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Principio de Arquímedes (V): Densas explicaciones

En el post anterior dejamos a nuestro alumno de 2º de la ESO ante un párrafo que explicaba que un objeto flota o se hunde dependiendo que el peso sea menor o mayor que el empuje. En realidad, esto no es tan simple, como vimos: nos sirve para saber si un objeto que está en el seno del agua sube o baja, pero no para entender qué ocurre cuando llega a la superficie o al suelo.

En ambos casos, el cuerpo acaba alcanzando el equilibrio, pero porque la situación cambia. Cuando sube y acaba asomando a la superficie, una parte queda fuera del agua y deja de “desalojar” agua (y de contribuir al empuje). Eso se dice en el libro, pero de manera tan apresurada que no puede entenderse… porque no es un proceso tan sencillo, en realidad (¿sabría el lector decirnos cómo se las apaña el cuerpo para dejar asomando el trozo justo para que haya equilibrio?). Y cuando baja y toca el suelo, aparece una nueva fuerza debida al suelo que “sujeta” parcialmente el objeto (la llamada “fuerza normal”)… que tampoco es tan sencilla de entender (una vez más, ¿cómo se las apaña el suelo para hacer la fuerza justa para que el objeto alcance el equilibrio?).

Pero si el libro no tiene tiempo para meterse en estas cuestiones… ¡nosotros tampoco! Vamos al párrafo final, con el que el alumno debe redondear su conocimiento del principio de Arquímedes:

Densidad y flotación, en un libro de 2º de la ESO

Densidad y flotación, en un libro de 2º de la ESO

De modo que se antes era el peso el que decidía si el cuerpo se hunde o no… ¡ahora es la densidad! Y si antes se hablaba de empuje, ahora no se menciona: es la densidad del agua el factor decisivo.

Naturalmente, para quien sabe física, la cosa es evidente. Como la densidad es el cociente de masa y volumen (pongámoslo así, usando la notación del libro: dobjeto=m/V), y el peso es el producto mg, podemos calcular el peso del objeto de esta manera:

p=mg=dobjetoVg

Y el empuje será:

E= daguaVg

…mientras el objeto esté totalmente sumergido, porque entonces el volumen del líquido desalojado es igual al volumen del objeto. Entonces, para comparar p y E basta comparar las densidades. Si queremos, podemos hacer el cociente:

p/E = dobjeto / dagua

Así que si dobjeto > dagua , p >E (siempre que el objeto, repetimos, esté totalmente sumergido). Este razonamiento, se me dirá, es trivial y no hace falta explicitarlo hasta este punto. Es más, en la página anterior dice precisamente que E= daguaVg. Cierto, pero el alumno a estas alturas no tiene una noción intuitiva de la densidad: es un concepto que acaba de aprender…¡en esa misma página!:

Definición de densidad

Definición de densidad

Es mucho pedir que nada más leer esto, uno vea que una relación de fuerzas (peso comparado con empuje) la podemos traducir en una relación de densidades (la del objeto comparada con la del agua).

Es una excelente idea expresar la cuestión en términos de densidades, porque además de enlazar con la intuición, es una ocasión inmejorable para reforzar la comprensión de al menos tres nociones:

  • Qué es el volumen desalojado: si el cuerpo está sumergido, Vobjeto=Vdesalojado agua
  • Qué es la densidad, que se acaba de aprender.
  • La noción (absolutamente fundamental, quizá la más importante de toda la física y las matemáticas) de proporción: lo que importa es no es el valor numérico del peso o del empuje, sino su proporción. Y lo que importa es que peso y empuje son ambos proporcionales a V y g, por lo que V y g no importan y lo único en lo que nos tenemos que fijar para saber qué ocurre es en la densidad. Que a su vez, es una proporción entre masa y volumen…

Todo esto (y que las proporciones se expresan matemáticamente por un cociente, y que las propiedades de cociente son las propiedades de la proporción…) se puede entender aquí. Una magnífica ocasión pedagógica…¡pero sólo si se explican las cosas! En el texto, lo que se hace es saltar de una fórmula expresada con fuerzas (p>E) a otra expresada con densidades (dobjeto > dagua).

¿Qué ocurre entonces? Que el alumno no aprende nada de esto y se limita a memorizar una fórmula más, en vez de comprender un concepto nuevo. No es una hipótesis: lo he comprobado… y con un alumno que sacó sobresaliente.

 *

Hacer este tipo de análisis conceptual es muy trabajoso (se lo aseguro después de 5 posts) y seguramente aburrido para el lector (ustedes mismos me lo pueden confirmar…). Pero si queremos enseñar a pensar (o sea: enseñar algo, porque memorizar una fórmula, que se va a evaporar después del examen, no es nada) no queda más remedio.

