo efecto de amplificación con luz visible: el máser (con m de microondas) se había convertido en láser (con l de luz: es el acrónimo de Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation).

Cuando se emite luz, es porque en un átomo un electrón «cae» de un nivel de alta energía («excitado») a otro de baja energía, y esa energía sobrante se desprende en forma de fotones. En un objeto caliente, como el filamento de una bombilla, hay muchos electrones «excitados», pero esa emisión, aunque sea intensa, es desordenada: el equivalente óptico de un ruido, ondas de frecuencias diferentes y mutuamente desfasadas al azar. En aquel banco del parque, Townes cayó en la cuenta de cómo fabricar un diapasón óptico: una fuente emisora de una frecuencia absolutamente pura. La idea era usar la emisión estimulada, un sorprendente fenómeno que había sido predicho por Einstein en 1916. Aquí, un fotón desencadena la emisión de otro fotón pero no aleatoriamente: el nuevo fotón tiene exactamente la misma frecuencia que el inicial y está en fase con ella. Este, a su vez, provoca más emisiones, de modo que en determinadas condiciones podría crearse una reacción en cadena, que amplificara enormemente la intensidad de la luz inicial. Si los fotones de la luz ordinaria de una bombilla son como una multitud desordenada, los de la «luz coherente» del láser son como una tropa de soldados marchando en formación, listos para abordar cualquier misión: desde leer un DVD a cortar una plancha de acero.

El telescopio contra Copérnico (II): Estrellas, telescopios y artefactos

(viene del post anterior)

Lector: ¿O sea que las estrellas no se veían como puntos en el telescopio? Yo estaba convencido de que es imposible distinguir su tamaño…

Autor: Y es verdad: no se puede distinguir su tamaño. Pero aún así, parecen pequeños discos.

L.: ¡Pues no lo entiendo!

A.: Ahora se lo explico, pero tengo que dar un rodeo.

L.: Ya estoy acostumbrado: tendré paciencia.

A.: Como sabe, la luz es una onda, y las ondas se caracterizan porque dan lugar a interferencias. Es decir, que cada vez que dos ondas coinciden en la misma región del espacio, la intensidad de la luz no es simplemente la suma de las intensidades, sino que puede ser mayor que la suma (y se dice que es interferencia constructiva) o menor que la suma (y entonces se llama interferencia destructiva).

L.: Eso lo he oído decir más de una vez, pero si le digo la verdad no lo entiendo mucho. Yo lo que veo es que cuando enciendo dos luces, por ejemplo, los dos haces de luz de los faros de un coche, la intensidad de luz parece más o menos la suma… Vamos, que no veo las famosas interferencias.

A.: Es cierto, pero es que estos efectos de interferencia son bastante sutiles… para empezar dependen mucho de la longitud de onda (es decir, del color). La luz blanca de los faros contiene todos los colores, y para algunos la interferencia sería destructiva mientras que para otros sería constructiva, de manera que el efecto global quedaría muy desdibujado. Pero sobre todo hay otro efecto que destruye las interferencias, y es que la luz  emitida por las fuente “normales”, como el faro de un coche, es lo que se llama “incoherente”.

L.: ¿Y eso qué significa?

A.: Eso quiere decir que si un faro emite luz durante, digamos, un segundo, no es que emita una onda con una duración de un segundo, sino que emite, por ejemplo, mil millones de onditas cada una con una duración de una milmillonésima de segundo. Lo mismo ocurre con el otro faro, de manera que cuando la luz de un faro coincide en la misma región con la luz del otro, y se superponen unas y otras onditas, la interferencia a lo mejor es constructiva durante una milmillonésima de segundo, pero a continuación a lo mejor es destructiva, luego es algo intermedio… y en resumen, el efecto es que se compensan unos casos con los otros y no se aprecia ninguna interferencia.

L.: Pero si las interferencias no se aprecian nunca, ¿qué tienen que ver con lo que discutíamos del tamaño aparente de las estrellas vistas por el telescopio?

