La ecuación de Astérix
Lector: ¿Pero tiene Astérix una ecuación?
Autor: Sí la tiene, o más bien tiene dos. Son éstas:
L.: ¡Menudo lío de fórmulas! ¿No será así el libro?
A.: Noooo… y además no hace falta entender los detalles de las ecuaciones para entender la idea. En realidad, las he truncado dejando sólo los primeros términos (por eso hay unos puntos suspensivos); las ecuaciones completas son tan largas que las he puesto en otro archivo para quien quiera curiosear.
L.: Puff…ya veo. Pero ¿qué significa este maremágnum de números y letras?
A.: Bueno, llamamos x a la posición de un punto según el eje horizontal e y a la posición según el eje vertical. En las ecuaciones, la letra t puede sustituirse por el valor que queramos (por eso se llama “variable”, o «parámetro«), y una vez sustituida, si hacemos todas las cuentas que nos dice la ecuación, obtenemos un valor de x y otro de y. Como los valores dependen de t, decimos que son función de t, y por eso escribimos x(t), y(t). Si vamos variando t de manera continua, x e y van variando de manera continua; es decir, el punto correspondiente va dibujando una línea. Con las ecuaciones de Astérix esa línea es ésta:
L.: ¡Por Tutatis!¡Están locos estos matemáticos!¿Cómo puede ocurrírsele esto a alguien?¿De dónde lo ha sacado?
A.: He encontrado estas ecuaciones en Wolfram Alpha, una web que yo diría que es es el nuevo oráculo de Delfos (pero al revés: es ella la que se esfuerza en interpretarte a ti). Pero no sólo Astérix tiene ecuación. Aquí pongo otras cuantas celebridades convertidas en ecuaciones paramétricas:
L.: O sea, que cada una de estas figuras tiene sus ecuaciones, más o menos como las de Astérix.
A.: Eso es, pero no las pongo porque son larguísimas.
L.: Mejor… pero me está dando la impresión de que cualquier figura va a tener su ecuación… ¿es así?
A.: Efectivamente, casi cualquier figura lineal (con ciertas matizaciones que sólo interesan a los matemáticos) tiene unas ecuaciones con un aspecto no muy diferente a las de Astérix .
L.: ¿Y cómo se pueden obtener esas ecuaciones?
A.: Podemos entenderlo en dos pasos:
1) Imaginemos que dibujamos la línea trazándola con un lápiz. La punta del lápiz es un punto que se va moviendo en el plano a lo largo del tiempo. Ese punto tendrá dos coordenadas, x e y, que son ambas funciones del tiempo.
2) Tomemos la función x(t). Pues bien, los matemáticos han demostrado que sea cual sea esa función (salvo casos raros que no aparecen en física) podemos escribirla como una combinación de funciones sinusoidales (senos y/o cosenos). Eso es lo que se llama desarrollo en serie de Fourier. Y por eso las ecuaciones de Astérix están llenas de términos con “sin” (seno en inglés). Lo mismo pasa con la ecuación de la y(t), claro. Hay técnicas matemáticas estándar (básicamente, se trata de hacer integrales) para calcular los números que aparecen en las ecuaciones.
L.: Pues es muy curioso, pero ¿qué tiene que ver con el tema de este libro?
A.: Vamos a ello. Imagine que la punta del lápiz es un planeta, y el origen de coordenadas es la Tierra. El movimiento del planeta visto desde la Tierra puede ser muy complicado, pero sea cual sea puede hacerse el desarrollo en serie de Fourier para sus componentes x e y. Y si se eligen adecuadamente los términos, la combinación de la sinusoide para x y la sinusoide para y da un movimiento circular. Así que la ecuación que nos proporciona el desarrollo en serie de Fourier puede verse como círculos y más círculos, montándose unos sobre otros. ¿No le recuerda esto a los epiciclos de Ptolomeo?
L.: Ya me acuerdo, en el libro me resultó algo lioso, pero se refiere a lo de este vídeo, ¿no?
A.: Eso es, sólo que ahí cuentan nada más el caso más sencillo, pero Ptolomeo usó epiciclos montados encima de otros epiciclos; matemáticamente eso equivale a ecuaciones como la de Astérix con varios sumandos sinusoidales.
L.: O sea que entonces, Ptolomeo no era tan tonto como lo pintan…¿Lo de los círculos no era un prejuicio absurdo sino una técnica matemática de vanguardia?
A.: Y tan de vanguardia: Fourier no la descubrió hasta 1700 años después… No tenía un pelo de tonto, don Claudio. A los expertos les recomiendo que miren este enlace de la wikipedia: Mathematical formalism of deferent and epicycle
L.: Pues voy a mirarlo, no vaya a ser que sea un experto sin saberlo…
De Tales a Newton 
Pues yo no acabo de ver los epiciclos en la figura de Asterix.
Una cosa es transformar una función en una suma de senos de distintas frecuencias (lo que los ingenieros de telecomunicación llamamos su espectro) y otra, que cualquier figura, incluido el trazo de Asterix pueda dibujarse mediante una serie de órbitas circulares uniformes montadas unas sobre otras. No acabo de dar el salto.
Aunque intuyo que es así, (gracias al sencillo y bello ejemplo de la elipse que hay en el video) y que Ptolomeo lo sabía y hasta conocía el método para obtener la serie de epiciclos que lo consigue. (El autor me corregirá si no es cierto)
Si es así, Ptolomeo era un genio prestidigitador y no es extraño que su teoría haya sido irrefutable.
Andrés, releyendo el post veo que es verdad que en el diálogo hay un salto que no está explicado, o mejor, dos saltos. El primero es que hay que caer en la cuenta de que un movimiento circular y uniforme, como el del planeta en el epiciclo, equivale a la composición de dos movimientos sinusoidales, uno según el eje x y otro según el eje y. O dicho de otra manera: para un punto que se mueve con movimiento circular y uniforme, la componente x y la componente y son dos funciones sinusoidales.
Esto se ve bien en este dibujo, para la componente x (para la y es igual, lógicamente).
Pero con esto no basta para demostrar que si tienes sinusoides en la x y sinusoides en la y el resultado es un movimiento circular y uniforme, porque eso sólo ocurre si esas sinusoides cumplen tres condiciones: (a) tienen igual amplitud (b) tienen la misma frecuencia y (c) hay un desfase de 90º entre ellas (es lo mismo que decir que una es un seno y otra un coseno). Si no se cumplen esas condiciones obtenemos en general figuras más complicadas que circunferencias (son las famosas figuras de Lissajous). Este es el segundo salto que habría que explicar: que los desarrollos en serie de Fourier para la x y la y pueden conseguirse con ese tipo de sinusoides que al componerse dan circunferencias. No es inmediato, pero hay una demostración en el enlace a la Wikipedia que puse en el post y en este artículo del historiador N. Russell Hanson (un clásico, por cierto).
Genial, Juan. Gracias,
Ahora ya veo los círculos tras los senos y cosenos
Debería haberme acordado de las figuras de Lissajous que nos mostraban en los osciloscopios de la escuela