Cuando lo hacemos nos encontramos lo siguiente: en sólo dos páginas de un libro de texto de 2º de la ESO (un libro escogido simplemente porque es el que ha tenido mi hijo, no porque sea especialmente malo) vemos que:

  • No se definen bien los términos (¿qué significa “desalojado”?, ver 2ª post de la serie)
  • No se da una razón física que explique el empuje (y no es difícil con un experimento mental, ver 3er post de la serie).
  • Se introducen definiciones innecesarias y confusas (“peso aparente”, post 4º de la serie) que seguramente darán lugar a memorizar insignificancias.
  • Se desaprovecha una ocasión inmejorable de familiarizarse con conceptos que se acaban de explicar (suma de fuerzas, densidad… ver 4º y 5º posts) usándolos en un caso real.
  • En lugar de eso, se hacen razonamientos incompletos o erróneos (4º post: no se menciona la fuerza que hace el suelo cuando el objeto llega al fondo, de modo que se tenemos un objeto en equilibrio pero las fuerzas pintadas no dan resultante cero… en flagrante contradicción con lo que se ha explicado en el tema anterior) y se ponen fórmulas sin deducir (5º post: flotación en relación a la densidad) que el alumno memoriza tal cual, cuando sería sencillo y muy instructivo deducirlas.

Un alumno que se encuentra con todas estas incoherencias, ¿puede madurar su sentido crítico y su capacidad de reflexión? Dejo la respuesta al lector, que ya es hora de terminar esta serie.

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Principio de Arquímedes (IV): Recaemos en el libro

Acabamos de ver que el principio de Arquímedes es una buena ocasión para iniciarse en los experimentos mentales, una de las herramientas favoritas de los físicos. El razonamiento que hemos hecho es también un primer ejemplo de lo que se suele llamar “diagrama de cuerpo libre”. Consiste simplemente en aislar mentalmente un objeto (aquí, la esfera de agua o la canica) y resumir el efecto del resto del universo mediante fuerzas aplicadas sobre él. Es una técnica enormemente útil en mecánica, y no dominarla da muchos problemas a los alumnos de primero en la universidad…, pero no vamos a seguir sacándole partido porque estamos con el libro de 2º de la ESO y el libro no se plantea nada de eso (como dicen los ingleses: no pun intended).

¿Qué hace nuestro libro ahora? Ha perdido la ocasión de explicar la razón del Principio de Arquímedes, pero no puede dejar pasar la ocasión de introducir una definición: la de peso aparente. Aquí está:

Definiendo el peso aparente en 2º de la ESO

Definiendo el peso aparente en 2º de la ESO

¿Es necesario dar aquí una definición? Parece que no hace daño, pero tiene un problema: ¿qué pasa si el peso es menor que el empuje? Ese es precisamente el caso con el que comenzó la lección (empezaba diciendo: “si intentamos sumergir una pelota en el agua de un barreño…”) así no sería tan raro que el alumno se hiciera esa pregunta… ¿Sería negativo el peso aparente?¿Qué significaría eso? El libro no dice nada: asume ahora sin previo aviso que el peso es mayor que el empuje, al revés que antes.

Ahora no era el momento de dar definiciones, que con su recuadro y sus negritas están diciendo ¡memorízame! (y eso es lo que hará el alumno, memorizar la definición y repetirla en un examen… Ahora teníamos una inmejorable ocasión para para practicar la suma de vectores, que acaba de introducirse unas páginas antes, con el caso del peso y el empuje de un objeto sumergido en el agua. Si el peso es menor que el empuje, la resultante va hacia arriba, y si es mayor que el empuje, va hacia abajo. La pelota con la que empezamos la lección corresponde al primer caso (y como la resultante va hacia arriba, asciende, eso es lo que observábamos en el barreño); una piedra sería el segundo caso. El libro lo cuenta aunque un par de párrafos más adelante y sin enlazarlo con la suma de vectores:

Así se explica la idea de flotación (¿están bien esos vectores?)

Así se explica la idea de flotación (¿están bien esos vectores?)

Esto no es que esté mal, pero una vez más, deja que desear. En (a), el cuerpo estaría en equilibrio, porque lo pintan apoyado en el suelo; sin embargo, el peso es mayor que el empuje y la resultante va hacia abajo. Según se ha explicado en alguna lección anterior, ¡debería moverse hacia abajo!… ¿Cómo es que no se mueve hacia abajo cuando llega al suelo? Porque en ese momento el suelo hace una fuerza adicional, la llamada fuerza normal, hacia arriba; una fuerza de la que el alumno no sabe nada todavía. ¿Cómo evitar meterse en este jardín? Pues no pintando el cuerpo apoyado en el suelo, sino simplemente cayendo…

Tampoco es tan sencillo de entender el caso (c), con la explicación tan apresurada que se da. Sería mejor pintar el cuerpo ascendiendo, y más adelante explicarlo.

