Etiquetado: cinemática

¿Alrededor de quién gira la Luna? (III)

Lector: ¿Me permite resumir la situación? Yo creo que después de tanta discusión viene bien recapitular, ¿no?

Autor: ¡Claro! Precisamente estaba pensando en hacerlo yo.

L: Pues si le parece hago yo mi resumen y luego hace usted el suyo. Reconozco que pese a que parece obvio que la Luna gira en torno a la Tierra, hemos visto (aquí y aquí) que sí que hay buenas razones para decir que lo hace en torno al Sol, aunque con una órbita que no es exactamente circular y a una velocidad que no es exactamente constante. Pero no sé a qué carta quedarme… En fin,  ¿cuál es su resumen?

A: Pues yo diría que si esta fuera una controversia política, seguramente se formaría un Partido Terrista y un Partido Solarista, que se dedicarían a insultarse mutuamente sin llegar a ningún acuerdo (excepto para repartirse los presupuestos del Estado).  Si fuera una discusión filosófica nos lo tomaríamos con más calma, pero probablemente, dados los vientos posmodernos que hoy soplan, acabaríamos por decir que “ambos paradigmas son incomensurables”, de modo que no hay manera de llegar a un acuerdo entre unos y otros o de dilucidar quién tiene razón: cada uno tiene “su verdad”. Y nos quedaríamos como estábamos.

L.: Le ha quedado muy literario el resumen, pero se ha ido por las ramas y no me aclara nada. Aquí estamos para razonar como científicos, ¿no?

A.: Tiene razón, voy con un resumen científico. Unos (los que se inclinan al terrismo) dicen que la órbita “buena” de la Luna es la que traza en torno a la Tierra, porque es perfectamente circular, mientras que la órbita de la Luna en torno al Sol, con su incómodo zigzagueo, es un artificio geométrico formado por la superposición de dos “genuinas” órbitas circulares: la de la Luna en torno a la Tierra y la de la Tierra en torno al Sol. Otros (los partidarios del solarismo) ven las cosas de otra manera: sobre la Luna actúan dos fuerzas, la del Sol y la de la Tierra. Si la primera es más de tres veces mayor que la segunda (como vimos en el post anterior), está fuera de duda que es el Sol el que manda. La fuerza de la Tierra simplemente es una perturbación que, al superponerse a la del Sol, causa ese hermoso zigzagueo que hace más interesante la órbita de la Luna, naturalmente en torno al Sol. Y por cierto, este tipo de perturbaciones tienen un largo abolengo en astronomía: si un astrónomo marciano no pudiera ver la Tierra (quizá ennegrecida por la contaminación) pero sí la Luna, del gracioso bamboleo de su órbita podría inferir la existencia, y la masa incluso, de la Tierra. Así se descubrió Neptuno en 1846, y así se descubren hoy los planetas extrasolares.

L.: Yo desde luego, era terrista… Pero el cálculo de las fuerzas me ha dejado desconcertado. ¿Cómo va a girar la Luna en torno a la Tierra, si la fuerza que hace la Tierra sobre ella es mucho menor que la que hace el Sol? Por otra parte, nos pongamos como nos pongamos, la Luna sigue estando todo el tiempo a la misma distancia de la Tierra, y eso sólo puede significar que gira en torno suyo… Me rindo: al final, ¿cual es la conclusión científica?

A.: En realidad, tanto la clásica órbita circular de la Luna en torno a la Tierra como la órbita casi-circular-pero-zigzagueante de la Luna en torno al Sol con correctas. Lo que ocurre es que los solaristas están mirando las cosas desde el Sol y  los terristas desde la Tierra. En física, el lugar desde el que vemos las cosas se llama nuestro sistema de referencia, así que decimos que están usando sistemas de referencia diferentes. Pero esto no significa que terristas y solaristas tengan cada uno “su verdad”: la Luna se mueve de una única manera, y sabemos cómo cambiar de descripción si cambiamos de sistema de referencia. Respecto del sistema de referencia que se mueve con la Tierra, la trayectoria es una circunferencia centrada en la Tierra; respecto del sistema de referencia centrado en el Sol, es esa curva casi circular pero zizagueante que veíamos en el primer post de la serie. La situación es muy similar a lo que ocurre con un punto de la llanta de una bicicleta. Visto desde el eje, se mueve en una circunferencia, pero visto desde el suelo, describe una cicloide:

Tienen aspectos muy diferentes pero son el mismo movimiento. La Luna es como el punto rojo, y la Tierra como el centro de la rueda azul, sólo que la Tierra, en lugar de moverse en línea recta, gira en una circunferencia muy amplia alrededor del Sol.

L.: Pues me parece una conclusión un poco decepcionante.

