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De la elipse en el suelo a la elipse en el cielo

En el post anterior vimos que podíamos estimar el tamaño de la iglesia de San Petronio de dos maneras: a partir del eje menor (D) de la elipse luminosa que el pequeño orificio del techo proyecta sobre el suelo y también a partir de la velocidad con la que esa elipse se mueve (v). Pero necesitábamos dos datos adicionales: en el primer caso, el tamaño angular del Sol (\theta), y en el segundo, su velocidad angular (\omega); recordemos que si r es la distancia del orificio a la elipse, D=r \theta y v=r \omega.

Naturalmente Giovanni Domenico Cassini no se tomó la molestia de construir la meridiana para medir la altura del techo de la iglesia… que conocía perfectamente. Ni siquiera su objetivo principal era construir el reloj más preciso del mundo. Era una obra cara, y si la Iglesia estaba dispuesta a pagarla (sabemos que costó 2500 liras de la época, al cambio, entre 200.000 y 250.000 euros de hoy) era por una buena razón: el papa Gregorio XIII había decretado de la reforma del calendario hacía ya más de 70 años, en 1582, y era hora de verificar su corrección. Había que medir la duración del año con mucha precisión, y Cassini podía hacerlo mediante la determinación de dos equinoccios consecutivos, porque en el equinoccio la trayectoria de la mancha de luz es una recta, perpendicular a la meridiana (¡realmente es un instrumento muy completo!).

cassini

Giovanni Domenico Cassini (Génova, 1625 – París 1712)

Pero el auténtico propósito de Cassini era otro. Buscaba algo mucho más interesante científicamente: medir un parámetro que nosotros hemos dado por sabido, el tamaño angular del Sol. Precisamente por las enormes dimensiones de la meridiana, se podía medir con gran precisión, dando la vuelta a la fórmula que pusimos al principio: \theta =D/r. Y esta medida precisa prometía dar un dato decisivo para resolver la gran pregunta de la astronomía de la época: decidir entre “los dos máximos sistemas del mundo”, el Tolemaico y el Copernicano; en definitiva, entre el geocentrismo y el heliocentrismo. Era la cuestión que veinte años antes había llevado a Galileo a juicio, así que no es de extrañar que Cassini fuera reservado.

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El Sol se mueve respecto de las estrellas, volviendo a la misma posición al cabo de un año. Pero desde la antigüedad se sabe que este movimiento aparente es un poco más rápido en invierno que en verano. En el siglo II a.d.C, Hiparco de Nicea lo explicó suponiendo que el Sol se mueve en realidad a velocidad constante en torno a la Tierra, pero su círculo está un poco descentrado, de modo que en invierno está más cerca y parece por eso moverse más deprisa.

Pero si el Sol estaba más cerca, también parecería más grande, así que la hipótesis de Hiparco podía verificarse midiendo el tamaño aparente del Sol. Desgraciadamente, se trata de una medida muy difícil de hacer con precisión. No podemos mirar al Sol directamente, y aunque desde muy antiguo se le ha observado proyectando su imagen en una cámara oscura (la mejor manera, por ejemplo, de mirarlo en un eclipse) el tamaño de la imagen es tan pequeño que no hay manera de apreciar una variación entre verano e invierno. Salvo, claro está, que la cámara oscura fuera gigantesca, tan grande como una catedral… ¡o como la iglesia de San Petronio!

Cassini, en efecto, podía poner a prueba la hipótesis de Hiparco. Pero lo que hacía realmente interesante la cuestión es que ahora había una hipótesis alternativa. En 1609 Kepler había publicado dos leyes sobre el movimiento de los planetas. La primera decía que las órbitas no eran circulares sino elípticas; la segunda afirmaba que el aumento de velocidad del Sol en invierno no era sólo un efecto de la mayor cercanía, sino que había una aceleración real. Eran dos ideas revolucionarias, que rompían con dos mil años de astronomía en los que siempre se había considerado que todos los movimientos celestes eran circulares y uniformes (o, al menos, combinación de movimientos circulares y uniformes).

