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Virus, mapas y urnas
Gracias al interés por la evolución del Covid-19 los medios (bueno, algunos) han ido aprendiendo lo que es una gráfica logarítmica[1] (aquí tienen por ejemplo, los excelentes gráficos del Financial Times). Esto está muy bien, pero todavía les faltan cosas por aprender. Por ejemplo para interpretar mapas como este de incidencia de Covid-19:
Lo publican varios medios, por ejemplo El Confidencial y El Mundo, basándose en datos de la Comunidad de Madrid que se pueden encontrar aquí, en versión interactiva y, mejor aún, en formato excel.
Los periodistas están para procesar la información en bruto, señalar lo realmente significativo y hacer que la entendamos mejor ¿Qué nos explican aquí? El Mundo, tras mencionar los municipios con más contagios (que, señala, «no sorprenden al tratarse de los lugares más poblados de la comunidad»…) explica que:
Más interesante es el análisis de la tasa de contagios por cada 100.000 habitantes, que pone en relación la incidencia del virus con la cantidad de residentes Así, en el Corredor del Henares se localizan varios de los términos con mayor tasa de afectados. Se trata de Santorcaz, Corpa, Los Santos de la Humosa, Meco, Valverde de Alcalá o Villalbilla, todos con datos superiores a los de la ciudad de Madrid, que tiene 743 casos confirmados por cada 100.000 habitantes. En la misma zona, entre los municipios de más población destacan Alcalá de Henares (943), San Fernando de Henares (645) o Torrejón de Ardoz (562).
El Confidencial, por su parte, señala que
Leganés, los municipios cercanos a Alcalá de Henares y Arganda del Rey y las pequeñas localidades de la Sierra Norte son algunas de las zonas con mayor número de positivos por habitante.
¿Realmente es esto significativo? En realidad, en el mapa no se ve ningún patrón claro. Y llama la atención que junto a esas «pequeñas localidades de la Sierra Norte» con una altísima incidencia, aparecen otros municipios en blanco, en los que apenas hay casos. ¿No es también sospechoso que los municipios del corredor del Henares de los que habla El Mundo (Santorcaz, Corpa, etc) sean todos minúsculos?[2] .
Lo que en realidad estamos viendo no son datos significativos, sino un fenómeno muy conocido en estadística, pero, por lo que se ve, ignorado por los periodistas: que en las muestras pequeñas es mucho más probable encontrarse, por puro azar, valores extremos.
Imaginemos una enorme urna con seis millones y medio de bolas. De éstas, 40.000 son negras y las demás son blancas. Ahora supongamos que extraemos 48 bolas. Es probable que la proporción de bolas negras en esa muestra se aleje bastante de la de la urna: basta con que saquemos, por ejemplo, 1 bola negra, para que la proporción sea de 1/48=2%, muy por encima de la proporción de la urna que no llega al 0,7%. Pues bien: esa urna es la Comunidad de Madrid, las bolas negras son los casos confirmados de Covid-19… y la muestra de 48 bolas es La Hiruela, uno de esos municipios de la Sierra Norte con una tasa de incidencia astronómica: 9.000 casos por cada 100.000 habitantes, lo que que en términos absolutos son 5 enfermos.
Moraleja: es de esperar que los municipios más pequeños sea los «mas afectados»… y también los «menos afectados» (porque, si de esas 48 bolas no sale ninguna negra, ¡tenemos una incidencia de cero!).
Vamos a verlo en una gráfica (logarítmica, ya que nos hemos acostumbrado):
Efectivamente: todos los valores más extremos de la tasa de incidencia se concentran en los municipios (o distritos) de menos población. ¿Qué tenemos que hacer para encontrar lo realmente significativo, eso que deberían hacer los periodistas por nosotros? Esto:
Aquí representamos los casos confirmados, no las tasas, y calculamos una recta de ajuste que nos marca los auténticos casos anómalos: los municipios o distritos (estos, con el fondo coloreado) que están muy por encima o muy por debajo de la recta. Toda la nube de puntos pegada al origen son los municipios pequeños, y ahora se ve que no son para nada anómalos. Y se ve también que hay casos realmente curiosos, como que dos municipios vecinos, y aparentemente muy similares, como Getafe y Leganés estén en extremos opuestos. ¿Por qué? Quizá algún periodista que no se distraiga con las «pequeñas localidades de la Sierra Norte» lo investigue.
