Ola de calor (y V): Una postdata

Autor: Vaya, yo creía que habíamos acabado…

Lector: Es que buscando en internet me ha surgido una duda… ¿Le importa que le pregunta mientras se acaba el granizado?

A.: Claro que no, pero con este calor el granizado se derrite corriendo. ¿Será breve, no?

L.: Muy breve. Busqué la ley de Stefan-Boltzmann en la Wikipedia y me encontré que la fórmula del post anterior, esta:

J=\sigma T^4

sólo es válida para un “cuerpo negro” que por lo visto es un objeto que absorbe toda la radiación que le llega. Pero en general hay que usar esta ecuación:

J= \epsilon \sigma T^4

que está modificada por un factor \epsilon que se llama emisividad y está entre cero y uno. Así que repasando lo que hacíamos ayer veo que hemos ignorado esa emisividad, que es lo mismo que hacer que valga uno. ¿Pero por qué va a tener que valer uno la emisividad de la chapa?

A.: Ya veo. Es que en realidad, la temperatura que nos sale no depende de la emisividad. Si, por ejemplo, \epsilon=0,2, se emite el 20% de lo que se emitiría si fuera \epsilon=1. Pero también se absorbe el 20% de lo que se absorbería si fuera \epsilon=1, porque resulta que la fracción de la radiación incidente que se absorbe ¡es justamente \epsilon! Esa fracción suele llamarse absortancia, \alpha, pero resulta que la absortancia es igual que la emitancia: \alpha = \epsilon.

L.: O sea que la ecuación que usábamos se convertiría en:

\epsilon \sigma T_p^4 = \alpha 697 \,\, W/m^2

pero como \alpha = \epsilon, se simplifica y queda

\sigma T_p^4 = 697 \,\, W/m^2

que es lo que poníamos, ¿no?

A.: Eso es, y lo mismo pasa con las demás ecuaciones en las que íbamos teniendo en cuenta más términos, todas las aportaciones a la radiación incidente van multiplicadas por \alpha.

L.: ¡Pues ya es casualidad que sea \alpha = \epsilon! ¿no?

A.: En realidad es una consecuencia de las leyes de la termodinámica. Imagine que metemos un objeto dentro de un horno que está a una temperatura fija, por ejemplo 300ºC. Al cabo del tiempo, dice la termodinámica, ese objeto alcanzará el equilibrio térmico con las paredes del horno y se pondrá a 300ºC también, ¿no?.

L.: Claro.

A.: Y eso no dependerá de que la emisividad del objeto sea grande o pequeña, la termodinámica dice que pasará para cualquier objeto. Si lo piensa, eso sólo es posible si \alpha = \epsilon. Imagine que metemos dos objetos en el horno, uno con \alpha=0.9 y otro con \alpha=0.1 (por cierto, el primero lo veríamos de un color muy oscuro porque absorbería toda la radiación que le llega, y el segundo lo veríamos de un color muy claro). Los objetos no están en contacto con las paredes, se calientan sólo por radiación (si quiere, quitamos el aire del horno para asegurarnos que no hay convección ni conducción). El objeto oscuro absorbe de la radiación nueve veces más potencia que el claro. Se calentará, por lo menos al principio, nueve veces más deprisa, y para conseguir que las pérdidas fueran iguales que las ganancias tendría que ponerse a más temperatura que el objeto claro. Su temperatura de equilibrio sería mayor… ¡en contradicción con la termodinámica, que dice que los dos objetos acabarán a la temperatura de las paredes!

La única manera de que, ganando 9 veces más energía, alcance el equilibrio térmico a la misma temperatura, es que sus perdidas sean 9 veces mayores: las pérdidas tienen que estar en la misma proporción que las ganancias, por eso tiene que ser \alpha = \epsilon. Esto se llama ley de Kirchhoff.

L.: ¿Pero no era la ley de los circuitos eléctricos?

A.: Bueno, esta es la ley de Kirchhoff de la radiación… ¡no está prohibido hacer descubrientos en varios campos!

L.: Claro, claro. Pero una cosa: ¿entonces para qué sirve la \alpha o la \epsilon, si al final se llega a la misma temperatura?

A.: Es que aunque el estado de equilibrio sea el mismo, el transitorio es diferente. Si la absortancia (igual a la emisividad) es más pequeña, se absorberá menos radiación, y se tardará más en alcanzar el equilibrio. Un cuerpo con \alpha=1, que es lo que se llama un cuerpo negro (¡el más oscuro de todos!) sería el que más rápido se calentaría (a igualdad del resto de las condiciones, como la radiación incidente, el área, la masa y la capacidad calorífica). Aquí he modificado la gráfica que pusimos el otro día, para tener esto en cuenta:

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de 1 cal/cm2·s de radiación.

La velocidad de calentamiento depende de la emisividad, aunque la temperatura final es la misma en los tres casos. Los datos de la chapa son los del 3er post de la serie: espesor de 1 mm de acero expuesto a una potencia de radiación de 1 caloría por cm2 y minuto.

L.: Ya veo. Y por cierto, el cuerpo negro también será el que más rápido se enfría, ¿no? Precisamente porque \alpha= \epsilon=1 y ese es el máximo valor que puede tener.

A.: Justo. Así que para una temperatura determinada, el cuerpo que más energía radía es el cuerpo negro.

L.: ¡Curioso, siendo negro!

A.: Curioso, sí, pero no olvide que sólo lo veríamos como negro si estuviera frío. Si su temperatura sube mucho, según la ley de Stefan-Boltzmann, su emisión sube muchísimo (¡fíjese que la temperatura va elevada nada menos que a la cuarta potencia!). Y le aseguro que, dados dos objetos a la misma temperatura, suficientemente elevada para que los veamos brillar, el cuerpo negro brilla más. Por cierto, este Sol que nos está achicharrando estos días es, con muy buena aproximación, un cuerpo negro. Pero hace tiempo que se me acabó el granizado, ya tenemos que acabar.

L.: Vale. No pase demasiado calor estos días.

A.: Igualmente.

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