Kepler esquema

En concreto, Kepler decía que si consideramos los tramos recorridos en dos periodos breves e iguales de tiempo, uno (L1) cuando la Tierra está a la distancia mínima al Sol (d1) y otro (L2) cuando está a la distancia máxima (d2), las áreas de los dos triángulos de la figura deben ser iguales: L_1 d_1/2=L_2 d_2/2, o lo que es equivalente, \frac{L_1}{L_2}=\frac{d_2}{d_1}.

Naturalmente, desde el punto de vista de la Tierra quien se movería sería el Sol. Su velocidad aparente (la llamaremos v_a) es una velocidad angular, y es proporcional el cociente entre el arco recorrido  y la distancia. Así que, según Kepler,

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L_1/d_1}{L_2/d_2}=\frac{d_2/d_1}{d_1/d_2}=\frac{d_2^2}{d_1^2}

Mientras que según Hiparco las velocidades son iguales en 1 y 2, así que L_1=L_2=L y

\frac{v_{a1}}{v_{a2}}=\frac{L/d_1}{L/d_2}=\frac{d_2}{d_1}

Las velocidades aparentes del Sol v_{a1} y v_{a2} se conocían con precisión en la época de Cassini. La novedad era que ahora él podía medir la proporción de distancias, porque es la inversa de la proporción de tamaños aparentes del Sol: \frac{d_2}{d_1}=\frac{\theta_1}{\theta_2}, y el tamaño aparente del Sol \theta se obtiene fácilmente de la longitud de los ejes de la elipse de luz sobre el suelo. La meridiana de Cassini permitía obtener el valor numérico de \frac{d_2}{d_1}. Si este número coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Hiparco; si era el cuadrado de este número el que coincidía con \frac{v_{a1}}{v_{a2}}, tenía razón Kepler. ¡Podía decir entre Hiparco y Kepler, entre los “dos máximos sistemas del mundo”, midiendo el tamaño de una elipse!

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Pero como siempre, las cosas son más complicadas en la realidad que sobre el papel. Las dos distancias son bastante parecidas: hoy sabemos que d_1=147,1 \cdot 10^6 km  y d_2=152,1 \cdot 10^6 km), así que su cociente resulta ser:
\frac{d_2}{d_1}=1,034
un número muy cercano a uno, y por tanto muy parecido a su cuadrado:
\frac{d_2^2}{d_1^2}=1,069
¡Una diferencia de poco más del 3%! La medida del tamaño de la elipse tenía que tener como mínimo esa precisión para poder decidir entre Hiparco y Kepler. Recordemos el aspecto de la elipse de luz sobre el suelo:
EscalaMancha1
Gracias a que el agujero es muy pequeño, la elipse está muy bien definida: en el primer post dijimos estimamos un eje menor de 30 cm, con una incertidumbre de 1 cm. Un error relativo de 1/30: aproximadamente un 3%, justo lo que Cassini necesitaba: sabía lo que hacía al construir una meridiana tan enorme.

Las medidas de Cassini dieron la razón a Kepler: su elipse en el suelo ratificó las elipses en el cielo. Fue la primera confirmación independiente de las leyes de Kepler, y aunque este resultado no demostraba que la Tierra se movía (es compatible con que sea el Sol el que se mueve en una elipse a velocidad variable), el sistema de Kepler aplicado al sistema solar en su conjunto sólo podía entenderse de modo heliocéntrico.

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(Epílogo) Las cosas son siempre más complicadas en la realidad que sobre el papel, decía, y esta historia no es una excepción. Cassini había demostrado la superioridad de la hipótesis de Kepler sobre la de Hiparco, pero las órbitas elípticas no le convencían, y prefirió postular otra figura geométrica, los óvalos de Cassini. No tuvo mucho éxito, y cuando entró en escena Newton cualquier duda quedó despejada, porque las leyes de Kepler se deducían como una consecuencia natural de la gravitación universal… pero no para Cassini, que no aceptó la teoría de de Newton.