A.: No he dicho que no se aprecien nunca, sólo le estaba explicando por qué en la mayor parte de las situaciones no se ven. Pero a veces sí se notan sus efectos. Por ejemplo, los colores del arcoíris que se ven en un CD son un efecto de interferencia. Y luego hay fuentes de luz especiales, los láseres, que emiten luz monocromática (de un solo color) y con ondas de larga duración (o sea, luz coherente). Con los láseres es mucho más fácil ver interferencias…

L.: Pero sigo sin ver la relación con lo de las estrellas…

A.: En seguida llegamos. Hay toda una serie de efectos debidos a las interferencias que aparecen cuando la luz se encuentra con un obstáculo o pasa por una apertura, como una rendija en una ventana, o el agujerito de entrada a una cámara… o a un telescopio. Se llaman difracción, pero lo de menos es el nombre. Lo que importa es que por culpa de estos efectos de interferencia, cuando enfocamos con un telescopio una fuente puntual, como una estrella, la imagen que conseguimos no es un punto, sino que tiene un cierto tamaño.

L.: ¿O sea, que no es posible enfocarla perfectamente, siempre se ve algo borrosa?

A.: Bueno, no es eso exactamente. Lo que significa es que incluso con unas lentes perfectas y enfocando perfectamente, lo mejor que obtenemos es una mancha. Esto es por culpa del efecto de las interferencias en la apertura de entrada al telescopio. Por eso, cuanto más grande sea la apertura por la que entra la luz, menor es el efecto de la difracción: grosso modo, el diámetro de la mancha es inversamente proporcional al diámetro de la apertura. Si miramos la estrella a ojo desnudo, la apertura es nuestra pupila; si lo hacemos con un telescopio, la apertura es el objetivo: será mayor y veremos una mancha más pequeña, pero todavía una mancha. Nunca vemos un punto.

L.: ¿Entonces, cuando miramos una estrella a ojo desnudo, lo que vemos es un pequeño disco, en lugar de un punto? No lo tengo yo tan claro… siempre se pintan las estrellas como puntos con rayos, y si pienso en lo que veo cuando lo miro por la noche al cielo, diría que es un punto que se mueve un poco, que titila…

A.: Lo que pasa es que la luz de la estrella nos llega a través de la atmósfera, y según lo calmada o turbulenta que esté, sus rayos se desvían y dan lugar a ese efecto de titilación:

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(es una simulación informática, no es una imagen real, lo he sacado de esta página). Pero en una atmósfera perfectamente en calma, las estrellas parecen “puntos gordos”:

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Curiosamente, en condiciones ideales, se ve incluso un anillo o hasta varios… algo muy típico de las interferencias, por cierto. Aquí tiene una imagen de un caso ideal:

airy_disc(sacado de aquí)

Aunque sin telescopio nunca se ven esos detalles de anillos y demás, los astrónomos antiguos tenían claro que las estrellas no eran puntos, y las atribuían un tamaño angular entre 0,25 y 2 minutos de arco. Muy pequeño, pero no cero.

L.: ¿Y con el telescopio, que tamaño medían?

A.: Como era de esperar, mucho más pequeño, porque las aperturas son mayores. Venían a tener diámetros cinco o diez veces más pequeños, dependiendo del brillo… pero como el telescopio permitía medir ángulos mucho menores, el tamaño se apreciaba perfectamente.

L.: No me había dicho que el tamaño dependiera del brillo. ¿Es que esa difracción de la que me hablaba depende de la intensidad de la luz?

A.: No, pero pasa una cosa muy curiosa. Ya ha visto el aspecto que tiene la mancha, pero se aprecia mucho mejor en una gráfica de la intensidad a lo largo del diámetro. En esta figura se ve para dos estrellas, una más intensa y otra menos:Airy_function_recortada

El ojo tiene un cierto umbral de sensibilidad, lo que significa que por debajo de cierta intensidad de luz ya no ve nada. En la gráfica se ve que la existencia de ese umbral hace que parezcan más grandes las estrellas más luminosas… cosa que parece muy natural ¡pero es un artefacto del instrumento y de la sensibilidad del ojo!