NOTAS:
[1] O mejor dicho semilogarítmica (con el eje y logarítmico y el eje x lineal)
[2] Salvo Meco, que casi llega a los 14.000 habitantes, pero tiene en realidad una tasa de 801 contagios por 100.000 habitantes, sólo un poco más alta que la media de la Comunidad de Madrid.
España en 1486, según la Geografía de Ptolomeo
Claudio Ptolomeo, que vivió en Alejandría en el siglo II d.C, tiene el mérito de haber escrito tres de los libros más influyentes de la historia: el Almagesto, el Tetrabiblos y la Geografía. El primero es quizá el más conocido: es el tratado que compilaba todo el saber astronómico de la antigüedad, y que los árabes llamaron «el más grande» (eso significa su nombre). El segundo fue la biblia de los astrólogos durante más de mil años. El tercero fue el primer atlas.
Todos hemos tenido entre las manos un atlas y puede parecer que algo tan común es un logro mucho más modesto que los otros dos volúmenes, de nombres esotéricos e imponentes. Creo que es justo al contrario: el hecho de que un atlas nos resulte tan familiar dos mil años después de que Ptolomeo lo inventase demuestra precisamente su genialidad.
El atlas de Ptolomeo contenía un mapamundi y un conjunto de mapas regionales, cada uno a la escala más apropiada. Pero era mucho más. Empezaba con un tratado cartográfico que explicaba científicamente la determinación de la latitud y longitud, así como una solución (la primera) al difícil problema de representar una superficie esférica sobre el plano. Y la mayor parte del libro la ocupaba una lista con las latitudes y longitudes de todas las ciudades y accidentes geográficos representados.
La Geografía marcó un estándar que fue seguido por todos los atlas durante siglos, hasta la actualidad: es asombroso ver que el índice de los que se publican hoy sigue siendo muy similar al de Ptolomeo, con el mismo listado y las mismas explicaciones cartográficas.
Mapamundi de la Geographia de Ptolomeo, traducida por Jacopo d’Angelo y publicada en 1467 en el monasterio de Reichenbach [Fuente: Wikipedia commons]
Una de las primeras ediciones impresas de la Geografía fue la publicada en Ulm por Johannes Reger en 1486. Aquí tenemos el mapa de la Península Ibérica:
(observen las escalas vertical y horizontal que indican, respectivamente las latitudes y las longitudes… aunque, obviamente, estas últimas no se medían respecto al meridiano de Greenwich).
La Biblioteca de Castilla-La Mancha en Toledo posee un ejemplar de este libro, y podemos hojearlo en la Biblioteca Virtual del Patrimonio Bibliográfico, en concreto, en este enlace. Curioseando por sus páginas he encontrado (en la 243) este mismo mapa, un poco más sucio pero a una escala excepcionalmente detallada, tanto que permite leer los nombres de las ciudades (haciendo click para verlo con una resolución muchísimo mayor):
El lector curioso puede entretenerse buscando sitios conocidos, aunque no lo facilita que estén en latín… Pero curiosamente, en esta edición los mapas están duplicados, y tres páginas después tenemos esta versión «política» de la península, con los nombres contemporáneos (de nuevo click para verlo en detalle):
Aquí ya no aparecen latitudes y longitudes, el contorno no es precisamente igual al anterior y las montañas, que siguen pareciendo pegotes de plastilina, son muchas más y no están en los mismos sitios…
Intrigado por estas discrepancias, me he preguntado hasta qué punto eran exactas las coordenadas del atlas, y hasta qué punto las siguió Johannes Reger. Pero no les voy a decir mis conclusiones. En lugar de eso, para que puedan sacarlas ustedes mismos, aquí tienen una tabla de longitudes (el primer número) y latitudes (el segundo), sacadas de las tablas del libro (están entre las páginas 118 y 125 del libro, pueden consultarse en este enlace), para algunos lugares reconocibles:
Corduba (Córdoba): 9º 1/3, 38º 1/3
Italica (Sevilla): 7º, 38º
Sacrum Promontorium (Cabo de San Vicente): 2º 1/2, 38º 1/4
Salmantica (Salamanca): 8º 1/2, 41º 1/3
Cartago Nova (Cartagena): 13º, 37º 1/3
Emporie (Ampurias): 18º 1/2, 42º 1/3
Lucus Augusta (Lugo): 7º 1/3, 43º 1/3
Complutum (Alcalá de Henares): 10º 1/2, 41º 1/2
Toletum (Toledo): 10º, 41º
Palma (Palma de Mallorca): 17º 1/6, 39º 1/4
… por si alguien tiene la paciencia que me ha faltado a mi 😉
*
P.S.: Gracias a mis alumnos del curso Las ideas de la ciencia, cuyos comentarios me han inspirado este post.