Unos años después de la construcción de la meridiana, Cassini fue fichado por Jean-Baptiste Colbert, para fundar el observatorio de París. No se limitó a hacerlo, sino que demostró un singular talento organizativo, y fundó una dinastía de astrónomos, que fueron conocidos como Cassini II, Cassini III y Cassini IV… pero eso es otra historia, y debe ser contada en otra ocasión.

 

Midiendo el tamaño del instrumento de medida

En el post anterior admirábamos la meridiana de San Petronio, en Bolonia, que resultaba ser el reloj más preciso de su época. Un reloj de sol, en realidad, pero que por sus gigantescas dimensiones transforma el lento giro del astro rey (15º por hora) en un rápido desplazamiento de una elipse de luz sobre el suelo (12 cm por minuto). El otro ingrediente para conseguir la precisión es un orificio de entrada de la luz muy pequeño y muy regular, para que la mancha luminosa esté muy bien definida. Así puede determinarse el momento en que está centrada sobre la línea con poca incertidumbre, del orden de 1 cm, que se transforma en 1/12 de minuto: 5 segundos.

La elipse de luz se mueve tan rápido porque la velocidad angular del rayo (la del Sol) se traduce en la velocidad lineal de la mancha multiplicando por la longitud del rayo, y esta longitud es enorme en San Petronio. ¡Si queremos precisión, hay que hacer las cosas a lo grande!

La relación entre tamaño y precisión es común a todos los instrumentos astronómicos (y la meridiana lo es). Por lo menos, a todos los anteriores al telescopio: en gran Tycho Brahe realizó, a finales del siglo XVI, unas observaciones astronómicas de una exactitud sin precedentes a base de usar instrumentos de una escala colosal (pude verse alguno aquí)

Pero (atención: entramos en modo cuantitativo) quizá lo más interesante es que esta relación entre velocidad angular y velocidad lineal nos permite medir nuestro propio instrumento, es decir, el tamaño de la iglesia de San Petronio. En efecto, si r es la longitud del rayo y \omega la velocidad angular, la velocidad lineal de la mancha de luz sobre el suelo es simplemente

v=\omega {\cdot} r , y por tanto r=\frac{v}{\omega}

Antes de hacer la cuenta, expresamos la velocidad angular en radianes por minuto:

\omega=15\left(\frac{grados}{hora} \right) \left(\frac{1\, hora}{60 \, min} \right) \left(\frac{\pi \, rad}{180 \, grados} \right)=\frac{\pi}{720}\left(\frac{rad}{min} \right)

Y recodamos que en el post anterior vimos que v=12,6 cm/min, así que

r=\frac{12,6 \cdot 720}{\pi}=2888 \, cm \approx 29 \, m

Pero hay más. No sólo la velocidad de la elipse el proporcional a r: también su tamaño. Así que podemos hacer otra estimación independiente de r. El haz de luz es un cono, cuyo vértice es el agujero, porque los rayos de sol no son completamente paralelos; y no lo son porque el Sol no es un punto, sino un pequeño disco, con un tamaño angular aparente \theta:

Meridiana esquema

Esquema de la meridiana de San Petronio. Los rayos del Sol (S) entran por el agujero A, a un altura h sobre el suelo, produciendo la elipse de ejes D1 y D2 (representada esquemáticamente arriba).

Así que el diámetro del cono a una distancia r es \theta r , que se corresponde con el eje menor D_1 de la elipse (el mayor está alargado por la oblicuidad de los rayos, como muestra la figura). Por tanto, recordando que habíamos medido un eje menor de 0,3 m, y sabiendo que \theta vale un poco más de medio grado (redondeando, una centésima de radián), tenemos que

D_1=\theta r \Rightarrow r=D_1 / \theta =0,3/10^{-2}=30 \, m

…que está en muy buen acuerdo con el resultado anterior.