L.: ¿Cómo que un “artefacto”?

A.: Quiero decir, un efecto del instrumento, que no corresponde a algo real. Es curioso que cuando Galileo empezó a usar el telescopio, una de las pegas que le ponían sus archienemigos aristotélicos era que lo que se viera por ese tubo no tenía por qué ser real, sino que a lo mejor era el propio tubo el que lo producía. O sea, sospechaban que podía producir artefactos. Cuando leemos hoy en día eso, nos parecen unos escrúpulos ridículos porque estamos acostumbrados a usar aparatos ópticos como las cámaras o los prismáticos, y pensamos que no afectan nada a la imagen… pero aquí tenemos un ejemplo de que sí la afectan, y de una manera que puede tener importantes consecuencias teóricas.

L.: Bueno, parece que por fin llegamos a las consecuencias de todo esto sobre la distancia de las estrellas… Ya era hora, pero si no le importa, mejor lo dejamos para otro rato, que tanto artefacto me ha dejado la cabeza borrosa.

A.: Claro… el próximo post acabamos.

Explorando el Exploratorio

El Exploratorio del Museo de las Ciencias de Valencia es un espacio del primer piso, oscuro y lleno de gente, en el que se acumulan los experimentos interactivos en los que está “prohibido no tocar”: el corazón de todo museo de la ciencia desde que Frank Oppenheimer creó el Exploratorium original en San Francisco.

Dos imágenes del Exploratorio del Museo de las Ciencias de Valencia

Cada experimento tiene una breve explicación e invita a realizar una actividad. Y aquí empiezan los problemas. La mayoría de las explicaciones no se entienden, hablan de cosas que faltan o no se corresponden con lo que ocurre.

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Por ejemplo, lo primero que se encuentra uno es un montaje de tres espejos en ángulo recto (arriba). El cartel se titula “EL OJO ARRINCONADO” y dice “El retrovisor te tiene arrinconado. Reenvía la luz por donde vino”. A continuación, cuenta lo que hay que hacer (en verde cursivo, mis reacciones):

Observa y experimenta:

Cierra un ojo. Mira hacia el ángulo donde convergen los tres espejos. Mueve la cabeza y fíjate en que la pupila de tu ojo abierto siempre apunta hacia dicho ángulo. [Hago esto y sí, aunque se ve muy mal con la oscuridad, parece que mi pupila se mantiene en el rincón, pero no me parece sorprendente.]

Abre los ojos. La esquina te parecerá más cercana del ojo que tengas más fuerte o dominante. [No lo entiendo bien ¿Se supone que tengo que ver el rincón donde confluyen los tres espejos más cerca de un ojo que de otro? No noto nada.]

Ves tu imagen invertida y al revés de la imagen normal reflejada en un espejo. Es que estás viendo una cadena de tres reflexiones. [La frase es confusa. Todos los espejos invierten la izquierda y la derecha. Lo que veo es mi imagen cabeza abajo (de hecho, se me ve en la figura, sujetando la cámara de fotos). No sé si se refiere a eso cuando dice “al revés de la imagen normal reflejada en un espejo”. Por lo demás, la imagen tiene también invertida la izquierda y la derecha.] Mira el reflejo de la llave en un espejo convencional. [¿La llave? No veo ninguna llave. Y no sé qué quieren que vea ni dónde hay que verla reflejada.]