Pero esta dificultad la trataremos en el próximo próximo post (¡que prometo que será el último sobre este tema!). Lo que en este punto debería decir el libro es que una piedra, aunque se hundiría porque la resultante va hacia abajo, parecería que pesa menos ¿Cuánto parecería que pesa? La fuerza que hace falta para sostenerla; como el empuje nos ayuda a sostenerla, la fuerza que tenemos que hacer nosotros es el peso menos el empuje. Y ahora, si queremos, podemos decir que eso se llama “peso aparente”… pero por favor, en lugar de poner el recuadro y las negritas, ¿por qué no contar que, cuando hacemos el muerto en una piscina, es que nuestro peso aparente es cero, y es como si fuéramos ingrávidos…?

Principio de Arquímedes (III): La idea clave

Hemos quedado en que el Principio de Arquímedes dice que “todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del líquido desalojado”, y que ese “líquido desalojado” es el que estaba ocupando el volumen que ahora es ocupado por el cuerpo sumergido.

Imaginemos que, como antes, vamos a sumergir una canica en el agua; pero el líquido desalojado, en vez de dejarlo rebosar, lo extraemos tal cual del interior del vaso. Visualicemos esa esfera de agua flotando en el aire:

Arquímedes2

Un experimento mental

Naturalmente, no podría flotar ingrávida: el agua tiene un peso y se caería al suelo. Pero ¿por qué cuando está en el interior del vaso, rodeada del resto del agua, ese agua no se cae? Puede parecer una pregunta tonta, pero no lo es en absoluto: esa esfera de agua pesa lo mismo cuando está dentro del vaso -a la izquierda en la figura- que cuando está fuera -a la derecha-. Si a la izquierda no se cae, tiene que ser porque en ese caso hay una fuerza que compensa exactamente el peso. Esa fuerza es lo que llamamos empuje:

Empuje y peso del líquido desalojado

Empuje y peso del líquido desalojado

Pero toda fuerza tiene que ser ejercida por alguien. ¿Quién hace el empuje? Sólo hay un posible culpable: el agua que rodea a la esfera del líquido desalojado. Ahora bien, si en lugar de tener ahí esa esfera de agua tenemos la canica, el agua que le rodea es exactamente la misma que antes, y por tanto debe hacer la misma fuerza:

Empuje y peso sobre el cuerpo sumergido en el líquido

Empuje y peso sobre el cuerpo sumergido en el líquido

En resumen, el agua hace una fuerza sobre el cuerpo que vale justamente el peso del fluido desalojado: ¡Eso es justamente el Principio de Arquímedes!

En cierto modo, el Principio de Arquímedes se deduce aquí de un experimento mental, una forma de razonamiento muy poderosa en la que Galileo o Einstein eran maestros. Se trata de imaginarse situaciones concretas en las que nuestro sentido común nos dice lo que va a ocurrir, y usar esa intuición para interpretar lo que ocurre en casos más generales. No hace falta que esa situación concreta sea realizable: aquí, no podemos “desalojar” el líquido manteniendo su forma, sacando una esfera como en el primer dibujo. Pero si lo hiciéramos, no tenemos ninguna duda de qué ocurriría: se caería. Así que si esa esfera de agua no se cae cuando está rodeada de más agua… es que ese agua la sostiene: sabemos entonces que hace una fuerza, y cuánto vale.

En la segunda parte del razonamiento, tampoco podemos sustituir el “agua desalojada” por la canica sin más ni más: se desbordaría más agua, nos mojariamos… Sin embargo, esos efectos secundarios deben ser irrelevantes, nos dice nuestra intuición, comparados con la cuestión fundamental, que es que lo que rodea a la esfera de agua y lo que rodea a la canica es el mismo líquido, así que tiene que hacer la misma fuerza.

Este razonamiento lo podemos hacer con cualquier cuerpo: da lo mismo cual sea el material de qué está hecho o de cual sea su forma. Y esta es otra ventaja de los experimentos mentales: funcionan a nivel conceptual y por eso no hay que repetirlos para cada caso particular. Y si hubiera que repetirlos, no pasa nada: son gratis.