Pero si queremos medir el tamaño de la iglesia lo que interesa no es la longitud del rayo (que depende de su oblicuidad) sino la altura del techo, es decir, la altura a la que está situado el agujero…¡y también esto lo podemos medir! A la vista de la figura, el cociente de los dos ejes de la elipse es

D_1/D_2= sen(\beta)=h/r

Vimos que D_1=30 \, cm y D_2=36 \, cm luego, usando nuestra última (y más redonda) estimación de r,

h=r D_1/D_2=30 {\cdot}30/36=25 \,m

AlturaSanPetronio.png

Nuestra estimación de la atura del techo de San Petronio. Comparando con la persona que se ve cerca de la base de la flecha, no parece inverosímil…

¿Hemos acertado con la altura? En esta página he encontrado el dato: Cassini puso el orificio del techo a una altura de 1000 pulgadas francesas, lo que equivale a 27,07 m. No está mal, para una estimación tan burda como la nuestra: menos del 10% de error.

Una moraleja para alumnos: cuando en las prácticas de laboratorio tenemos un error importante, la culpa casi nunca está en la falta de precisión de los aparatos. Aquí sólo hemos usado un móvil para hacer dos fotos y un papel (el plano que nos servía para marcar la escala) con el que hemos estimado las distancias a ojo.

Pero en la investigación científica a veces hace sí hace falta mucha precisión, y la meridiana de Bolonia la puede proporcionar, si la usamos como profesionales y no como turistas con un móvil y un plano. En el próximo (y último post de la serie, lo prometo), veremos cómo lo hizo el gran Giovanni Domenico Cassini.

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(Propina para expertos) Hemos encontrado que sen(\beta)=D_1/D_2= 0,83 \, \Rightarrow \, \beta=56,4 ^{\circ}. Esta es la inclinación de los rayos, es decir, la altura del Sol sobre el horizonte, y a partir de ésta podemos obtener la latitud \alpha  del lugar de observación. En efecto, en el equinoccio, el Sol a mediodía está a una altura \beta=90^{\circ}-\alpha (por ejemplo, para el ecuador, \alpha=0^{\circ}  y \beta=90^{\circ}: sol en el cénit; para el polo norte, \alpha=90^{\circ} y \beta=0^{\circ}: sol rasante con el horizonte). Así que si mis observaciones se hubieran hecho el 21 de septiembre a mediodía, deduciríamos que la latitud de Bolonia es \alpha=90^{\circ}-\beta=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}=33,6^{\circ}.

Pero en el solsticio de verano, el 21 de junio,  el sol está 23,5^{\circ} más alto: \beta=90^{\circ}-\alpha+23,5^{\circ}, lo que nos daría \alpha=90^{\circ}-56,4 ^{\circ}+23,5^{\circ}=57.1^{\circ}. Como mis medidas se hicieron a mediados de agosto, vamos a poner el valor medio de los dos resultados: la latitud de Bolonia sería \alpha=(33,6^{\circ}+57.1^{\circ})/2=45,3^{\circ}. La latitud real es 44,5^{\circ}: un acuerdo muy bueno teniendo en cuenta lo burdo de nuestras aproximaciones (no era exactamente mediodía, y la interpolación entre el solticio y el equinoccio es más complicada).

El reloj más preciso del mundo, en 1655

Cuando Charles Dickens visitó Bolonia dejó escrito que lo único que le gustó fue la gran meridiana en el suelo de la iglesia de San Petronio. Yo debo ser menos exigente que Dickens, porque este verano he encontrado muchas cosas atractivas en Bolonia… pero tengo que reconocer que nada me ha gustado tanto como su meridiana.

Pero ¿qué es una meridiana? A simple vista, esto:

meridiana

Un raíl metálico, muy delgado y muy largo, incrustado en el suelo de la iglesia. El turista típico seguramente le echará un vistazo rápido y continuará visitando San Petronio. Pero si se acerca a mirar verá unos intrigantes números, fechas y símbolos astronómicos a lo largo de la línea. Y si picado por la curiosidad explora los alrededores, pronto encontrará algunas pistas…

Quizá le llame la atención un círculo de luz sobre uno de los pilares vecinos, cerca del capitel (marcado como 1):

Mancha de luz

Si se queda mirando un rato, notará que la mancha de luz se mueve (en la foto, la mancha dobla una arista del pilar; unos segundos antes todavía no lo hacía), y deducirá que esa luz entra por un pequeño agujero en el techo, decorado con un hermoso sol (marcado en la foto como 2). Así que  el movimiento de la mancha de luz es consecuencia del movimiento del Sol. Un poco después, la luz da sobre el suelo de la iglesia… y se va aproximando a la línea metálica del suelo.