Mapas en la Biblioteca Nacional
Sólo queda una semana para que cierre en Madrid una exposición extraordinaria: Cartografías de lo desconocido, en la Biblioteca Nacional. Esta mañana he estado allí y he podido contemplar esto:
¿Ven ese dibujo de la izquierda?¿Les suena? Aquí tienen lo que nos dicen en la exposición:
(Por si todavía alguien pensaba que en la Edad Media creían en una Tierra plana). Pero en la exposición hay mucho más que mapas. También me emocionado al encontrar esto:
¡El Misterium Cosmographicum de Kepler! (1596). Y esto otro:
El libro en el que nuestros heroicos (y, ay, desconocidos) Ulloa y Jorge Juan cuentan su expedición al Perú para medir el tamaño y forma de la Tierra.
La exposición es un muestrario excepcional de los fondos cartográficos de la Biblioteca Nacional. Realmente bonita de ver, incluso para los que no sean aficionados a los mapas… y además gratis.
Del mapa al calendario
Lector: Quería preguntarle una cosa
Autor: Hombre, lector, hacía tiempo que no se pasaba por aquí. ¿De qué se trata?
L.: Verá, un amigo mío me ha pasado esta imagen y me ha preguntado si sería capaz de decir a que día del año corresponde y qué hora es en Madrid. Y tengo alguna idea, pero me parece que no se puede saber con tanta precisión como él dice.
A.: ¿Con qué precisión dice?
L.: Por lo visto se lo han preguntado en un examen, y le pedían el mes y la hora aproximada.
A.: Sí, eso es fácil. Saber el día exacto no, pero para saber el mes no hay problema. Y la hora, si es aproximada, también. En realidad, la hora se puede saber con bastante precisión.
L.: Pues ya me explicará cómo. Yo con esta imagen lo único que puedo decir es que es invierno y que es más o menos a media tarde…
A.: ¿Cómo lo sabe?
L.: Es invierno… bueno, voy a ser más preciso: es invierno en el hemisferio norte porque en el Polo Norte es noche perpetua. Y es más o menos a media tarde porque veo que ya es de noche en Turquía, así que en dos o tres horas se hará de noche en España.
A.: No está mal. Mucha gente no se habría dado cuenta de lo de la noche perpetua en el Polo…
L.: Eso es fácil, porque las distintas longitudes (es decir más o menos a la izquierda o la derecha en el mapa) corresponden a horas distintas, y aquí se ve que para todas las posiciones el Polo Norte está en oscuridad.
A.: Pero con eso que ha dicho ya puede precisar más: la extensión completa del mapa en horizontal son 24 horas, así que podemos ver cuantos píxeles corresponden a una hora. El tamaño de la imagen es 605×301, así que si 24 horas son 605 píxeles, 1 hora son 25,2 píxeles.
L.: Ya veo. Eso me sirve para saber diferencias de horas: por ejemplo, voy a mirar cuantos píxeles hay entre Estambul y Madrid… unos 54… dividiendo entre 25,2, sale 2,14: eso serían dos horas y diez minutos de diferencia. Yo había dicho a ojo dos o tres horas, así que no estaba mal, pero veo que se puede hacer con mucha más precisión. Lo que pasa es que esto me sirve para calcular diferencias de hora entre dos lugares, no la hora que es en un sitio concreto.
A.: No se crea: hay una manera de saberlo. Le doy una pista: ¿En qué sitio sería mediodía?
L.: Pues en el punto medio de la zona en la que es de día, claro. En el mapa quedaría más o menos en el Atlántico… bueno, podríamos decir que en el extremo este de Venezuela.