A.: ¿Por qué?

L.: Porque ya sabía que el aspecto de la trayectoria cambia según el punto de vista, o el sistema de referencia, como usted lo llama. Entiendo que vista desde el Sol, la Luna gira en torno al Sol, con pequeñas ondulaciones y variaciones de velocidad; entiendo que vista desde la Tierra gira en una circunferencia a velocidad uniforme en torno a la Tierra. Entiendo que geométricamente son equivalentes. Pero ¿de verdad que físicamente un punto de vista es igual de bueno que el otro? No entiendo que la Luna gire en torno a la Tierra si la fuerza que hace el Sol es mayor… Y ahora que lo pienso…, poner el sistema de referencia en la Tierra, eso que ha llamado “terrismo”, ¿no es el geocentrismo de toda la vida?

A.: Sí, pero quería disimularlo y por eso me inventé ese nombre 🙂

L.: ¡Acabáramos! ¡Pero el geocentrismo es falso! Lo demostró Copérnico… o bueno, no ponga esa cara, sé que la historia es más complicada (ya le he dicho que he leído el libro); el caso es que hoy sabemos que el geocentrismo es falso. ¡Así que lo correcto es el “solarismo”, digo el heliocentrismo! Y eso cuadra con lo que yo decía: visto desde el Sol, que es como hay que verlo, la Luna gira en torno a él, y eso es lógico porque la fuerza que hace el Sol sobre ella es mucho mayor. La Tierra aporta una perturbación pequeña (era una fuerza tres veces más pequeña), que lo único que hace es provocar esas pequeñas ondulaciones. ¡Asunto resuelto: la Luna gira en torno al Sol!

A.: Pero la Luna siempre está a la misma distancia de la Tierra, y eso significa que descibe un círculo en torno suyo, o sea, que gira alrededor de la Tierra. Usted mismo lo ha dicho…

L.: Sí, claro, pero… no pasa nada… el caso es que físicamente gira en torno al Sol, aunque geométricamente coincide que lo hace también en torno a la Tierra.

A.: Pero habría que explicar esa coincidencia ¿no?

L.: Me temo que sí. Es usted un aguafiestas. Ahora me dirá que estamos de nuevo en el punto de partida, y que lo dejamos una vez más para el próximo post.

A.: No, no lo estamos, hemos aprendido unas cuantas cosas. Y como más de tres posts iban a ser demasiados, voy a explicarlo en éste.

L.: Adelante

A.: Ya vimos que para que un objeto gire en círculo hace falta que una fuerza lo desvíe constantemente de la trayectoria recta; se puede demostrar además que esa fuerza tiene que apuntar hacia el centro de la trayectoria. Desde el punto de vista terrista, perdón, geocentrista, la cosa parece sencilla entonces. Es lógico que la Luna gire en torno a la Tierra porque existe esa fuerza: es la atracción gravitatoria terrestre. Pero todo deja de parecer sencillo cuando vemos que hay una fuerza mucho mayor que actúa a la vez, la atracción gravitatoria solar. La cuestión es: ¿por qué, visto desde la Tierra, todo ocurre como si esa fuerza no existiera? De hecho, es un problema típico de la física de bachillerato: si vamos a un libro y buscamos las fórmulas, podemos calcular el periodo de la Luna a partir de su distancia y de la masa de la Tierra, como si el Sol no estuviera, y obtenemos el resultado correcto. Esto es lo realmente sorprendente.

L.: Sí lo es, pero ¿por qué podemos ignorar esa fuerza?

A.: ¿Ha visto las imágenes de los astronautas en ingravidez, cuando están en órbita alrededor de la Tierra? Mucha gente piensa que son ingrávidos porque están muy lejos y “no les llega la gravedad”.

L.: Ya, pero no es por eso: la gravedad de la Tierra llega hasta la Luna y más allá, en realidad disminuye con el cuadrado de la distancia y no se hace estrictamente cero nunca. Recuerdo que esto de los astronautas me lo explicaron en clase: son ingrávidos porque están en caída libre, y todo lo que tienen a su alrededor (como el bolígrafo que flota, etc) está también en caída libre. Me pareció muy curioso, porque no se me había ocurrido que estar en órbita sea estar cayendo constantemente hacia la Tierra… pero ¿qué tiene que ver esto con lo que estamos discutiendo?

A.: ¡En realidad, todo! Porque la Tierra es como el astronauta, sólo que está en órbita en torno al Sol, es decir, en caída libre respecto de él. Y la Luna es como ese bolígrafo que flota junto al astronauta: también está en caída libre hacia el Sol. La única diferencia es que la Tierra es un astronauta muy gordo, tanto que su campo gravitatorio retiene al bolígrafo… digo a la Luna. Y por eso, aunque el Sol fuera mucho más grande y la Tierra mucho más pequeña, la Luna seguiría girando en torno a la Tierra a la vez que el conjunto Tierra-Luna cae hacia (es decir “gira en torno a”) el Sol.