El turista curioso se pregunta ¿por dónde cruzará la línea? Y se le enciende la bombilla: había fechas marcadas sobre ella… ¿no cruzará precisamente por la fecha de hoy? ¡La meridiana sería entonces un calendario? Tiene sentido, porque en verano, con el sol más alto, los rayos llegan al suelo cerca de la vertical del agujero del techo y en invierno los rayos más oblicuos llegan más lejos. Y eso cuadra con la posición de las fechas marcadas en suelo.

Efectivamente: la meridiana es un calendario. Es una línea recta orientada exactamente en dirección norte-sur, y en su vertical hay un agujero por el que entra un delgado haz de luz del Sol. De este modo, a mediodía, cuando el Sol está justo en dirección sur, el delgado haz de luz que entra por el agujero incide sobre la línea, en una posición que depende de la altura del Sol a mediodía, y por tanto, del día del año.

Pero si los rayos cruzan la línea exactamente a mediodía, es que la meridiana es también un reloj. ¿Qué precisión tiene este reloj? Para saberlo no sirve esperar a ver si el cruce se produce exactamente a las 12 del mediodía, porque la hora que nos marca la meridiana es la hora solar, que no coincide con la hora oficial. No sólo por el famoso cambio de hora entre verano e invierno, sino porque la hora oficial es la misma en todo un huso horario y la hora solar varía continuamente al desplazarnos  de este a oeste: no es la misma en Venecia, Bolonia o Génova (¡y mucho menos en Madrid, pese a que tenga la misma hora oficial!).

En realidad, el error de este reloj vendrá dado por la precisión con la que consigamos determinar el cruce de la mancha de luz con la línea meridiana. Y aquí es cuando yo, que no puedo evitar ser físico también en vacaciones, entro en modo cuantitativo. Como no tenía una regla, puse en el suelo el plano que llevaba en el bolsillo como referencia e hice esta foto (lo más vertical que pude, para evitar efectos de perspectiva):

EscalaMancha1

El lado largo del plano, casi en contacto con la mancha de luz, mide 21 cm, así que esta es una elipse de aproximadamente 36 x 30 cm. Está muy bien definida, y es muy simétrica, así que yo diría que podemos determinar a ojo si está bien centrada en una línea con un error del orden de 1 cm.

Pero ¿a cuánto tiempo corresponde un centímetro? Tenemos que determinar a qué velocidad se mueve la elipse de luz. Basta con esperar un rato sin mover el plano y tomar otra foto:

EscalaMancha2

Entre las dos fotos han pasado 5 minutos, y la mancha se ha movido una distancia que es más o menos el triple de la longitud del lado largo del plano, o sea, unos 63 cm. Por tanto su velocidad es de 63/5= 12.6  cm/minuto. Vamos a redondearla a 12 para decir que en recorrer 1 cm tarda aproximadamente 1/12 de minuto, es decir, 5 segundos. Ese es el error en la determinación del mediodía con esta meridiana.

Hoy puede parecernos mucho, pero cuando Giovanni Domenico Cassini la construyó, en 1655, la meridiana de San Petronio era el reloj más preciso del mundo, y con mucha diferencia: lo habitual era que los relojes mecánicos de entonces se adelantaran o atrasaran unos 15 minutos al día. Justo al año siguiente Christiaan Huygens inventaba el reloj de péndulo, que fue una revolución en la medida del tiempo: en lugar de 15 minutos, su error era del orden de 15 segundos al día… ¡pero todavía era mayor que el de la meridiana de Bolonia!

Todavía podemos aprender más de la principal atracción de Bolonia, según Charles Dickens. Será en el próximo post.

Nota: no me pude quedar hasta en San Petronio hasta que la mancha de luz cruzara por la meridiana, pero en las fotos de esta página se ve muy bien.