Como ven, la experiencia es un tanto frustrante. Y lo triste es que es un experimento curioso y que merece realmente la pena. Hay aquí un fallo de base: quieren que nos sorprendamos de que vemos nuestro ojo siempre en el rincón, aunque nos movamos, pero eso no nos sorprende. Es verdad que cuando nos movemos ante un espejo convencional la pupila reflejada se va moviendo. Pero normalmente no somos conscientes de ello. Para darnos cuenta de que hay algo raro en el espejo triple, deberían habernos pedido antes que hiciéramos lo mismo en un espejo convencional: así nos daríamos cuenta de que, si nos ponemos de manera que veamos nuestra pupila sobre una marca en el cristal, en cuando nos movemos la pupila cambia de sitio.

El comportamiento raro del espejo triple (que, por cierto, se llama retrorreflector de esquina) se hace sin embargo evidente si lo que hacemos no es movernos nosotros sino mover el espejo. Entonces, intuitivamente esperamos que dejemos de vernos reflejados. Y es una sensación muy extraña ver que, aunque giremos el retrorreflector, seguimos viéndonos.

Pero vamos ahora con la explicación:

¿Qué sucede?

El retrovisor arroja luz de un espejo a otro hasta que vuelve a reflejar la dirección de la que provenía. [¿“Vuelve a reflejar la dirección de la que provenía”? Esta frase es ininteligible.] Como los únicos haces que tu ojo puede interceptar te llegan por el espejo que está junto a la esquina, tu ojo siempre parece estar en el rincón. [Sigue sin entenderse nada: ¿de qué espejo hablan? ¡si están todos junto a la esquina!]

Los espejos convencionales son un cristal al que se le aplica una capa de pintura metálica en su parte posterior. Por eso además de la imagen del espejo se puede apreciar la sombra de otra imagen producto del reflejo del propio cristal. Los tres espejos centrales tienen esta capa de pintura en su parte superior anulando el efecto del cristal. [Vale, pero esto desvía la atención sobre otro tema que no tiene nada que ver con la idea del experimento.]

Después de leer esto, nos hemos quedado del todo a oscuras. Y sin embargo el funcionamiento del retrorreflector se entiende bien con dibujo sencillo que se encuentra, como no, en la Wikipedia:

800px-Corner-reflector.svg

Si tenemos dos espejos formando 90º y perpendiculares al papel, las leyes de la reflexión implican que un rayo que incide en el plano del papel, sale reflejado siempre en la misma dirección en la que ha entrado. Por eso, aunque giremos el conjunto, mientras los espejos formen 90º, los rayos vuelven por dónde han venido y nos seguimos viendo reflejados. El retrorrefector real tiene tres espejos en vez de dos para que esto ocurra con rayos de cualquier ángulo, no sólo los contenidos en el plano del papel (la geometría es un poco más complicada en ese caso, pero la idea es la misma).

474px-Corner_reflector3D.svgY finalmente, el párrafo en el que se explican las aplicaciones…:

¿Y qué?

Los retrovisores angulares permiten retroproyectar una luz sobre su fuente. Los retrovisores de los coches, de las bicicletas y de las marcas viales de las autovías se componen de pequeños reflectores angulares para que la luz se refleje sobre el conductor [¿Los retrovisores de los coches? Yo juraría que son espejos normales… ¿y tienen que reflejar la luz sobre el conductor? No se entiende.]

En realidad a lo que se refieren aquí no es a los “retrovisores” sino a los “retrorreflectores” que todos hemos visto en las bicicletas y en los coches:

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Están formados por un panel de pequeños retrorreflectores de esquina, de manera que la luz que incide sobre ellos siempre es devuelta a quien la emitió: siempre brillan, con independencia de cuál sea el ángulo que forman con el haz del faro del coche que viene detrás. Si en vez de estos ingeniosos inventos tuvieran espejos normales, sólo devolverían la luz cuando su superficie estuviera perpendicular al rayo… lo que sería completamente inútil.

*

En fin: la tarea de deconstruir cada experimento de la exposición sería agotadora, así que me disculparán que me quede en el primero… Sin embargo, hay uno que me resultó fascinante, así que no puedo evitar dedicarle un post más: el siguiente.