Principio de Arquímedes (II): Un chapuzón en el libro

Pongámonos primero en situación: el chico o la chica, de 13 o 14 años, está en clase de Ciencias Naturales, y le explican, por primera vez, el Principio de Arquímedes. Los detalles dependerán del profesor, pero a grandes rasgos lo que le cuenten seguirá la línea del libro, es decir, algo así:

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El enunciado del Principio de Arquímedes en un libro de 2º de la ESO

¿Hay algo que objetar a esto? Parece que no. Si acaso, que el enunciado puede hacerse más breve: sobra lo de “total o parcialmente”, que no aporta nada, y decir “peso del volumen del líquido desalojado por el cuerpo” es engorroso; sobra “del volumen”. Nada demasiado importante.

Y sin embargo, aquí ya hay una dificultad. ¿Qué significa “desalojado”? El libro no lo dice, así que le pregunté a mi hijo, y me respondió (supongo que reproduciendo lo que había dicho la profesora):

– Es lo que sube el nivel del líquido cuando metemos el cuerpo.
– Pero no sube lo mismo si lo metemos en un vaso estrecho o si lo metemos en una bañera, ¿no?
– No, claro
– Entonces, ¿el volumen desalojado depende del recipiente?
– Pues no lo sé.

“Desalojado” es aquí un término técnico que puede resultar evidente para quien conoce bien el Principio de Arquímedes, pero que no lo es para quien se lo encuentra por primera vez. Si no entendemos perfectamente todas las palabras de una definición, malamente podemos entender la definición. Y empezamos con muy mal pie, porque en física, más aún que en otras materias, todo consiste en entender las cosas.

Así pues, ¿qué significa aquí desalojar? Imaginemos que sumergimos un cuerpo (por ejemplo, una canica) en un vaso. En la región del espacio en la que está ahora el cuerpo ya no puede estar, obviamente, el líquido. Ese líquido que antes estaba ahí y ahora no está es el líquido desalojado. Si originalmente líquido llegaba al ras del recipiente, al meter el cuerpo rebosaría, y el líquido desbordado sería justamente el que ha sido desalojado por el cuerpo.

Arquímedes1

La idea de “líquido desalojado”

Naturalmente, la canica desaloja líquido siempre, independientemente de que esté al ras del recipiente o no: esto es sólo un ejemplo de un caso concreto en el que se ve mejor.

Es muy importante entender el concepto de “líquido desalojado” no sólo para saber qué significa exactamente el enunciado del Principio de Arquímedes, sino porque nos puede llevar a la idea clave para entenderlo (y no sólo memorizarlo).

Seguimos mañana.

Postdata: Al hilo de un comentario de Daniel Quesada en el post anterior, merece la pena señalar que esa idea de que un cuerpo, al sumergirse, desaloja un fluido que rebosaría si el agua estuviera al ras del recipiente es la que, según la leyenda, hizo a Arquimedes saltar desnudo de la bañera y salir corriendo por las calles gritando ¡Eureka! Así que el famoso grito no fue por el famoso principio, sino por una idea previa, bastante más sencilla.

Principio de Arquímedes (I): El punto negro

Igual que la red de carreteras tiene “puntos negros” en los que se concentran la mayoría de los accidentes, también hay puntos negros conceptuales en la física que padecen nuestros alumnos, puntos en los que se concentran los malentendidos y las confusiones.

Esos puntos no se limitan a producir accidentes (o suspensos) ocasionales, sino que son más bien como grietas que amenazan todo el edificio. Si queremos que a los estudiantes no se les venga la física encima, más nos vale evitar estas fragilidades desde el principio.

Y empiezan realmente al principio. Una de las ideas que mis alumnos en la universidad no entienden bien es el Principio de Arquímedes. Es algo que me ha llamado la atención hace tiempo, hasta el punto de que he llegado a dudar que se mantuviera en los programas de la enseñanza media. Pero ahora que mi hijo ha estudiado 2º de la ESO he visto que no sólo se mantiene, sino que es uno de los primeros conceptos físicos que se estudia. En el libro de Ciencias Naturales de mi hijo encuentro dos páginas a gran formato dedicadas al “empuje y flotación en los líquidos”. Aquí las tienen (click para ampliar, pido disculpas porque es una foto y de no muy buena calidad):

El principio de Arquímedes explicado en un libro de 2º de la ESO

El principio de Arquímedes explicado en un libro de 2º de la ESO (click para ampliar)

¿Cómo es posible que después de haber estudiado esto con 14 años, virtualmente ningún alumno sea capaz de aplicarlo con 18? Y me refiero, ojo, a alumnos que están estudiando ingeniería, que suelen ser los que mejores notas han sacado en física durante la enseñanza media…

Es evidente que aquí hay algo que no funciona, pero para entenderlo tendremos que entrar en materia, o si lo prefieren, que sumergirnos en las páginas del libro de Ciencias Naturales. Veremos qué empuje (conceptual, por supuesto) experimentamos. Pero antes conviene tomar aire: dejamos el chapuzón para el próximo post.