L.: ¡Ya lo veo! ¿Pero da entonces igual la proporción de las fuerzas?

A.: No del todo. Lo que realmente importa es la diferencia entre lo que vale la fuerza del Sol en dos posiciones extremas de la Luna (luna llena y luna nueva). Si esa diferencia es comparable a la fuerza de la Tierra sobre la Luna, entonces la cosa se complica y el punto de vista geocentrista tiene problemas…

L.: Pero sólo en ese caso… ¿eso significa que podemos decir que el Sol gira en torno a la Tierra?

A.: Noooo… ese es otro problema diferente. Aquí estábamos hablando de la Luna, y hemos dicho que el punto de vista geocentrista sí que vale porque el conjunto Tierra-Luna está en caída libre hacia el Sol, todo él con la misma aceleración (o casi). Eso no vale para el Sol… Pero ya hemos discutido mucho estos días. Ese tema mejor lo dejamos para otra ocasión.

L.: De acuerdo. La verdad es que ya la cabeza me daba vueltas 😉

*

Actualización, 19-05-2014: En este post damos alguna vuelta más al asunto…

Anuncios

¿Alrededor de quién gira la Luna? (II)

Lector: Me lo he estado pensando y creo que el razonamiento del post anterior es incompleto.

Autor: ¿Por qué?

L.: Porque considerábamos el movimiento de la Luna desde un punto de vista puramente geométrico. El único dato que usábamos era la proporción entre las distancias al Sol y a la Luna.

A.: Y también, para situar nuestras lunas en el dibujo, que un año tiene doce meses.

L.: Sí, es verdad. Pero eso en definitiva es otra proporción: la que hay entre los periodos de la Tierra y la Luna. No hay nada de física en el razonamiento; y saber en torno a quién gira la Luna es un problema físico. Tendríamos que saber cuales son las velocidades, por ejemplo.

A.: No hay problema, son fáciles de calcular. Sólo hay que conocer la distancia Tierra-Luna (d_{TL}= 384 \cdot 10^{3} km) y la distancia Tierra-Sol (d_{TS}= 150 \cdot 10^{6} km). La velocidad de la Luna será:

v_{L} \approx \frac{2 \pi \, \cdot d_{TL}}{t_{1mes}} \approx \frac{2 \pi 384 \cdot 10^{3} km }{30 \mbox{d\'{i}as} \cdot 24 \mbox{horas}}=3300 \, km/h .

Y la velocidad de la Tierra:

v_{T} \approx \frac{2 \pi \, \cdot d_{TS}}{t_{12meses}} \approx \frac{2 \pi 150 \cdot 10^{6} km }{365 \mbox{d\'{i}as} \cdot 24 \mbox{horas}}=108000 \, km/h .

Para retener mejor los resultados, podemos redondearlos a 3.000 km/h y 100.000 km/h. Ahora vamos a dibujar estas velocidades como vectores (pero no a escala, por razones obvias):
VelocidadesLuna1

L.: ¿Y ese número negativo, -3.000 km/h?

A.: Lo único que significa es que va en sentido contrario a los demás, hemos puesto positivo hacia la izquierda.

L.: Vale, claro. Pero ahí está: aquí se ve precisamente que la Luna gira alrededor de la Tierra.

A.: Es que tenemos que cambiar algo en el dibujo. Fíjese que las velocidades v_L (flechas azules) son con respecto a la Tierra, mientras que la velocidad v_T (flecha roja) es con respecto al Sol. Para evitar esa incongruencia, deberíamos dibujar todas las velocidades respecto al Sol (y las pintaremos todas de rojo). Basta sumar a las v_L el valor de v_T:

VelocidadesLuna2

¿Ve lo que ocurre? Ahora vemos que ¡en ningún momento la Luna va “hacia atrás”!

L.: Ya. Todo se mueve siempre hacia la izquierda…

A.: ¿No sería más lógico entonces decir que tanto la Luna como la Tierra giran en torno al Sol, sólo que, mientras la Tierra gira a velocidad constante, la Luna lo hace con una velocidad que oscila un poco: entre 97.000 km/h (en luna nueva) y 103.000 km/h (en luna llena)?

L.: Mmm… ¡espere un momento! La explicación tiene que estar en las fuerzas. Por lo que yo recuerdo, para que un objeto se mueva en círculo tiene que ser atraído por una fuerza, porque si no se movería en línea recta, ¿no?