A.:¡Pues con eso ya puede calcular la hora!
L.:¡Claro: ahí son las doce del mediodía! Voy a ver la distancia en píxeles… Me salen justo 100, o sea que la distancia en horas sería 100/25,2, casi cuatro: en Madrid son las 4 de la tarde, hora solar.
A.:¿Y en Estambul?
L.: Hombre, pues unas dos horas más, hemos dicho: las 6 de la tarde, más o menos.
A.: Fíjese que ahí se está poniendo el Sol… Como son horas solares, si se pone a las 6 de la tarde significa que salió a las 6 de la mañana, así que el día ha durado 12 horas.
L.: Bueno, eso no tiene nada de raro, ¿no?
A.: No digo que sea raro, pero fíjese que si el día es igual de largo que la noche, es que estamos en el equinoccio, y usted me dijo que era invierno, ¿no?
L.: Ya estamos buscando problemas… Espere que lo piense. En el equinoccio, la noche y el día son igual de largos en todo el planeta, eso seguro. Pero aquí se ve que las noches son un poco más largas que los días en el hemisferio norte, así que no hay duda de que todavía no es el equinoccio. O para ser más precisos, que estamos en un día entre el solsticio de invierno y el equinoccio. Pero hay dos equinoccios, más o menos el 20 de marzo y el 20 de septiembre. O sea que estamos antes del 20 de marzo y después del 20 de septiembre. Vale, rectifico: puede que no sea invierno, también podría ser otoño.
A.: Pero ¿entonces no estamos en el equinoccio?¿Y por qué en Estambul el día dura doce horas entonces?
L.: Y dale… A ver, esto es un poco aproximado… quizá he medido los píxeles un poco mal. Y, mire, la línea que separa la noche el día es casi vertical salvo cerca del Polo. Eso significa que en casi todas las latitudes la duración del día y la noche es muy parecida, pero desde luego no lo es cerca de los Polos, y desde luego en el Polo Norte es noche perpetua. Supongo que lo que pasa es que no estamos en el equinoccio pero falta muy poco…
A.: Bueno, veo que al final me va a decir el día y la hora exacta…
L.: Pues sí, me voy a atrever. Apuesto a que el mapa corresponde más o menos al 10 de marzo o el 1 de octubre, y que son las cuatro de la tarde, hora solar. ¿Acierto?
A.: Bueno, lo mejor es que lo mire usted mismo en esta web: http://www.skyviewcafe.com. Busque la pestaña «map» y juegue con ella… pero no olvide que que el horario oficial en España va adelantado una hora o dos respecto del solar (según estemos en el «horario de invierno» o en el «horario de verano», respectivamente).
L.: Ya me podía dar la respuesta directamente… y encima tengo que actualizar el java para que funcione. En fin, que le vamos a hacer.
Cartografía en la Biblioteca Nacional
Acabo de ver en el periódico que del 4 de febrero al 18 de mayo hay una exposición en la Biblioteca Nacional con mapas que van desde el siglo XVI al XIX (aquí está el folleto). Allí se pueden ver mapas como este de hacia 1630, publicado en Amsterdam por Willem Blaeu:
Se aprecia que estamos en la era anterior a Cassini y a sus medidas sistemáticas de longitud: el mapa es muy bonito pero España está alargada en sentido horizontal, como pasaba con los mapas de Francia por entonces. Se observa también que hay muchos detalles que no están bien dibujados: tampoco se había hecho por entonces una triangulación sistemática de España (más mapas de la exposición aquí).
(Des)conocimiento del medio
Los libros de texto son una fuente inagotable de disparates científicos, lo que podría resultar divertido si no se enseñaran en el colegio como la verdad oficial… Curioseando en los libros de mis hijos, me he encontrado esta página, sacada del texto de Conocimiento del Medio de 5º de primaria, de Editorial SM. La edición es de 2009, pero mejor no doy el nombre de los autores (son nada menos que cinco).
Es un texto breve pero lleno de sustancia: en unas veinte líneas he encontrado tres errores garrafales (o cuatro, según se mire) y algún otro de menor entidad o más difuso…
Queda abierta la veda para la caza del error en los comentarios: todos los lectores están invitados (premio para quien lo haga sin guglear).
De Tales a Newton 