A.: Sí, eso es el principio de inercia: si no actúa ninguna fuerza sobre un objeto, el objeto se mueve en línea recta y a velocidad constante. Para que la trayectoria sea circular, tiene que haber una fuerza que lo desvíe constantemente de la línea recta. Eso es llo que hace la gravedad del Sol con La Tierra.

L.: ¡Eso me da una idea! Sobre la Luna actúa la fuerza de la gravedad de la Tierra y la del Sol, ¿no? Supongo que la fuerza que ejerce la Tierra es mucho mayor, y eso demostrará que la Luna gira en torno a la Tierra. ¡Quien haga más fuerza es el que manda!

A.: Pues manos a la obra, porque calcular esas fuerzas es fácil. Según la ley de la gravitación universal, la fuerza del Sol sobre la Luna, F_{SL}, es:

F_{SL} = G \frac{M_S M_L}{d_{SL}^2}

y la fuerza de la Tierra sobre la Luna, F_{TL}, es:

F_{TL} = G \frac{M_T M_L}{d_{TL}^2}

En estas ecuaciones ya conocemos las distancias; las masas del Sol y la Luna nos las proporciona una ojeada a Google ( M_S \approx 2 \cdot 10^{30} \, kg y M_T \approx 6 \cdot 10^{24} \, kg) , y la masa de la Luna, M_L, y la constante G de la gravitación universal no son necesarias porque sólo nos interesa el cociente:

\frac{F_{SL}}{F_{TL}} = \frac{M_S}{ M_T} \left( \frac{d_{TL}}{d_{SL}} \right)^2 \approx 3.3

Así que ¡la fuerza que hace el Sol sobre la Luna es más de 3 veces mayor que la fuerza que hace sobre ella la Tierra!

L.: Eso sí que no me lo esperaba.

A.: Entonces, tiene que aceptar que la Luna gira en torno al Sol, ¿no? “Quién haga más fuerza es el que manda”, decía.

L.: Déjeme pensarlo por lo menos hasta el próximo post.

¿Alrededor de quién gira la Luna? (I)

Lector: Con este título, me huelo que hay gato encerrado. ¿Puede haber algo más claro que la Luna gira alrededor de la Tierra? Ya sé que no es nada fácil demostrar que la Tierra gira alrededor del Sol y que se tardó miles de años en aceptarlo (¡he leído el libro!) pero que yo sepa en la historia de la astronomía nadie discutió nunca que la Luna gire alrededor de la Tierra…

Autor: Pero eso no significa que no se pueda discutir, ¿no? Al principio nadie había discutido que la Tierra estuviera quieta: con esa actitud no habría existido la ciencia.

L.: Vaaale. Pero le advierto que no voy a tener paciencia porque lo veo muy claro.

A.: No hace falta mucha porque los hechos son muy sencillos. Sabemos que cada mes (aproximadamente) hay una luna llena, y entonces el Sol, la Tierra y la Luna están alineados así: S,T,L. Y que entre dos lunas llenas hay una luna nueva, y el orden es S,L,T. Gráficamente (dibujamos sólo medio año, por claridad:LunasLlenasYNuevas(como es costumbre, el Sol tiene un punto en el centro y la Tierra una cruz). Si ahora pintamos todas las Lunas en el mismo gráfico, quitamos por simplicidad la Tierra y hacemos la escala más realista, obtenemos esto:OrbitaDeLaLuna

(la escala es sólo un poco más realista: la distancia del Sol a la Tierra es casi 400 veces mayor que la distancia de la Tierra a la Luna; en el dibujo, la proporción es de sólo 24 veces). Hemos interpolado, en rojo, una curva que pasa por todos los puntos: la órbita de la Luna.

L.: Es curioso… Yo pensaba que saldrían una especie de bucles… Quiero decir, que la Luna gira alrededor de la Tierra, pero a la vez la Tierra gira alrededor del Sol, y el resultado de la superposición de esos dos movimientos debería ser algo así:

A.: Pues ya ha visto que no… Y en realidad, en la trayectoria que hemos pintado en rojo arriba hemos exagerado muchísimo el zigzagueo, porque las distancias no están a escala. Si lo pintamos a escala, queda esto:

Y ahora, ¿seguiría diciendo que la Luna “gira en torno de la Tierra”?¿O más bien que la Luna describe un círculo en torno al Sol, aunque no perfecto sino con una ligera ondulación? (realmente ligera, cuando lo dibujamos como aquí, con la proporción real entre las órbitas).

L.: Pues me ha hecho dudar, la verdad. Pero casi mejor me lo pienso un poco más, no acabo de convencerme… creo que hay algo que se me escapa aquí.

A.: ¿Lo dejamos para el siguiente post entonces?

L.: Vale.